数学名著译丛·数学与猜想：数学中的归纳和类比+合情推理模式（套装1-2卷） pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

内容简介

　　《数学名著译丛·数学与猜想：数学中的归纳和类比》：
　　本书是著名数学家G.波利亚撰写的一部经典名著，书中讨论的是自然科学、特别是数学领域中与严密的论证推理完全不同的一种推理方法——合情推理（即猜想）。本书通过许多古代著名的猜想，讨论了论证方法，阐述了作者的观点：不但要学习论证推理，也要学习合情推理，以丰富人们的科学思想，提高辩证思维能力，本书的例子不仅涉及数学各学科，也涉及到物理学，全书内容丰富，谈古论今，叙述生动，能使人看到数学中真正的奥妙，全书共分两卷，第一卷为数学中的归纳和类比，第二卷为合情推理模式，此册为第一卷，主要讲述数学中各种合情推理的实例，本书可供大学数学系师生、中学数学教师，数学研究人员及数学爱好者阅读。
　　
　　《数学名著译丛·数学与猜想：合情推理模式》：
　　本书是《数学与猜想》的第二卷，这一卷系统地论述了合情推理的模式，评述它们彼此之间以及与概率计算的关系，并扼要地讨论了它们与数学发现及教学的关系。
　　本书将数学中的推理模式与生活中的实例相联系，论述深入浅出，读来令人兴味盎然.全书有大量习题，书末附有习题解答。
　　本书可供大学数学系师生、中学教师、数学研究人员及数学爱好者阅读。

内页插图

目录

《数学名著译丛·数学与猜想：数学中的归纳和类比》：
译者的话
序言
对读者的提示

第一章 归纳方法
引言
1．经验和信念
2．启发性联想
3．支持性联想
4．归纳的态度
第一章的例题和注释，1～14

第二章 一般化、特殊化、类比
1．一般化、特殊化、类比和归纳
2．一般化
3．特殊化
4．类比
5．一般化、特殊化和类比
6．由类比作出的发现
7．类比和归纳
第二章的例题和注释，1～46；

第三章 立体几何中的归纳推理
1．多面体
2．支持猜想的第一批事实
3．支持猜想的更多事实
4．一次严格的检验
5．验证再验证
6．一种很不同的情形
7．类比
8．空间的分割
9．修改一下问题的提法
10．一般化、特殊化、类比
11．一个类似的问题
12．类似问题的一张表格
13．解决一大批问题有时比解决单独一个问题更容易
14．一个猜想
15．预言与证明
16．再来一次，使它更好
17．归纳法引向演绎法；特例引向一般证明
18．更多的猜想
第三章的例题和注释，1～41

第四章 数论中的归纳方法
1．边长为整数的直角三角形
2．平方和
3．关于四奇数平方和问题
4．考察一个例子
5．把观察结果列成表
6．有什么规则
7．关于归纳发现未知事物的性质
8．关于归纳证据的性质
第四章的例题和注释，1～26

第五章 归纳法杂例
第六章 更一般性的陈述
第七章 数学归纳法
第八章 极大和极小
第九章 物理数学
第十章 等周问题
第十一章 更多种类的合情推理
后记
问题的解答
参考文献

《数学名著译丛·数学与猜想：合情推理模式》：
序言
对读者的提示
第十二章 几个著名模式
1．证实一个结论
2．连续证实几个结论
3．证实一个未必可信的结论
4．类比推理
5．加深类比
6．被隐没的类比推理
第十二章的例题和注释，1～14

第十三章 更多的模式与最重要的连接
1．审定一个结论
2．审定可能的依据
3．审定相抵触的猜想
4．逻辑术语
5．合情推理各模式之间的逻辑连接
6．被隐没的推理
7．一张表格
8．简单模式的组合
9．关于类比推理
10．条件推理
11．关于连续证明
12．关于对抗猜想
13．关于法庭证据
第十三章的例题和注释，1～20；

第十四章 机会，永存的对抗猜想
1．随机大量现象
2．概率的概念
3．用袋子和球
4．概率演算．统计假设
5．频率的简单预告
6．现象的解释
7．判断统计假设
8．在统计假设之间进行选择
9．判断非统计猜想
10．判断数学猜想
第十四章的例题和注释，1～33；

