数学物理方法1 [Methods of Mathematical Physics Volume I] pdf epub mobi txt 电子书 下载 在线阅读 2026

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编辑推荐

适读人群 ：运筹学、计算数学、应用数学等相关专业研究生及高年级本科生
该书系著名数学家柯朗、希尔伯特经典之作，也是数学物理方法必读之书，译著2014年出版以来销量近万册

内容简介

　　《数学物理方法》系一经典名著。《数学物理方法》系统地提供了为解决各种重要物理问题所需的基本数学方法。全书分三卷出版。《数学物理方法1》为《数学物理方法1》，由R.柯朗和D.希尔伯特编写，内容包括：线性代数和二次型、任意函数的级数展开、线性积分方程、变分法、振动和本征值问题、变分法在本征值问题上的应用以及本征值问题所定义的特殊函数。
　　《数学物理方法1》可以作为高等学校“数学物理”课程的教本；对理论物理学工作者，它也是一本有用的参考书。

作者简介

柯朗，德国裔美国籍数学家。出生于1888年1月8日。出生在普鲁士帝国西里西亚省的Lublinitz。

内页插图

目录

中译本前言
英文版原序摘译
第1章 线性代数和二次型
1.1 线性方程和线性变换
1.1.1 矢量
1.1.2 正交矢量组、完备性
1.1.3 线性变换、矩阵
1.1.4 双线型、二次型和埃尔米特型
1.1.5 正交变换和复正交变换
1.2 含线性参数的线性变换
1.3 二次型和埃尔米特型的主轴变换
1.3.1 根据极大值原理作主轴变换
1.3.2 本征值
1.3.3 推广于埃尔米特型
1.3.4 二次型的惰性定理
1.3.5 二次型的预解式的表示
1.3.6 与二次型相联属的线性方程组的解I
1.4 本征值的极小极大性
1.4.1 用极小一极大问题表征本征值
1.4.2 应用、约束
1.5 补充材料及问题
1.5.1 线性独立性及格拉姆行列式
1.5.2 行列式的阿达马不等式
1.5.3 正则变换的广义处理
1.5.4 无穷多个变数的变线型和二次型
1.5.5 无穷小线性变换
1.5.6 微扰
1.5.7 约束
1.5.8 矩阵或变线型的初等除数
1.5.9 复正交矩阵的谱
参考文献

第2章 任意函数的级数展开
2.1 正交函数组
2.1.1 定义
2.1.2 一组函数的正交化
2.1.3 贝塞尔不等式、完备性关系、平均逼近
2.1.4 无穷多个变数的正交变换和复正交变换
2.1.5 在多个自变数及更一般的假定下上述结果的正确性
2.1.6 多变数完备函数组的构造
2.2 函数的聚点定理
2.2.1 函数空间的收敛性
2.3 独立性测度和维数
2.3.1 独立性测度
2.3.2 一函数序列的渐近维数
2.4 魏尔斯特拉斯逼近定理、幂函数和三角函数的完备性
2.4.1 魏尔斯特拉斯逼近定理
2.4.2 推广到多元函数的情形
2.4.3 函数及其微商同时用多项式逼近
2.4.4 三角函数的完备性
2.5 傅里叶级数
2.5.1 基本定理的证明
2.5.2 重傅里叶级数
2.5.3 傅里叶系数的数量级
2.5.4 基本区间长度的更改
2.5.5 例子
2.6 傅里叶积分
2.6.1 基本定理
2.6.2 把上节结果推广到多元函数的情形
2.6.3 互逆公式
2.7 傅里叶积分的例子
2.8 勒让德多项式
2.8.1.从幂函数1，x，的正交化作出勒让德多项式
2.8.2 母函数
2.8.3 勒让德多项式的其他性质
2.9 其他正交组的例子
2.9.1 导致勒让德多项式的问题的推广
……
第3章 线性积分方程
第4章 变分法
第5章 振动和本征值问题
第6章 变分法在本征值问题上的应用
第7章 本征值问题所定义的特殊函数
附加 参考文献
索引

