　　《数学名著译丛：普林斯顿数学指南（第2卷）》是由Fields奖得主T.Gowers主编、133位著名数学家共同参与撰写的大型文集。全书由288篇长篇论文和短篇条目构成，目的是对20世纪*后一二十年纯粹数学的发展给出一个概览，以帮助青年数学家学习和研究其*活跃的部分，这些论文和条目都可以独立阅读。原书有八个部分，除第1部分是一个简短的引论、第Ⅷ部分是全书的“终曲”以外，全书分为三大板块，核心是第Ⅳ部分“数学的各个分支”，共26篇长文，介绍了20世纪*后一二十年纯粹数学研究中*重要的成果和*活跃的领域，第Ⅲ部分“数学概念”和第V部分“定理与问题”都是为它服务的短条目，第二个板块是数学的历史，由第Ⅱ部分“现代数学的起源”f共7篇长文）和第Ⅵ部分“数学家传记”（96位数学家的短篇传记）组成，第三个板块是数学的应用，即第Ⅶ部分“数学的影响”（14篇长文章）。作为全书“终曲”的第Ⅷ部分“结束语：一些看法”则是对青年数学家的建议等7篇文章。

　　中译本分为三卷，一卷包括第I～Ⅲ部分，第二卷即第Ⅳ部分，第三卷包括第V-Ⅷ部分。

　　《数学名著译丛：普林斯顿数学指南（第2卷）》适合于高等院校本科生、研究生、教师和研究人员学习和参考，虽然主要是为了数学专业的师生写的，但是，具有大学数学基础知识，更重要的是对数学有兴趣的读者，都可以从本书得到很大的收获。

内页插图

译者序
序
撰稿人
第Ⅳ部分数学的各个分支
Ⅳ.1 代数数
Ⅳ.2 解析数论
Ⅳ.3 计算数论
Ⅳ.4 代数几何
Ⅳ.5 算术几何
Ⅳ.6 代数拓扑
Ⅳ.7 微分拓扑
Ⅳ.8 模空间
Ⅳ.9 表示理论
Ⅳ.10 几何和组合群论
Ⅳ.11 调和分析
Ⅳ.12 偏微分方程
Ⅳ.13 广义相对论和爱因斯坦方程
Ⅳ.14 动力学
Ⅳ.15 算子代数
Ⅳ.16 镜面对称
Ⅳ.17 顶点算子代数
Ⅳ.18 枚举组合学与代数组合学
Ⅳ.19 极值组合学与概率组合学
Ⅳ.20 计算复杂性
Ⅳ.21 数值分析
Ⅳ.22 集合理论
Ⅳ.23 逻辑和模型理论
Ⅳ.24 随机过程
Ⅳ.25 临界现象的概率模型
Ⅳ.26 高维几何学及其概率类比

精彩书摘

　　方法之一是利用相交数。可以把M与切丛TM的“零切口”的像等同起来，从而使得M成为TM的子流形，TM的维数2n恰好是M的维数n的两倍，第1节里关于相交数的讨论就给出一个适当定义的整数，即M在TM中的自相交数M2：M.M，称为欧拉示性数（Euler characteristic）x（M）。
　　根据相交数的定义，对于M上的任意与零切口横截相交的向量场V，欧拉示性数就是V的零点个数（按符号计）。
　　于是，如果M的欧拉示性数非零，则M上的每一个向量场必定与零切口相交，换句话说，M上的每一个向量场会在某点为0.最简单的例子就是2维球面sa。我们可以很容易地写出其上的一个向量场，其与零切口的相交数为2（例如，在地球表面上沿每一个纬圈都向东的向量场，而在南北极为o），这样，2维球面的欧拉示性数为2，所以2维球面上的每一个向量场必在球面的某点为o.这是拓扑学中的一个著名定理，有时称为“毛球定理”（hairy ball theorem）：您不可能把一个椰子的毛梳平顺（见图13）。
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前言/序言

　　我有幸接触到《普林斯顿数学指南》（以下简称《数学指南》）这部书并且开始翻译工作是2010年的事了，到读者能够见到它，就有五个年头了.这四年的经历可以说是好比重进了一次数学系，不过与第一次进数学系比较，真正的差别不在于自己的数学准备比当年要高一些，所学的科目内容比当年更深了，而是我必须认真地逐字逐句读完这本“教科书”.当我上一次进数学系时，所学的课程内容离当时（20世纪50年代）还很少有少于100年的时间间距，而这一次所学的内容则主要是近一二十年的事情，时间间距一长就有一个好处：后人可以更好地整理、消化这些内容，对于许多问题也就可以了解得更真切.而如果在上次进数学系时，想要学习当时正在发展中的数学，如果没有比较足够的准备，不曾读过一些很艰深的专著和论文，就常会有不知所云如坠云雾中的感觉，但是这一次“再进数学系”的感觉就不太相同了，一方面，对于自己原来觉得已经懂了，甚至后来给学生们讲过多次的内容，现在发现并没有真懂，还是用前面用的“真切”二字比较恰当：当年学到的东西还是表面的、文字上的更多一些，而对于当时人们遇到的究竟是什么问题，其要害何在，某一位数学家的贡献何在，甚至为什么说某位数学家伟大，自己都是糊里糊涂，所以说是懂得并不“真切”，而这一次有了比较深刻的感觉，另一方面，我必须要学习一些过去不曾读过的甚至没有听到过的课程，就本书的核心——第Ⅳ部分：数学的各个分支——而言，其中一些篇章我只能说是“认得其中的字”，对其内容不能置一词.但是对于多数篇章，感觉与读一本专著——哪怕是这个分支的名著——比较，就有一种鸟瞰的感觉了：它们没有按我们习惯的从最基本的定义与最基本的命题开始，而是从数学发展在某个时代遇见的某个问题开始（这本书有篇幅很大的关于历史和数学家传记的部分，对于理解各个分支的实质很有帮助），讲述当时的数学家是怎样对待这些问题的，他们的思想比前人有何创新，与后世比又有哪些局限.这些文章还讲这个分支为什么以那些工作为核心，与其他的工作有什么关系，这些文章一般都以“谈话”的形式呈现在读者面前，使您感到作者是娓娓道来，吸引着听众，这可能是使得此书能吸引入而不令人感到枯燥的原因之一.不过，读者对于一本书有什么样的要求，对它的观感和应该采用的读法是不同的，如果只是为了扩大眼界，那是一种读法；如果是为了听懂同行的讲演讲的是什么东西，甚至自己也能提出相关的问题，那就是另一种读法了。
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