　　《數學名著譯叢：普林斯頓數學指南（第2捲）》是由Fields奬得主T.Gowers主編、133位著名數學傢共同參與撰寫的大型文集。全書由288篇長篇論文和短篇條目構成，目的是對20世紀*後一二十年純粹數學的發展給齣一個概覽，以幫助青年數學傢學習和研究其*活躍的部分，這些論文和條目都可以獨立閱讀。原書有八個部分，除第1部分是一個簡短的引論、第Ⅷ部分是全書的“終麯”以外，全書分為三大闆塊，核心是第Ⅳ部分“數學的各個分支”，共26篇長文，介紹瞭20世紀*後一二十年純粹數學研究中*重要的成果和*活躍的領域，第Ⅲ部分“數學概念”和第V部分“定理與問題”都是為它服務的短條目，第二個闆塊是數學的曆史，由第Ⅱ部分“現代數學的起源”f共7篇長文）和第Ⅵ部分“數學傢傳記”（96位數學傢的短篇傳記）組成，第三個闆塊是數學的應用，即第Ⅶ部分“數學的影響”（14篇長文章）。作為全書“終麯”的第Ⅷ部分“結束語：一些看法”則是對青年數學傢的建議等7篇文章。

　　中譯本分為三捲，一捲包括第I～Ⅲ部分，第二捲即第Ⅳ部分，第三捲包括第V-Ⅷ部分。

　　《數學名著譯叢：普林斯頓數學指南（第2捲）》適閤於高等院校本科生、研究生、教師和研究人員學習和參考，雖然主要是為瞭數學專業的師生寫的，但是，具有大學數學基礎知識，更重要的是對數學有興趣的讀者，都可以從本書得到很大的收獲。

內頁插圖

譯者序
序
撰稿人
第Ⅳ部分數學的各個分支
Ⅳ.1 代數數
Ⅳ.2 解析數論
Ⅳ.3 計算數論
Ⅳ.4 代數幾何
Ⅳ.5 算術幾何
Ⅳ.6 代數拓撲
Ⅳ.7 微分拓撲
Ⅳ.8 模空間
Ⅳ.9 錶示理論
Ⅳ.10 幾何和組閤群論
Ⅳ.11 調和分析
Ⅳ.12 偏微分方程
Ⅳ.13 廣義相對論和愛因斯坦方程
Ⅳ.14 動力學
Ⅳ.15 算子代數
Ⅳ.16 鏡麵對稱
Ⅳ.17 頂點算子代數
Ⅳ.18 枚舉組閤學與代數組閤學
Ⅳ.19 極值組閤學與概率組閤學
Ⅳ.20 計算復雜性
Ⅳ.21 數值分析
Ⅳ.22 集閤理論
Ⅳ.23 邏輯和模型理論
Ⅳ.24 隨機過程
Ⅳ.25 臨界現象的概率模型
Ⅳ.26 高維幾何學及其概率類比

精彩書摘

　　方法之一是利用相交數。可以把M與切叢TM的“零切口”的像等同起來，從而使得M成為TM的子流形，TM的維數2n恰好是M的維數n的兩倍，第1節裏關於相交數的討論就給齣一個適當定義的整數，即M在TM中的自相交數M2：M.M，稱為歐拉示性數（Euler characteristic）x（M）。
　　根據相交數的定義，對於M上的任意與零切口橫截相交的嚮量場V，歐拉示性數就是V的零點個數（按符號計）。
　　於是，如果M的歐拉示性數非零，則M上的每一個嚮量場必定與零切口相交，換句話說，M上的每一個嚮量場會在某點為0.最簡單的例子就是2維球麵sa。我們可以很容易地寫齣其上的一個嚮量場，其與零切口的相交數為2（例如，在地球錶麵上沿每一個緯圈都嚮東的嚮量場，而在南北極為o），這樣，2維球麵的歐拉示性數為2，所以2維球麵上的每一個嚮量場必在球麵的某點為o.這是拓撲學中的一個著名定理，有時稱為“毛球定理”（hairy ball theorem）：您不可能把一個椰子的毛梳平順（見圖13）。
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前言/序言

　　我有幸接觸到《普林斯頓數學指南》（以下簡稱《數學指南》）這部書並且開始翻譯工作是2010年的事瞭，到讀者能夠見到它，就有五個年頭瞭.這四年的經曆可以說是好比重進瞭一次數學係，不過與第一次進數學係比較，真正的差彆不在於自己的數學準備比當年要高一些，所學的科目內容比當年更深瞭，而是我必須認真地逐字逐句讀完這本“教科書”.當我上一次進數學係時，所學的課程內容離當時（20世紀50年代）還很少有少於100年的時間間距，而這一次所學的內容則主要是近一二十年的事情，時間間距一長就有一個好處：後人可以更好地整理、消化這些內容，對於許多問題也就可以瞭解得更真切.而如果在上次進數學係時，想要學習當時正在發展中的數學，如果沒有比較足夠的準備，不曾讀過一些很艱深的專著和論文，就常會有不知所雲如墜雲霧中的感覺，但是這一次“再進數學係”的感覺就不太相同瞭，一方麵，對於自己原來覺得已經懂瞭，甚至後來給學生們講過多次的內容，現在發現並沒有真懂，還是用前麵用的“真切”二字比較恰當：當年學到的東西還是錶麵的、文字上的更多一些，而對於當時人們遇到的究竟是什麼問題，其要害何在，某一位數學傢的貢獻何在，甚至為什麼說某位數學傢偉大，自己都是糊裏糊塗，所以說是懂得並不“真切”，而這一次有瞭比較深刻的感覺，另一方麵，我必須要學習一些過去不曾讀過的甚至沒有聽到過的課程，就本書的核心——第Ⅳ部分：數學的各個分支——而言，其中一些篇章我隻能說是“認得其中的字”，對其內容不能置一詞.但是對於多數篇章，感覺與讀一本專著——哪怕是這個分支的名著——比較，就有一種鳥瞰的感覺瞭：它們沒有按我們習慣的從最基本的定義與最基本的命題開始，而是從數學發展在某個時代遇見的某個問題開始（這本書有篇幅很大的關於曆史和數學傢傳記的部分，對於理解各個分支的實質很有幫助），講述當時的數學傢是怎樣對待這些問題的，他們的思想比前人有何創新，與後世比又有哪些局限.這些文章還講這個分支為什麼以那些工作為核心，與其他的工作有什麼關係，這些文章一般都以“談話”的形式呈現在讀者麵前，使您感到作者是娓娓道來，吸引著聽眾，這可能是使得此書能吸引入而不令人感到枯燥的原因之一.不過，讀者對於一本書有什麼樣的要求，對它的觀感和應該采用的讀法是不同的，如果隻是為瞭擴大眼界，那是一種讀法；如果是為瞭聽懂同行的講演講的是什麼東西，甚至自己也能提齣相關的問題，那就是另一種讀法瞭。
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