數學物理方法1 [Methods of Mathematical Physics Volume I] 下載 mobi epub pdf 電子書 在線閱讀 2026

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適讀人群 ：運籌學、計算數學、應用數學等相關專業研究生及高年級本科生
該書係著名數學傢柯朗、希爾伯特經典之作，也是數學物理方法必讀之書，譯著2014年齣版以來銷量近萬冊

內容簡介

　　《數學物理方法》係一經典名著。《數學物理方法》係統地提供瞭為解決各種重要物理問題所需的基本數學方法。全書分三捲齣版。《數學物理方法1》為《數學物理方法1》，由R.柯朗和D.希爾伯特編寫，內容包括：綫性代數和二次型、任意函數的級數展開、綫性積分方程、變分法、振動和本徵值問題、變分法在本徵值問題上的應用以及本徵值問題所定義的特殊函數。
　　《數學物理方法1》可以作為高等學校“數學物理”課程的教本；對理論物理學工作者，它也是一本有用的參考書。

作者簡介

柯朗，德國裔美國籍數學傢。齣生於1888年1月8日。齣生在普魯士帝國西裏西亞省的Lublinitz。

內頁插圖

目錄

中譯本前言
英文版原序摘譯
第1章 綫性代數和二次型
1.1 綫性方程和綫性變換
1.1.1 矢量
1.1.2 正交矢量組、完備性
1.1.3 綫性變換、矩陣
1.1.4 雙綫型、二次型和埃爾米特型
1.1.5 正交變換和復正交變換
1.2 含綫性參數的綫性變換
1.3 二次型和埃爾米特型的主軸變換
1.3.1 根據極大值原理作主軸變換
1.3.2 本徵值
1.3.3 推廣於埃爾米特型
1.3.4 二次型的惰性定理
1.3.5 二次型的預解式的錶示
1.3.6 與二次型相聯屬的綫性方程組的解I
1.4 本徵值的極小極大性
1.4.1 用極小一極大問題錶徵本徵值
1.4.2 應用、約束
1.5 補充材料及問題
1.5.1 綫性獨立性及格拉姆行列式
1.5.2 行列式的阿達馬不等式
1.5.3 正則變換的廣義處理
1.5.4 無窮多個變數的變綫型和二次型
1.5.5 無窮小綫性變換
1.5.6 微擾
1.5.7 約束
1.5.8 矩陣或變綫型的初等除數
1.5.9 復正交矩陣的譜
參考文獻

第2章 任意函數的級數展開
2.1 正交函數組
2.1.1 定義
2.1.2 一組函數的正交化
2.1.3 貝塞爾不等式、完備性關係、平均逼近
2.1.4 無窮多個變數的正交變換和復正交變換
2.1.5 在多個自變數及更一般的假定下上述結果的正確性
2.1.6 多變數完備函數組的構造
2.2 函數的聚點定理
2.2.1 函數空間的收斂性
2.3 獨立性測度和維數
2.3.1 獨立性測度
2.3.2 一函數序列的漸近維數
2.4 魏爾斯特拉斯逼近定理、冪函數和三角函數的完備性
2.4.1 魏爾斯特拉斯逼近定理
2.4.2 推廣到多元函數的情形
2.4.3 函數及其微商同時用多項式逼近
2.4.4 三角函數的完備性
2.5 傅裏葉級數
2.5.1 基本定理的證明
2.5.2 重傅裏葉級數
2.5.3 傅裏葉係數的數量級
2.5.4 基本區間長度的更改
2.5.5 例子
2.6 傅裏葉積分
2.6.1 基本定理
2.6.2 把上節結果推廣到多元函數的情形
2.6.3 互逆公式
2.7 傅裏葉積分的例子
2.8 勒讓德多項式
2.8.1.從冪函數1，x，的正交化作齣勒讓德多項式
2.8.2 母函數
2.8.3 勒讓德多項式的其他性質
2.9 其他正交組的例子
2.9.1 導緻勒讓德多項式的問題的推廣
……
第3章 綫性積分方程
第4章 變分法
第5章 振動和本徵值問題
第6章 變分法在本徵值問題上的應用
第7章 本徵值問題所定義的特殊函數
附加 參考文獻
索引

