数学概览：圆与球 [Kreis Und Kugel] pdf epub mobi txt 电子书 下载 在线阅读 2026

内容简介

　　《数学概览：圆与球》是整体微分几何导论，内容包括两方面：第1方面是关于圆和球等周性质的叙述；第二方面是关于凸体论的拓广，形成了现代整体微分几何的起源。
　　《数学概览：圆与球》的前两部分可供中学数学教师参考，只要具备微积分的知识就可以阅读。全书则适合于高等院校数学系学生、研究生学习。

作者简介

　　Wilhelm Blaschke（1885-1962），德国著名数学家、几何学家、陈省身先生的导师。
　　
　　苏步青，杰出的数学家、教育家，著名的社会活动家，中国科学院院士。

内页插图

目录

《数学概览》序言
新版序言
译者序
前言

第一部分 圆的极小性质
1．Steiner的四连杆法
2．存在问题
3．多角形的面积
4．四连杆法对于多角形的应用
5．多角形的存在证明
6．等边多角形和三角法的表示式
7．曲线的弧长
8．曲线按多角形的逼近
9．有界跳跃函数
10．闭曲线的面积
11．平面等周问题的解
12．一些应用
13．关于积分概念
14．历史性的文献

第二部分 球的极小性质
15．Steiner的证法
1．问题的提出
Ⅱ．Steiner的对称化
Ⅲ．对Steiner证法的批判
16．凸体和凸函数
1．双变量的凸函数
Ⅱ．一个凸体通过一些不等式的确定
Ⅲ.单变量的凸函数
Ⅳ．支持直线、支持平面
V．一个点集的凸包、凸多面体
Ⅵ．支持函数
17．体积和表面积
1．多面体的体积和表面积
Ⅱ，通过多面体的逼近
Ⅲ．任意凸体的体积和表面积的定义
Ⅳ．收敛的凸体序列
V．体积与表面积的连续性
18．B01zano-Weierstrass关于凝聚点存在定理的一个拓广
1．凸体的选择定理
Ⅱ．Cantor的对角线法
Ⅲ．所选序列的收敛性
Ⅳ．和以前收敛定义的相一致性
V．收敛概念的第二种表示
19．对称化
1．收敛凸体序列的对称化

第三部分 凸体论中的Schwarz，Brunn和Minkowski的诸定理
第四部分 凸体极值中的新课题
附录 关于凸体的其他研究的瞭望
评注（张高勇）
编者致谢

