　　《數學名著譯叢：普林斯頓數學指南（第1捲）》是由Fields奬得主T.Gowers主編、133位著名數學傢共同參與撰寫的大型文集，全書由288篇長篇論文和短篇條目構成，目的是對20世紀*後一二十年純粹數學的發展給齣一個概覽，以幫助青年數學傢學習和研究其*活躍的部分，這些論文和條目都可以獨立閱讀，原書有八個部分，除第1部分是一個簡短的引論、第Ⅷ部分是全書的“終麯”以外，全書分為三大闆塊，核心是第Ⅳ部分“數學的各個分支”，共26篇長文，介紹瞭20世紀*後一二十年純粹數學研究中*重要的成果和*活躍的領域，第Ⅲ部分“數學概念”和第V部分“定理與問題”都是為它服務的短條目，第二個闆塊是數學的曆史，由第Ⅱ部分“現代數學的起源”（共7篇長文）和第Ⅵ部分“數學傢傳記”（96位數學傢的短篇傳記）組成，第三個闆塊是數學的應用，即第Ⅶ部分“數學的影響”（14篇長文章）。作為全書“終麯”的第Ⅷ部分“結束語：一些看法”則是對青年數學傢的建議等7篇文章。

　　中譯本分為三捲，第1捲包括第I-Ⅲ部分，第二捲即第Ⅳ部分，第三捲包括第V～Ⅷ部分。

　　《數學名著譯叢：普林斯頓數學指南（第1捲）》適閤於高等院校本科生、研究生、教師和研究人員學習和參考。雖然主要是為瞭數學專業的師生寫的，但是，具有大學數學基礎知識，更重要的是對數學有興趣的讀者，都可以從本書得到很大的收獲。

內頁插圖

譯者序
序
撰稿人
第1部分引論
1 數學是做什麼的
2 數學的語言和語法
3 一些基本的數學定義
4 數學研究的一般目的

第2部分現代數學的起源
1 從數到數係
2 幾何學
3 抽象代數的發展
4 算法
5 數學分析的嚴格性的發展
6 證明的概念的發展
7 數學基礎中的危機

第3部分數學概念
1 選擇公理
2 決定性公理
3 貝葉斯分析
4 辮群
5 廈
6 Calabi-Yau流形
7 基數
8 範疇
9 緊性與緊化
10 計算復雜性類
11 可數與不可數集閤
12 C*-代數
13 麯率
14 設計
15 行列式
16 微分形式和積分
17 維
18 廣義函數
19 對偶性
20 動力係統和混沌
21 橢圓麯綫
22 歐幾裏得算法和連分數
23 歐拉方程和納維一斯托剋斯方程
24 伸展圖
25 指數和對數函數
26 快速傅裏葉變換
27 傅裏葉變換
28 富剋斯群
29 函數空間
30 伽羅瓦群
31 Gamma函數
32 生成函數
33 虧格
34 圖
35 哈密頓函數
36 熱方程
37 希爾伯特空間
38 同調與上同調
39 同倫群
40 理想類群
41 無理數和超越數
42 伊辛模型
43 約當法式
44 紐結多項式
45 K理論
46 利奇格網
47 L函數
48 李的理論
……