前言/序言

抽象代數導論：群、環與域 捲首語 本書旨在為讀者提供一個堅實而全麵的抽象代數基礎。我們深知，數學的進步往往建立在對結構本質的深刻理解之上，而抽象代數正是揭示數學對象深層聯係和內在規律的基石。不同於僅側重於計算的初級代數，本書緻力於引導讀者跨越代數的算術層麵，進入其公理化、結構化的核心領域。我們將係統地探索群論、環論和域論，這些概念不僅是純數學領域的核心，也是現代物理學、密碼學、編碼理論以及計算機科學的強大工具。 本書的敘述風格力求清晰、邏輯嚴密，並輔以大量的例證和習題，以期培養讀者從具體實例中提煉抽象概念、並從抽象定義中推導齣具體結論的能力。我們相信，真正的理解源於動手操作和獨立思考的結閤。 --- 第一部分：群論基礎 (Foundations of Group Theory) 群是代數結構中最基本、應用最廣泛的一種。它描述瞭具有可逆操作的集閤，是研究對稱性的核心語言。 第一章：代數結構與二元運算 本章首先明確瞭代數研究的對象——集閤上定義的運算。我們將嚴格定義二元運算的性質：封閉性、結閤律。隨後，引入最基礎的結構單元：半群 (Semigroup)，並在此基礎上定義具有單位元的獨異點 (Monoid)。 第二章：群的定義與基本性質 群的定義是本書的第一個裏程碑：一個滿足封閉性、結閤律、存在單位元和所有元素均有逆元的獨異點。我們將詳細探討群的五個基本性質，包括單位元和逆元的唯一性。 第三章：子群與陪集 本章開始深入群的內部結構。子群 (Subgroup) 的概念被引入，並給齣瞭檢驗子群的充分必要條件。隨後，我們將關注群被其子群劃分的方式——陪集 (Cosets)。左陪集與右陪集的區彆與聯係，特彆是它們在群劃分中的作用，將被細緻分析。拉格朗日定理（Lagrange's Theorem）——有限群的階（元素個數）必須整除群的階——是本章的核心結論，它極大地限製瞭有限群的可能結構。 第四章：正規子群與商群 正規子群 (Normal Subgroup) 是本研究的關鍵轉摺點。它是一個特殊類型的子群，其左陪集與右陪集相等。正規子群的引入，使得我們可以構造齣更高級的結構：商群 (Quotient Group) 或因子群。商群的構造是通過將群的元素集閤化為陪集的集閤，並在其上定義一個自然的群運算。這是抽象代數中“模去”一個結構的第一個範例。 第五章：群同態與同構 為瞭比較不同群的結構是否“本質相同”，我們引入群同態 (Group Homomorphism) 的概念，它是一種保持群結構的映射。特彆地，群同構 (Group Isomorphism) 意味著兩個群在結構上是完全等價的。本章的重中之重是第一同構定理（或稱基本同構定理），它建立瞭商群與同態像之間的深刻聯係，是連接群的子結構、同態和商結構的最重要橋梁。此外，我們將探討單群（Simple Groups）以及冪零群（Nilpotent Groups）的初步概念。 第六章：群的作用與應用 本章將群的概念從純代數結構提升到幾何與分析的應用層麵。我們定義瞭群在集閤上的作用 (Group Action)，並探討瞭其核心概念：軌道 (Orbits) 和穩定子 (Stabilizers)。群作用的經典應用包括：Sylow 定理（關於有限群中具有特定階的子群的存在性保證），以及對有限生成阿貝爾群結構的初步探索。 --- 第二部分：環論導引 (Introduction to Ring Theory) 環是比群更復雜的代數結構，它在集閤上定義瞭兩個二元運算：加法和乘法，並且乘法必須滿足對加法的分配律。環是數論、代數幾何和代數拓撲的通用框架。 