第十五章 概率演算与合情推理逻辑
1．合情推理规则
2．论证推理的一个方面
3．合情推理的一个对应方面
4．概率演算的一个方面．困难
5．概率演算的一个方面．一个尝试
6．审定一个结论
7．审定一个可能的根据
8．审定不相容的猜想
9．审定几个接连的结论
……
第十六章 发明与教学中的合情推理
问题的解答
参考文献

前言/序言

　　本书有彼此紧密联系的各种目的。首先，想给学习数学的学生和从事数学工作的教师在一个重要的但却通常被忽视的方面提供一些帮助。然而，在某种意义上说本书也是一种哲学论述，本书又是一部续篇，而且它本身也还要有续篇，我将逐一地谈到上述各点。
　　1.严格地说，除数学和论证逻辑（其实它也是数学的一个分支）外，我们所有的知识都是由一些猜想所构成的。当然，有种种猜想，有表述成物理科学中某些一般定律的非常可贵而又可靠的猜想。也有另外一些既不可靠又不可贵的猜想，其中有一些当你在报纸上读到它时不禁会使你愤怒。而介于上述两种猜想之间还有各种各样的猜想、预感和推测。
　　我们借论证推理来肯定我们的数学知识，而借合情推理来为我们的猜想提供依据。一个数学上的证明是论证推理，而物理学家的归纳论证，律师的案情论证，历史学家的史料论证和经济学家的统计论证都属于合情推理之列。
　　这两种推理之间的差异相当大而且是多方面的。无疑，论证推理是可靠的、无可置辩的和终决的，合情推理是冒风险的、有争议的和暂时的，论证推理在科学中的渗透深度恰好和数学在科学中的渗透深度一样，但是论证推理本身（如数学本身那样）并不能产生关于我们周围世界本质上的新知识。我们所学到的关于世界的任何新东西都包含着合情推理，它是我们日常事务中所关心的仅有的一种推理，论证推理有被逻辑（形式逻辑或论证逻辑）所制定和阐明的严格标准，而逻辑则是论证推理的一种理论，合情推理的标准是不固定的，并且这种推理在清晰程度上不能与论证逻辑相比或能博得相似的公认。
　　2.关于这两种推理还有一点也是值得我们注意的，众所周知，数学提供了一个学习论证推理的极好机会，但是我还要着重指出，在学校惯常的课程中，还没有一门能提供类似的机会来学习合情推理。现在，我要向各年级所有对数学有兴趣的学生提出：的确，我们应该学习证明法，但我们也要学习猜测法。

