内容简介
《华章数学译丛:矩阵分析(原书第2版》从数学分析的角度阐述了矩阵分析的经典和现代方法,主要内容有特征值、特征向量、范数、相似性、酉相似、三角分解、极分解、正定矩阵、非负矩阵等。新版全面修订和更新,增加了奇异值、CS分解和Weyr标准范数等相关的小节,扩展了与逆矩阵和矩阵块相关的内容,对基础线性代数和矩阵理论作了全面总结,有1100多个问题,并给出一些问题的提示,还有很详细的索引。《华章数学译丛:矩阵分析(原书第2版》可作为工程硕士以及数学、统计、物理等专业研究生的教材,对从事线性代数纯理论研究和应用研究的人员来说,本书也是一本必备的参考书。
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目录
译者序第2版前言第1版前言第0章 综述与杂叙0.0 引言0.1 向量空间0.2 矩阵0.3 行列式0.4 秩0.5 非奇异性0.6 Euclid内积与范数0.7 集合与矩阵的分划0.8 再谈行列式0.9 特殊类型的矩阵0.10 基的变换0.11 等价关系
第1章 特征值,特征向量和相似性1.0 引言1.1 特征值特征向量方程1.2 特征多项式与代数重数1.3 相似性1.4 左右特征向量与几何重数
第2章 酉相似与酉等价2.0 引言2.1 酉矩阵与QR分解2.2 酉相似2.3 酉三角化以及实正交三角化2.4 Schur三角化定理的推论2.5 正规矩阵2.6 酉等价与奇异值分解2.7 CS分解
第3章 相似的标准型与三角分解的标准型3.0 引言3.1 Jordan标准型定理3.2 Jordan标准型的推论3.3 极小多项式和友矩阵3.4 实Jordan标准型与实Weyr标准型3.5 三角分解与标准型
第4章 Hermite矩阵,对称矩阵以及相合4.0 引言4.1 Hermite矩阵的性质及其特征刻画4.2 变分特征以及子空间的交4.3 Hermite矩阵的特征值不等式4.4 酉相合与复对称矩阵4.5 相合以及对角化4.6 共轭相似以及共轭对角化
第5章 向量的范数与矩阵的范数5.0 导言5.1 范数的定义与内积的定义5.2 范数的例子与内积的例子5.3 范数的代数性质5.4 范数的解析性质5.5 范数的对偶以及几何性质5.6 矩阵范数5.7 矩阵上的向量范数5.8 条件数:逆矩阵与线性方程组
第6章 特征值的位置与摄动6.0 引言6.1 Ger�実orin 圆盘6.2 Ger�実orin 圆盘--更仔细的研究6.3 特征值摄动定理6.4 其他的特征值包容集
第7章 正定矩阵以及半正定矩阵7.0 引言7.1 定义与性质7.2 特征刻画以及性质7.3 极分解与奇异值分解7.4 极分解与奇异值分解的推论7.5 Schur乘积定理7.6 同时对角化,乘积以及凸性7.7 Loewner偏序以及分块矩阵7.8 与正定矩阵有关的不等式
第8章 正的矩阵与非负的矩阵8.0 引言8.1 不等式以及推广8.2 正的矩阵8.3 非负的矩阵8.4 不可约的非负矩阵8.5 本原矩阵8.6 一个一般性的极限定理8.7 随机矩阵与双随机矩阵
附录附录A 复数附录B 凸集与凸函数附录C 代数基本定理附录D 多项式零点的连续性以及矩阵特征值的连续性附录E 连续性,紧性以及Weierstrass定理附录F 标准对参考文献记号问题提示索引
前言/序言