第七章：環的定義與基本例子 本章定義瞭環 (Ring) 的嚴格結構，要求加法構成阿貝爾群，乘法滿足結閤律，並滿足分配律。我們將區分交換環（乘法滿足交換律）和帶單位元的環（存在乘法單位元1）。我們將分析整數環 $mathbb{Z}$、多項式環 $F[x]$、矩陣環 $M_n(F)$ 等核心實例。 第八章：子環、理想與零因子 子群對應於子環 (Subring)。更關鍵的是，為瞭能夠構造商結構，我們需要理想 (Ideal)。理想是環中對加法封閉的特殊子集，並且它在乘法上對環中的其他元素具有“吸收性”（即 $r cdot i$ 無論 $r$ 在左邊還是右邊，結果都在理想內）。我們還將引入零因子 (Zero Divisors) 的概念，並定義整環 (Integral Domain)——一個沒有非零零因子的交換環。 第九章：環同態與商環 與群論類似，我們定義環同態 (Ring Homomorphism)。正規子群對應於理想，因此我們能構造齣商環 (Quotient Ring)。第一同構定理在環的框架下再次展現其威力，建立瞭商環與同態像之間的深刻聯係。 第十章：域的結構與分式域 域 (Field) 是環論的頂峰，它是一個交換環，其中每一個非零元素都有乘法逆元。域是進行所有基本代數運算（加減乘除）的結構。本章將探討域的性質，以及如何從整環構造齣分式域 (Field of Fractions)，這是將有理數 $mathbb{Q}$ 構造為整數 $mathbb{Z}$ 的分數集閤的抽象推廣。 第十一章：主理想域與唯一因子域 我們開始對特殊的環進行分類和研究。主理想環 (Principal Ideal Domain, PID) 是指其所有理想都可以由單個元素生成的環（如 $mathbb{Z}$）。而唯一因子域 (Unique Factorization Domain, UFD) 則是指其中的每個非零非單位元都可以唯一地分解為其不可約元素（素數）的乘積（如 $mathbb{Z}$ 和多項式環 $F[x]$）。我們將證明 PID 蘊含 UFD，並探討 歐幾裏得整環 (Euclidean Domain) 作為 PID 的一個特例。 --- 第三部分：域的擴張 (Field Extensions) 域的擴張是代數方法在解決經典幾何問題（如化圓為方、三等分角）中發揮作用的領域。 第十二章：域擴張的基本概念 域擴張 (Field Extension) 是指一個域 $E$ 包含另一個域 $F$，且 $E$ 可以視為一個關於 $F$ 的嚮量空間。我們引入擴張次數 $[E:F]$ 的概念。 第十三章：代數元與超越元 一個域擴張中的元素 $alpha$ 要麼是代數元 (Algebraic Element)，即它是某個以 $F$ 中元素為係數的有理多項式的根；要麼是超越元 (Transcendental Element)。本章將集中於代數擴張，並引入最小多項式 (Minimal Polynomial) 的唯一性與性質。 第十四章：代數擴張與有限擴張 我們將證明有限擴張（擴張次數有限的擴張）總是代數擴張。最後，我們將分析域擴張的復閤結構，即如果 $F subset E subset K$，那麼 $[K:F] = [K:E][E:F]$。 --- 結語 抽象代數不僅是關於“什麼”結構存在，更是關於“如何”從簡單結構構建復雜結構的方法論。本書的結構旨在模仿這一構建過程，從群的單操作，到環的雙操作，最終到達域的完整除法結構，並在域擴張中應用這些工具來解決特定問題。希望讀者在完成本書的學習後，能夠以全新的視角審視數學中的對稱性、結構與可解性。