几何的殿堂：解析非圆与非球的数学构造 图书名称： 几何的殿堂：解析非圆与非球的数学构造 内容提要： 本书旨在深入探讨在欧几里得几何体系中，与圆形和球体截然不同的、更具复杂性和普适性的几何结构。我们将完全避开对圆周率 $pi$ 及其衍生的圆、球体、圆锥曲线等经典概念的直接讨论，转而将焦点置于那些不依赖于完美的、恒定曲率的对象的数学描述、分析与应用。全书分为六个主要部分，力求构建一个宏大且精密的非圆形、非球形几何学的知识体系。 --- 第一部分：非欧几里得基础与双曲空间结构 本部分将奠定我们研究的理论基础，摒弃欧几里得平面上的平行公理，转而深入研究非欧几何的独特景观。 1.1 庞加莱圆盘模型与黎曼球面几何的对比： 我们将详细分析庞加莱圆盘模型，这是一个在双曲几何中表示空间拓扑的强大工具。重点在于理解在该模型中，测地线（即“直线”）如何表现为圆弧或直径，以及它们如何相交。这与黎曼几何中（如球面几何）恒定正曲率的空间形成鲜明对比，双曲空间具有恒定的负曲率。我们将计算双曲三角形的内角和，证明其必然小于 $pi$ 弧度，并探讨这种性质如何影响距离和面积的计算。 1.2 罗巴切夫斯基几何的代数基础： 探讨如何用向量和矩阵运算来描述双曲空间中的点和变换。介绍双曲三角学的基础，例如双曲余弦定理和双曲正弦定理，这些定理的公式结构与欧几里得几何有着显著的区别，例如，它们涉及指数函数而非简单的平方和。我们将推导出这些定理，并展示它们如何用于解决双曲空间中的实际构造问题。 1.3 测地线几何的拓扑约束： 分析在不含恒定正曲率结构的约束下，测地线如何自然地定义空间结构。探讨理想点（points at infinity）的概念，以及在双曲空间中，如何存在多条通过两点而不相交的直线（测地线）。 --- 第二部分：多面体与晶格结构 本部分将聚焦于离散的、由平面或多边形构成的几何体，特别是那些不具有旋转对称性的复杂多面体和晶格排列。 2.1 欧拉示性数与拓扑分类： 重新审视欧拉公式 $V-E+F=2$ (其中 $V$ 为顶点数，$E$ 为棱数，$F$ 为面数)，并将其扩展到亏格（genus）不为零的曲面（例如环面、双环面）。我们将分析这些高亏格多面体如何通过不同方式连接面和边，从而产生复杂的拓扑结构。 2.2 晶格理论与空间群： 深入研究三维空间中周期性点的排列（晶格）。重点分析布拉维晶格（Bravais lattices）中那些不具备高阶旋转对称性的结构，例如斜方晶系和单斜晶系。我们将阐述如何用基矢（basis vectors）来定义整个晶格，并计算晶胞（unit cell）的体积，这些体积的计算完全不依赖于对球形对称性的假设。 2.3 准晶体与非周期性排列： 探讨彭罗斯密铺（Penrose tiling）等非周期性几何结构，这些结构在局部具有某种对称性（如五重对称），但在整体上却不具备平移周期性。分析构建这些密铺所依赖的代数规则，以及它们如何从根本上区别于传统的基于圆或球对称的晶体结构。 --- 第三部分：代数几何中的非奇异曲线与曲面 本部分将运用代数工具来描述那些非圆形、非球形的几何对象，特别是那些具有奇异点或非均匀曲率的曲线和曲面。 3.1 射影几何与非椭圆曲线： 介绍射影平面，以及如何用齐次坐标来描述几何对象。我们将分析三次曲线（Cubic curves）——例如，不考虑作为特例的椭圆曲线（其名称具有误导性，我们关注的是更一般的三次形式）——的几何性质，如拐点（inflection points）和对偶性。我们将着重研究那些尖点（cusps）或交点（nodes）的代数特性，这些奇异点在欧氏圆锥曲率上是不允许的。 3.2 环面（Torus）的参数化与曲率： 将环面视为一个二维流形，并详细计算其第一、第二基本形式。分析环面的高斯曲率，证明其在高斯曲率上存在正、负和零的区域，这与球体（恒正）或平面（恒零）的特性截然不同。我们将探讨环面上的测地线（geodesics），展示它们如何形成复杂的缠绕模式，而非简单的闭合路径。 3.3 微分几何中的第二基本形式与主曲率： 介绍如何通过曲面的法向量场来定义主曲率 $kappa_1$ 和 $kappa_2$。我们将分析那些主曲率符号不同的曲面，例如鞍面（hyperbolic paraboloids），展示它们如何具有负的高斯曲率，并且其法截面具有相反的弯曲方向。 --- 第四部分：分形几何与尺度不变性 本部分关注那些在不同尺度下表现出自相似性，但其维度（豪斯多夫维数）为非整数的复杂构造。 4.1 维度理论：豪斯多夫维数与测度： 详细阐述计算非整数维度的数学方法，特别是豪斯多夫测度与豪斯多夫维数。我们将计算柯赫雪花（Koch snowflake）和谢尔宾斯基三角（Sierpinski triangle）的精确维数，并强调这些维数如何反映了结构在局部和全局上的复杂性，这与圆或球体（欧氏维度为整数）的特性形成鲜明对比。 4.2 迭代函数系统（IFS）： 介绍迭代函数系统作为生成复杂分形几何对象的工具。我们将选择一组不涉及任何圆形变换（如旋转或缩放与原点相关的变换）的仿射变换，来构造新的、非圆形对称的分形结构。 4.3 分形边界的积分问题： 探讨在具有分形边界的区域上进行积分的难度，例如，如何定义一个具有非整数维边界的区域上的“体积”或“面积”，并讨论这些积分在理论物理学中的潜在应用。 --- 第五部分：张量分析与弯曲时空中的几何（非球对称场） 本部分将视角提升到四维时空，重点研究不具备球对称性的引力场和电磁场结构。 5.1 黎曼张量与曲率的代数表示： 深入分析黎曼曲率张量 $R^{ ho}_{sigmamu u}$，探讨如何通过其分量来识别和分类空间的弯曲性质。我们将专注于那些具有非零魏因伯格张量（Weyl tensor）的几何，这代表了时空曲率中与球对称无关的部分，例如，由非球对称质量分布产生的引力场。 5.2 测地线方程的数值积分： 讨论在一般弯曲空间中（非球对称背景），求解测地线方程（描述粒子运动的路径）的数值方法。我们将通过一个具有轴对称性但非完全球对称的势场模型，来展示粒子轨迹如何偏离简单的圆形或椭圆形轨道。 5.3 张量场中的各向异性： 分析在介质物理学中常见的各向异性（Anisotropy）现象，例如材料的电导率或磁化率张量，这些张量不是对角矩阵，表明其性质在不同方向上是不同的，这与各向同性的球体或均匀介质形成对立。 --- 第六部分：离散结构与图论几何 本部分将关注由有限或无限个节点和边构成的离散结构，这些结构不依赖于连续的、光滑的几何曲面。 6.1 图论中的度量空间： 将图（Graph）视为一种离散的度量空间，其中“距离”定义为最短路径的边数。分析具有高直径（Diameter）或高周长（Girth）的图结构，这些结构在拓扑上远离了球体的紧凑性。 6.2 网格生成与离散微分算子： 探讨如何将连续的微分几何概念转化为离散的网格（Mesh）上的有限差分算子。重点分析非结构化网格（Unstructured meshes），这些网格由任意多边形或多面体单元组成，它们缺乏全局的对称性，但对于模拟复杂的物理现象至关重要。 6.3 泊松核的构造与拉普拉斯算子的离散化： 在没有均匀球对称性的情况下，如何构造拉普拉斯算子的基本解（泊松核）。我们将研究在特定边界条件下的泊松方程在复杂域上的数值解法，这些域的边界由锯齿状或尖锐的非光滑曲线构成。