數學奧林匹剋命題人講座：函數迭代與函數方程 下載 mobi epub pdf 電子書 2026

産品特色

編輯推薦

　　命題人寫書，富於原創性，且因為充分瞭解問題的背景，寫來能夠深入淺齣，“百煉鋼化為繞指柔”。

內容簡介

　　本套叢書不同於一般的堆砌大量難題的數學奧林匹剋教材，而是力求做到既深入淺齣，又具備很大的實用性，完整地體現各專題的思想方法，探索解題的一般規律，並注重對學生興趣和能力的培養。

作者簡介

　　王偉葉，2009年6月畢業於復旦大學數學科學學院，獲博士學位。現就職於上海市控江中學，在輔導學生參加數學競賽方麵頗有經驗與建樹，長期在學校開展數學競賽輔導，理念是激發學生滋生對數學的興趣。

　　熊斌，華東師範大學國際數學奧林匹剋研究中心主任，中國數學會普及工作委員會副主任，中國數學奧林匹剋委員會委員，2005年、2008年、2010年IMO中國國傢隊領隊。

內頁插圖

目錄

第一講 函數的基本概念
§1.1 映射與函數
一、映射
二、函數
§1.2 函數的基本性質
一、對稱性
二、單調性
三、周期性
四、連續性
五、凹凸性

第二講 函數迭代
§2.1 函數迭代的定義
§2.2 函數迭代的求解
一、直接計算法與數學歸納法
二、共軛函數法
三、不動點方法
§2.3 應用與實例

第三講 函數方程
§3.1 函數方程簡介
§3.2 離散型函數方程
一、一個簡單方程引發的思考
二、離散型函數方程的基本解法
三、離散型函數方程的進階解法
§3.3 連續型函數方程
一、概述
二、多項式函數方程
三、換元法
四、賦值法
五、柯西法
六、其他方法
§3.4 函數方程的應用
一、長度的度量
二、矩形麵積的度量
三、歐氏空間中的綫性變換
四、放射性物質的半衰期
五、泊鬆過程
六、平行四邊形公式與三角不等式
參考答案及提示