译者序 Roger A.Horn和Charles R.Johnson是线性代数和矩阵理论领域的国际著名专家,两位所著的《Matrix Analysis》一书最初于1985年出版,这次出版的《矩阵分析(原书第2版)》是该书英文第2版的中文译本. 本书的第1版共有9章和5个附录,而第2版有9章和6个附录.单从章节和附录的目录名称来看,它们几乎没有太大的变化.但是实际上本书的第2版与第1版相比有巨大的改变.关于所有这些改变(包含更加丰富的新内容、新方法、新结果以及新的习题),作者在第2版前言中作了极其详尽的说明,这里译者仅提及一件事:1991年,两位作者曾经在同一出版社出版了有关矩阵分析的另一部著作——《Topics in Matrix Analysis》,作为其英文第l版的一个补充,现在的第2版里也包含了该书的许多内容. 在翻译本书的过程中,译者发现了书中有一些错误,其中绝大多数都是印刷排版方面的错误.我们曾试图与原作者联系,希望他们能对发现的错误予以确认.为此出版社也作了相应的努力,但迄今为止我们所有的努力都未能获得成功.鉴于此,本书中文版只能根据我们的认识和理解将我们发现的所有错误一一做了更正(如果有心的读者对照中英文版本,当不难发现我们的修改之处),这些修改如有谬误之处,盖由译者负责. 对于本书责任编辑明永玲女士为出版和编辑本书所付出的巨大努力以及合作和敬业精神,谨此表示衷心的感谢!此前,我们与她已经愉快地合作过多次,因而是相互非常信任的老朋友了.但愿这部中文版能对数学专业以及其他专业的学生与教师都有良好的助益. 张明尧 张凡 2014年3月27日
矩阵理论与应用前沿探索:一部深刻洞察代数结构与实际建模的著作 (此简介旨在介绍一部与《华章数学译丛:矩阵分析(原书第2版)》主题相似但内容不完全重叠的、专注于矩阵理论及其应用的著作,旨在提供一个全面、深入的学术视角。) 本书聚焦于现代线性代数的核心——矩阵理论及其在各个工程、科学及数据科学领域的广泛应用。它并非对既有经典教材的简单重复,而是一部力求在理论深度与实际操作性之间取得精妙平衡的前沿探索之作。全书结构严谨,从最基础的向量空间概念出发,逐步深入到高级的矩阵分解技术、谱理论的精细分析,并最终拓展到非线性动力学系统中的矩阵依赖性问题。 第一部分:理论基石与结构解析(The Theoretical Foundation and Structural Deconstruction) 本部分旨在夯实读者对矩阵作为数学对象的本质理解。我们摒弃了纯粹的计算技巧堆砌,转而强调矩阵背后的线性变换几何意义。 1. 向量空间与线性映射的几何拓扑: 深入探讨了有限维和无限维希尔伯特空间中的线性算子。重点分析了闭包、完备性在线性系统解的存在性与唯一性中的作用。我们详细阐述了如何通过正交分解(如 Gram-Schmidt 过程的推广)来理解复杂空间的子空间结构,并引入了张量积的概念,为后续的多线性代数打下坚实基础。 2. 矩阵的经典分解与相似性理论: 讨论了 Jordan 标准型在理论分析中的地位及其在数值计算中的局限性。更重要的是,本书对 Schur 分解和奇异值分解(SVD)进行了细致入微的剖析。SVD 不仅被视为数据降维的工具,更被提升到衡量矩阵“偏离”正规性的核心指标。我们探讨了非酉矩阵的极值原理及其与偏最小二乘法(PLS)的内在联系。 3. 矩阵函数与分析延拓: 矩阵函数的定义不再局限于泰勒级数展开。我们采用积分表示法(如 Cauchy 积分公式在矩阵函数中的应用)和谱分解方法,全面覆盖了矩阵的指数、对数、平方根等函数的定义域和性质。特别关注了矩阵函数在求解常微分方程组(ODE)中的应用,如 Liouville-von Neumann 方程的求解。 第二部分:谱理论的深度探究与应用(In-Depth Exploration of Spectral Theory) 谱理论是理解矩阵行为的关键。本书在此部分超越了简单的特征值计算,深入到算子理论与近似分析。 4. 广义特征值问题与摄动分析: 本章着重于实际应用中难以避免的误差和不确定性。我们引入了 Weyl 分离定理和 Bauer-Fike 界,用于精确估计特征值在矩阵微小变化下的敏感度。