现代数学思想精粹：逻辑、结构与应用 一部深入探索数学核心思想、连接理论与实践的深度著作。 图书简介 本套丛书并非专注于归纳和类比在初级数学证明中的应用，而是致力于揭示横跨整个数学领域，从数论到拓扑学，从逻辑基础到应用数学的核心思维模式与结构性力量。它将带领读者超越具体的公式和定理，进入数学家如何思考、如何构建理论的深层领域。本套书旨在构建一个宏大而精密的知识体系，阐释现代数学思想的演进脉络及其对科学认知的深远影响。 第一卷：逻辑的基石与数学结构 本卷聚焦于数学的内在结构、严谨性的构建以及形式系统的强大能力。它探讨了数学如何从直觉的泥沼中提炼出清晰、无懈可击的逻辑体系。 第一部分：形式化与公理化方法的威力 本部分详尽考察了欧几里得以来公理化方法的演变。重点不在于简单的归纳过程，而在于选择一组不可证明的初始陈述（公理），并以此为基础，通过严格的演绎推理，推导出所有后续的定理。 非欧几何的震撼： 深入分析了罗巴切夫斯基和黎曼如何挑战欧几里得第五公设的尝试，这并非简单的“猜想-验证”过程，而是对数学模型的内在一致性的深刻反思。讨论了什么是“一致性”（Consistency）以及如何在不同的公理体系中保持数学的有效性。 集合论的兴起与危机： 详细梳理了弗雷格、罗素和策梅洛如何试图为所有数学奠定统一基础的努力。重点讨论了类型论和ZFC公理系统的构建，旨在抵御如罗素悖论这类因模糊定义而产生的逻辑陷阱。这展示了数学家如何通过精确定义和结构限制来确保理论的稳固。 第二部分：可计算性与哥德尔不完备性 本部分深入探讨了数学语言和逻辑系统的极限。这触及了数学思维中最深刻的哲学问题之一：是否存在一个能描述所有数学真理的完美系统？ 图灵机与计算模型： 阐述了图灵如何通过一个抽象的机器模型（图灵机）来定义“什么是可计算的”。这是一种结构抽象，而非归纳总结，它定义了算法的本质界限。 哥德尔的里程碑： 细致解读了不完备性定理的逻辑结构。解释了为什么在一个足够强大的算术系统中，必然存在一些在系统内部无法被证明也无法被证伪的陈述。这揭示了任何形式化系统的固有局限性，强调了人类直觉和外部视角在数学发展中的不可替代性。 第三部分：代数结构的抽象与统一 本部分关注现代代数，即通过研究结构本身（而非具体的数或函数）来解决问题的强大方法。 群、环与域的范畴： 介绍群论如何成为理解对称性的通用语言。讨论了如何通过识别不同数学对象之间（如多项式方程的解集、晶体结构、变换几何）的同构关系，来实现知识的迁移和复用。这种“结构映射”是现代数学的核心驱动力之一。 范畴论的视角： 介绍范畴论作为一种“高于”集合论的抽象工具，它关注的是对象之间的关系（态射或箭头），而非对象本身的内部构造。这是一种极端的抽象化，旨在揭示数学各个分支背后隐藏的统一架构。 --- 第二卷：复杂性、拓扑与非标准分析 本卷将视角投向数学的边界地带，探讨了无限的处理、空间的弯曲以及数学工具在处理不确定性和连续性问题时的精妙设计。 第一部分：连续性与极限的严密化 本部分探讨了微积分从牛顿、莱布尼茨的直觉应用，到19世纪魏尔斯特拉斯建立的$epsilon-delta$ 语言的严谨化过程。 极限的精确定义： 重点分析了如何用逻辑量词（对于任意正数 $epsilon$，存在某个 $delta$）来精确捕捉“无限接近”的概念，从而彻底摆脱对“无穷小量”这种模糊概念的依赖。这是一种逻辑上的精确控制，而非简单的经验观察。 序列紧致性与完备性： 讨论了实数系的完备性（任意柯西序列都有极限）在分析学中的核心地位。这使得我们能够可靠地处理无限过程的结果，构建出如傅里叶级数、积分理论等现代分析工具。 第二部分：拓扑学：不变量的几何 拓扑学关注的是在连续形变（拉伸、弯曲，但不撕裂或粘合）下保持不变的性质。这不是关于精确度量，而是关于空间的基本连接性。 从欧氏空间到抽象流形： 描述了拓扑学如何将几何学的研究对象提升到更抽象的层面。例如，甜甜圈和咖啡杯的拓扑等价性，展示了事物内在连接属性的优先性。 同调与同伦： 介绍代数拓扑的基本工具。这些工具（如霍模群、基本群）将复杂的几何问题转化为可以计算的代数不变量。这体现了将几何问题“翻译”成代数语言的强大思维转换能力。 第三部分：非标准分析与数学的另类视角 本部分介绍了一种挑战传统分析学基础的强大方法，即非标准分析，由亚伯拉罕·鲁滨逊在数理逻辑的帮助下建立。 无穷小与无穷大的回归： 详细解释了非标准分析如何严格地重新引入了“无穷小量”的概念，将其置于一个完备的、基于超实数系统的逻辑框架内。这展示了数学真理并非固定于单一的公理系统，而是可以通过逻辑工具构建出不同但同样有效的描述世界的方式。 模型论的桥梁作用： 探讨了紧致性定理和超滤波器等模型论工具，如何使得将直觉上的数学概念（如无穷小）转化为具有严格逻辑形式的数学对象成为可能。这强调了逻辑工具在拓展数学视野方面的巨大潜力。 结语：数学的开放性 本套书的最终目标是培养读者对数学本质的洞察力：数学是一种逻辑构建、一种结构抽象和一种严谨的对话。它展示了逻辑推理的深度如何支撑起最复杂的理论，同时也揭示了人类思维在定义和探索这些结构时的创造性与局限性。本书强调，数学的生命力在于其对不同逻辑框架的探索能力，以及将看似不相关的领域通过共同的结构联系起来的非凡能力。