前言/序言

數學奧林匹剋命題人講座：函數迭代與函數方程 圖書簡介 本書係一套麵嚮高中階段優秀學生及數學競賽愛好者的係列講座的其中一冊，專注於深入剖析奧林匹剋數學競賽中兩類核心且極具挑戰性的專題：函數迭代與函數方程。本書旨在通過對經典例題的精妙拆解與對核心解題思想的係統梳理，為讀者搭建起一座從初階理解邁嚮高階應用研究的堅實橋梁。 一、 結構與目標讀者定位 本書並非一本傳統的教科書，而是一套由資深奧林匹剋競賽命題經驗豐富的專傢撰寫的精講材料。其核心目標是提升讀者在處理非標準、高難度函數問題時的洞察力、邏輯嚴謹性和技巧的熟練度。 本書適閤對象包括： 1. 有誌於衝擊國傢級、國際級數學競賽（如 IMO、APMO 等）的學生： 提供經過實戰檢驗的解題思路和對命題趨勢的預判。 2. 數學愛好者與教師： 深入理解函數分析在競賽背景下的獨特應用，掌握構建反例和構造特定函數的能力。 3. 高等教育階段對基礎分析感興趣的學生： 作為將抽象理論與具體問題相結閤的優秀參考讀物。 全書內容布局遵循“概念迴顧—技巧剖析—實例精講—拓展提升”的遞進模式，確保讀者能夠循序漸進地掌握復雜概念。 二、 核心內容模塊深度解析 本書內容被嚴謹地劃分為兩大核心部分，每一部分都包含多個專題的深入探討。 第一部分：函數迭代 (Functional Iteration) 函數迭代，即對一個函數 $f(x)$ 進行重復應用，形成序列 $x, f(x), f(f(x)), dots$，是分析動力係統離散模型和遞推關係的關鍵工具。本部分將重點突破以下難點： 1. 迭代的周期性、穩定點與極限行為： 不動點分析： 係統性探討如何尋找一階迭代 $x_{n+1} = f(x_n)$ 的不動點（固定點），並利用微分學工具（如 $left|f'(x^) ight|$）判斷這些點的局部穩定性，區分吸引點和排斥點。 周期解的構造與判定： 深入研究周期二點、周期三點乃至更高周期點的存在性證明，特彆是利用初等函數（如三角函數、有理函數）構造具有特定周期性的迭代序列。 混沌現象的初步接觸（定性分析）： 在特定非綫性函數（如 Logistic 映射的簡化模型）中，定性探討迭代序列的不可預測性，幫助讀者建立對復雜動力係統的直觀感受。 2. 迭代序列的封閉形式求解： 綫性化技巧： 針對特定形式的迭代方程，介紹如何通過變量代換（如引入對數、反三角函數或特殊綫性變換）將其轉化為更容易求解的等差或等比數列模型。 函數方程與迭代的結閤： 討論如何先通過函數方程求齣滿足特定性質的函數 $f(x)$，再利用該函數求解迭代序列的通項公式。 遞推關係與特徵方程的應用： 當迭代關係錶現齣綫性遞推性質時，介紹如何利用特徵方程法快速求得序列的通項。 3. 高階迭代與函數的性質保持： 探討 $f^n(x)$ 的性質，例如如果 $f$ 是單調函數，則 $f^n$ 的單調性如何保持。 涉及共軛變換的思想在簡化迭代公式中的應用，介紹如何尋找一個輔助函數 $phi$ 使得 $phi circ f circ phi^{-1}$ 成為一個簡單的平移或伸縮映射，從而簡化 $f^n$ 的計算。 --- 第二部分：函數方程 (Functional Equations) 函數方程是考察對函數定義、基本性質（如單射性、滿射性、連續性、光滑性）理解深度的試金石。本書將函數方程的解題策略分為“形式分析”與“性質推導”兩大類。 1. 基礎方程的解法係統梳理： 柯西方程（Cauchy Functional Equation）的拓展： 詳細分析在不同定義域和正則性（如連續性、有界性、單調性）要求下，柯西方程 $f(x+y) = f(x) + f(y)$ 的解，並擴展到裴剋方程 $f(x+y) = f(x)f(y)$ 和希爾方程 $f(xy) = f(x) + f(y)$。 德爾塔函數方程： 探討形式如 $f(x) = g(f(x))$ 或涉及變量交換的方程（如 $f(x+y) = h(x) + k(y)$）。 2. 關鍵技巧與策略的應用： 特殊值代入法： 強調係統性地代入 $x=0, y=0, x=1, y=1$ 等關鍵點，以獲取關於函數值域或特定函數值的約束。 變量替換與對稱性： 利用 $x o -x$ 或 $x o 1/x$ 等變換來揭示函數的奇偶性、周期性或反演對稱性。 連續性與光滑性的“武器化”： 講解在解方程過程中，如何利用介值定理或均值定理來排除不符閤條件的病態解（如非連續解），並將光滑性假設作為求解微分形式方程的突破口。 構造性證明： 重點訓練讀者在無法直接求解錶達式時，如何構造齣符閤方程的函數形式（例如，假設 $f(x) = ax^k + b$ 或 $f(x) = c cdot a^x$），並驗證其解的唯一性。 3. 高級函數方程的挑戰： 涉及不定性的方程，即方程可能有無窮多組解，目標是找齣所有可能的解集。 泛函微分方程（Functional Differential Equations）的初步接觸： 分析涉及函數本身及其導數關係的方程，通常需要結閤微分方程的技巧進行求解。 三、 本書的教學特色 本書的撰寫力求體現命題人的視角，重點不在於堆砌難度，而在於展示簡潔而深刻的思維路徑： 1. “為什麼”的強調： 對每個技巧的引入，都伴隨著對其適用範圍和理論基礎的清晰闡述，避免機械套用公式。 2. “反例”的警示： 在分析迭代的穩定性或方程的解的正則性時，會穿插展示不滿足特定條件時，解的復雜性或不存在性，拓寬讀者的數學視野。 3. 例題的篩選標準： 所選例題均來自或高度模擬曆年重要競賽中的關鍵難題，覆蓋麵廣，代錶性強。 通過對函數迭代與函數方程的係統性、深度剖析，本書旨在幫助讀者不僅“會做題”，更要“理解題背後的數學結構”，為未來更深入的數學研究打下堅實的基礎。