前言/序言

抽象代数导论：群、环与域 卷首语 本书旨在为读者提供一个坚实而全面的抽象代数基础。我们深知，数学的进步往往建立在对结构本质的深刻理解之上，而抽象代数正是揭示数学对象深层联系和内在规律的基石。不同于仅侧重于计算的初级代数，本书致力于引导读者跨越代数的算术层面，进入其公理化、结构化的核心领域。我们将系统地探索群论、环论和域论，这些概念不仅是纯数学领域的核心，也是现代物理学、密码学、编码理论以及计算机科学的强大工具。 本书的叙述风格力求清晰、逻辑严密，并辅以大量的例证和习题，以期培养读者从具体实例中提炼抽象概念、并从抽象定义中推导出具体结论的能力。我们相信，真正的理解源于动手操作和独立思考的结合。 --- 第一部分：群论基础 (Foundations of Group Theory) 群是代数结构中最基本、应用最广泛的一种。它描述了具有可逆操作的集合，是研究对称性的核心语言。 第一章：代数结构与二元运算 本章首先明确了代数研究的对象——集合上定义的运算。我们将严格定义二元运算的性质：封闭性、结合律。随后，引入最基础的结构单元：半群 (Semigroup)，并在此基础上定义具有单位元的独异点 (Monoid)。 第二章：群的定义与基本性质 群的定义是本书的第一个里程碑：一个满足封闭性、结合律、存在单位元和所有元素均有逆元的独异点。我们将详细探讨群的五个基本性质，包括单位元和逆元的唯一性。 第三章：子群与陪集 本章开始深入群的内部结构。子群 (Subgroup) 的概念被引入，并给出了检验子群的充分必要条件。随后，我们将关注群被其子群划分的方式——陪集 (Cosets)。左陪集与右陪集的区别与联系，特别是它们在群划分中的作用，将被细致分析。拉格朗日定理（Lagrange's Theorem）——有限群的阶（元素个数）必须整除群的阶——是本章的核心结论，它极大地限制了有限群的可能结构。 第四章：正规子群与商群 正规子群 (Normal Subgroup) 是本研究的关键转折点。它是一个特殊类型的子群，其左陪集与右陪集相等。正规子群的引入，使得我们可以构造出更高级的结构：商群 (Quotient Group) 或因子群。商群的构造是通过将群的元素集合化为陪集的集合，并在其上定义一个自然的群运算。这是抽象代数中“模去”一个结构的第一个范例。 第五章：群同态与同构 为了比较不同群的结构是否“本质相同”，我们引入群同态 (Group Homomorphism) 的概念，它是一种保持群结构的映射。特别地，群同构 (Group Isomorphism) 意味着两个群在结构上是完全等价的。本章的重中之重是第一同构定理（或称基本同构定理），它建立了商群与同态像之间的深刻联系，是连接群的子结构、同态和商结构的最重要桥梁。此外，我们将探讨单群（Simple Groups）以及幂零群（Nilpotent Groups）的初步概念。 第六章：群的作用与应用 本章将群的概念从纯代数结构提升到几何与分析的应用层面。我们定义了群在集合上的作用 (Group Action)，并探讨了其核心概念：轨道 (Orbits) 和稳定子 (Stabilizers)。群作用的经典应用包括：Sylow 定理（关于有限群中具有特定阶的子群的存在性保证），以及对有限生成阿贝尔群结构的初步探索。 --- 第二部分：环论导引 (Introduction to Ring Theory) 环是比群更复杂的代数结构，它在集合上定义了两个二元运算：加法和乘法，并且乘法必须满足对加法的分配律。环是数论、代数几何和代数拓扑的通用框架。 第七章：环的定义与基本例子 本章定义了环 (Ring) 的严格结构，要求加法构成阿贝尔群，乘法满足结合律，并满足分配律。我们将区分交换环（乘法满足交换律）和带单位元的环（存在乘法单位元1）。我们将分析整数环 $mathbb{Z}$、多项式环 $F[x]$、矩阵环 $M_n(F)$ 等核心实例。 第八章：子环、理想与零因子 子群对应于子环 (Subring)。更关键的是，为了能够构造商结构，我们需要理想 (Ideal)。理想是环中对加法封闭的特殊子集，并且它在乘法上对环中的其他元素具有“吸收性”（即 $r cdot i$ 无论 $r$ 在左边还是右边，结果都在理想内）。我们还将引入零因子 (Zero Divisors) 的概念，并定义整环 (Integral Domain)——一个没有非零零因子的交换环。 第九章：环同态与商环 与群论类似，我们定义环同态 (Ring Homomorphism)。正规子群对应于理想，因此我们能构造出商环 (Quotient Ring)。第一同构定理在环的框架下再次展现其威力，建立了商环与同态像之间的深刻联系。 第十章：域的结构与分式域 域 (Field) 是环论的顶峰，它是一个交换环，其中每一个非零元素都有乘法逆元。域是进行所有基本代数运算（加减乘除）的结构。本章将探讨域的性质，以及如何从整环构造出分式域 (Field of Fractions)，这是将有理数 $mathbb{Q}$ 构造为整数 $mathbb{Z}$ 的分数集合的抽象推广。 第十一章：主理想域与唯一因子域 我们开始对特殊的环进行分类和研究。主理想环 (Principal Ideal Domain, PID) 是指其所有理想都可以由单个元素生成的环（如 $mathbb{Z}$）。而唯一因子域 (Unique Factorization Domain, UFD) 则是指其中的每个非零非单位元都可以唯一地分解为其不可约元素（素数）的乘积（如 $mathbb{Z}$ 和多项式环 $F[x]$）。我们将证明 PID 蕴含 UFD，并探讨 欧几里得整环 (Euclidean Domain) 作为 PID 的一个特例。 --- 第三部分：域的扩张 (Field Extensions) 域的扩张是代数方法在解决经典几何问题（如化圆为方、三等分角）中发挥作用的领域。 第十二章：域扩张的基本概念 域扩张 (Field Extension) 是指一个域 $E$ 包含另一个域 $F$，且 $E$ 可以视为一个关于 $F$ 的向量空间。我们引入扩张次数 $[E:F]$ 的概念。 第十三章：代数元与超越元 一个域扩张中的元素 $alpha$ 要么是代数元 (Algebraic Element)，即它是某个以 $F$ 中元素为系数的有理多项式的根；要么是超越元 (Transcendental Element)。本章将集中于代数扩张，并引入最小多项式 (Minimal Polynomial) 的唯一性与性质。 第十四章：代数扩张与有限扩张 我们将证明有限扩张（扩张次数有限的扩张）总是代数扩张。最后，我们将分析域扩张的复合结构，即如果 $F subset E subset K$，那么 $[K:F] = [K:E][E:F]$。 --- 结语 抽象代数不仅是关于“什么”结构存在，更是关于“如何”从简单结构构建复杂结构的方法论。本书的结构旨在模仿这一构建过程，从群的单操作，到环的双操作，最终到达域的完整除法结构，并在域扩张中应用这些工具来解决特定问题。希望读者在完成本书的学习后，能够以全新的视角审视数学中的对称性、结构与可解性。