对于非对称矩阵,我们详细讨论了特征值群集(Eigenvalue Clusters)的稳定性问题,并引入了基于 Krylov 子空间的迭代方法(如 Lanczos 和 Arnoldi 算法)的理论基础,而非仅仅停留在算法描述层面。 5. 正定矩阵与二次型: 对正定性的判据进行了系统的梳理,包括 Cholesky 分解、Hessian 矩阵的正定性以及 Ky Fan 范数等与能量最小化相关的指标。在优化理论中,我们探讨了拟牛顿法(Quasi-Newton Methods)中如何通过近似 Hessian 矩阵的逆(如 BFGS 更新)来保证收敛性,这直接关联到矩阵的迭代更新性质。 6. 无穷维矩阵的初步接触: 为了连接有限维代数与泛函分析,本章对紧算子(Compact Operators)进行了介绍。我们探讨了 Hilbert-Schmidt 积分方程与矩阵特征值问题的类比关系,这为理解核方法(Kernel Methods)在机器学习中的基础提供了数学背景。 第三部分:矩阵在实际系统中的建模与计算挑战(Modeling and Computational Challenges in Real-World Systems) 本部分将理论知识与当前计算科学的热点问题紧密结合,强调数值稳定性和大规模数据的处理。 7. 稀疏矩阵结构与迭代求解器: 针对现代工程中数据矩阵的规模,稀疏性成为不可忽视的特性。我们深入分析了基于图论的矩阵重排序技术(如 Fill-in 最小化)以及预处理技术(如代数多重网格法 AMGL 的矩阵视角)。重点讨论了大规模线性系统求解中,迭代法(如 GMRES, BiCGSTAB)的收敛性与所选预处理器(如 ILU, SSOR)之间的耦合关系。 8. 矩阵分解在数据分析中的高级应用: 除了基础的 PCA(基于 SVD),本书更关注于非负矩阵分解(NMF)在主题建模中的非线性分离能力,以及Tucker 分解和CP分解在张量数据压缩和多维数据分析中的应用。我们探讨了如何利用这些分解来处理高维特征空间的结构化信息,而不是仅仅将其视为降维工具。 9. 矩阵分析在控制与优化中的动态视角: 在最优控制领域,我们探讨了 Riccati 方程的矩阵解法,以及如何通过李雅普诺夫稳定性理论来分析线性系统的长期行为。对于凸优化问题,拉格朗日对偶理论中的 KKT 条件实质上涉及到了一个大型矩阵方程组的求解,本书将在此基础上探讨增广拉格朗日法(ALM)中矩阵预处理的关键作用。 总结: 本书的目标读者是数学、物理、工程、计算机科学等领域的研究生及高年级本科生,以及需要深入理解矩阵理论作为其研究工具的专业人士。它不提供直接的代码实现教程,而是致力于揭示算法背后的数学原理,培养读者对矩阵结构变化的敏锐洞察力,从而能够独立设计、分析和改进涉及大规模矩阵运算的解决方案。全书以严谨的数学证明为支撑,同时通过精心挑选的例子来阐明抽象概念与实际问题的桥梁。
坦白说,我买《华章数学译丛:矩阵分析(原书第2版)》更多的是出于一种“收藏”或者“朝圣”的心态。我是一位数学爱好者,虽然我的职业并非直接与数学研究相关,但我一直对纯粹的数学理论有着浓厚的兴趣。我听说这本书在矩阵分析领域享有极高的声誉,被认为是该领域的经典之作,其内容的严谨性和深度是其他一些入门级读物无法比拟的。我并没有急于阅读它的全部内容,而是会选择性地翻阅其中一些我特别感兴趣的部分,比如关于矩阵的谱分解、Jordan标准型、或者一些更进阶的代数拓扑在矩阵分析中的应用。我喜欢沉浸在数学的逻辑美感中,欣赏那些精妙的证明和深刻的定理。我预期这本书会提供给我一种“智力上的挑战”,让我能够在一个全新的高度去审视数学世界。我可能不会去做大量的习题,但我会仔细品味书中的每一个定义、每一个定理,并尝试去理解其背后的逻辑链条。我希望通过阅读这本书,能够提升我整体的数学素养,拓展我对数学抽象思维的理解能力。