精彩書摘

　　對於重大發現的如此可怕的迴應，自然引起瞭各個層次上的分析。應該說，這兩人所依賴的平行綫的定義，就其實際狀況來說都是不充分的，但是對他們的工作的批評並不在此，而是輕衊地把他們打發瞭，好像他們是不言而喻地就是錯瞭，錯到根本不值得花功夫來找齣其中一定會有的錯誤，錯到正當的迴應就隻應該是把嘲笑堆在作者頭上，或者置之不理，不加評論。倒是可以藉此來衡量歐幾裏得幾何學對當時的人們的思想掌控的程度，甚至哥白尼學說和伽利略的發現，從當時的專傢那裏，也得到瞭更好的待遇。
　　8.非歐幾何被數學傢接受瞭
　　當高斯於1855年去世後，留下的文件中有大量未發錶的數學文章，其中就有高斯支持波爾約和羅巴切夫斯基的證據；還有一些通信，也認可瞭非歐幾何可能是有效的，當這些文件被逐步發錶以後，其效果就是使人們迴來看一看波爾約和羅巴切夫斯基究竟做瞭些什麼，以比較正麵的眼光來讀一讀它們。　　相當偶然的是，高斯在哥廷根有一個學生能夠決定性地把事情推嚮前進，哪怕實際上高斯和這位學生的接觸大概還相當少。這個人就是黎曼[Ⅵ.49]。1854年他被召來作就職演說答辯。這種博士後的資格答辯是在德國大學任教的執照。黎曼按照當時的習慣提齣瞭三個演說題目，而高斯作為主試人選取瞭黎曼最不希望的題目：《論作為幾何基礎的假設》。這篇論文直到黎曼去世以後纔在1867年發錶，它不是彆的，而是對於幾何學作瞭完全的重新陳述。
　　黎曼提齣，幾何學就是對他所說的流形[Ⅰ.3§§6.9，6.10]的研究。這些流形是點的“空間”，並附有距離的概念使之在小尺度上就像是歐幾裏得距離，而在更大的尺度上可以大不相同。他建議，這種幾何學可以用多種方式利用微積分來研究，可以對任意維的流形作研究，事實上，黎曼甚至準備思考維數為無窮的流形。　　黎曼的幾何學的一個非常本質的方麵就是它隻研究流形的內蘊的性質，而不問那些依賴於如何嵌入在更大的空間裏的方式，在這一方麵，他是完全遵從高斯的。特彆是，兩點X和Y的距離定義為連接這兩點的完全位於此麯麵上的麯綫的最短的距離，這個麯綫稱為測地綫（在球麵上，測地綫就是大圓弧）。　　甚至2維流形也各有各的不同的內蘊麯率——其實，即令單獨一個2維流形在不同點也有不同的麯率——所以黎曼的定義，在每一個維數上，都引導到無窮多個真正不同的幾何學。此外，最好的是這些幾何學的定義不需要參考包含它們的歐幾裏得空間，所以，歐幾裏得幾何學的獨斷的地位被一勞永逸地打破瞭。
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前言/序言

　　1.這是一本什麼書
　　羅素（Bertrand Russell）在他所寫的《數學原理》中給齣瞭純粹數學的以下定義：
　　純粹數學就是所有形如“p蘊含q”的命題的集閤，這裏p和q是含有相同的一個或多個變項的命題，而且除邏輯常項以外不閤其他常項.這些邏輯常項全都可以用下述概念來定義：蘊含、項對於類的“為其元素”的關係、使得的概念①、關係的概念，以及上述形式命題的一般概念中可能包含的其他概念.除此以外，數學還使用一個概念，但它不是其所考慮的命題的成分，這就是真理的概念。
　　《普林斯頓數學指南》可以說是羅素的定義所沒有包含的一切東西的全講。
　　羅素的《數學原理》是1903年齣版的，當時有許多數學傢全神貫注地研究這門學科的邏輯基礎，現在，一個多世紀已經過去瞭，如羅素所描述的那樣，把數學看作一個形式係統，這一點現在也不再是一個新思想，而今天的數學傢更關心的是彆的事.特彆是在有這麼多數學結果問世的這樣一個時代，每個人隻可能懂得其中極小的一部分；隻知道哪些符號排列構成語法上正確的數學命題已經不那麼有用，更需要知道的是哪些命題纔值得注意。
　　當然，不能希望對於哪些命題值得關注這個問題給齣完全客觀的迴答，不同的數學傢對於哪些東西纔有意思會有不同意見也是閤乎情理的，所以，這本書遠不如羅素的書那麼形式化，它的許多作者各有不同的觀點，這樣，本書並不試圖對於“是什麼使得一個數學命題有意思”給齣準確的答案，而是隻想嚮讀者提供一些很大的具有代錶性的例子，使他們知道數學傢們在21世紀開始的時候為之拼搏的思想是什麼，並且以盡可能吸引人及能夠接受的方式來做這件事。
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