數論經典著作係列：初等數論（3） [Elementary Number Theory(3)] 下載 mobi epub pdf 電子書 在線閱讀 2026

內容簡介

數論是研究數的性質的一門學科。《數論經典著作係列：初等數論（3）》從科學實驗的實際經驗齣發，分析瞭數論的發生、發展和應用，介紹瞭數論的初等方法。本書為《初等數論（2）》的後續，介紹瞭自然數的一些有趣的性質、數論中常見的數、平方剩餘及其計算方法等數學方法。每章後有習題，並在書末附有全部習題解答。本書寫得深入淺齣，通俗易懂，可供廣大青年及科技人員閱讀。

作者簡介

陳景潤（1933年5月22日1996年3月19日）福建福州人，中國著名數學傢，廈門大學數學係畢業。
曆任中國科學院數學研究所研究員、河南大學、青島大學、華中工學院、福建師範大學等校教授、國傢科學技術委員會數學學科組成員、《數學季刊》主編等職、
1966年發錶“錶達偶數為一個素數及一個不超過兩個素數的乘積之和”（簡稱“1+2”），成為哥德巴赫猜想研究上的裏程碑，而他所發錶的成果也被稱之為陳氏定理，這項工作還使他與王元、潘承洞在1978年共同獲得中國自然科學奬一等奬1999年，中國發錶紀念陳景潤的郵票。紫金山天文颱將一顆行星命名為“陳景潤星”，以此紀念、另外，發錶研究論文25篇，並有《數學趣味談》、《組閤數學》等著作。
世界級的數學大師、美國學者安德烈·韋伊（Andre Weil）曾這樣稱贊他：“陳景潤的每一項工作，都好像是在喜馬拉雅山山巔上行走。”

內頁插圖

目錄

第9章 自然數的一些有趣的性質l
9.1 奇妙的平方數
9.2 有趣的減法
9.3 用歸納法解題
9.4 前n個自然數的方冪和
習題

第10章 數論中常見的數
10.1 伯努利數
10.2 斐波那契數列
10.3 不足數，過剩數與完全數
10.4 等冪和公式的研究
習題

第11章 平方剩餘
11.1 平方剩餘的概念
11.2 以素數為模的平方剩餘
11.3 勒讓德符號
11.4 互反定律
11.5 雅可比符號
習題

第12章 平方剩餘的計算方法
12.1 素數模的情形
12.2 以2a為模的情形（a≥1）
12.3 以任意正整數為模的情形
習題

第13章 原根與指數
13.1 原根（素數模的情形）
13.2 原根（奇素數冪的情形）
13.3 原根（模為2spk，P≥3的情形）
13.4 原根（其他情形的討論）
13.5 指數
13.6 原根及指數的其他應用
習題

第14章 錶正整數為平方和及華林問題介紹
14.1 素數錶為平方和
14.2 正整數錶為兩個平方和
14.3 拉格朗日的四平方定理
14.4 華林問題簡介
14.5 帶正負號的華林問題
習題

第15章 容斥原理及應用
15.1 集閤的基本知識
15.2 容斥原理
15.3 容斥原理的應用
習題
習題解答
編輯手記

前言/序言

好的，這是一份關於“數論經典著作係列”中除《初等數論（3）》之外其他書籍的詳細介紹，旨在展示該係列在數論領域的廣度和深度。 --- 數論經典著作係列：係列全覽 本係列叢書匯集瞭數論領域具有裏程碑意義的經典著作，旨在為不同層次的讀者提供係統而深入的數論知識體係。該係列不僅涵蓋瞭數論的傳統基礎，更拓展至現代數論的前沿領域，是數學專業學生、研究人員以及對數論有濃厚興趣的愛好者不可或缺的參考資料。 本係列旨在構建一個從基礎到高深的知識階梯，確保讀者在掌握核心概念的同時，能夠領略數論作為“數學女王”的魅力與深度。 --- 係列中的核心組成部分（不包含《初等數論（3）》）： 1. 《數論導引：基礎與應用》 本書是為數論初學者量身定製的入門讀物。它以清晰、嚴謹且易於理解的方式，係統地介紹瞭初等數論的核心概念。 主要內容： 整除性與同餘理論： 深入探討瞭整數的性質，如最大公約數、最小公倍數、歐幾裏得算法，以及模運算的基礎。重點闡述瞭同餘關係的代數結構及其在密碼學中的初步應用。 算術函數與積性函數： 詳細介紹歐拉 $phi$ 函數、除數函數 $sigma_k(n)$ 和莫比烏斯函數 $mu(n)$，並解釋瞭狄利剋雷捲積的性質。這些函數是連接加法與乘法結構的關鍵橋梁。 原根與二次互反律： 這是初等數論中的高光部分。書中不僅詳細推導瞭二次互反律（高斯引理），還介紹瞭中國剩餘定理在求解復雜同餘方程中的強大作用。對原根的存在性與性質進行瞭詳盡的論述。 丟番圖方程的初步探討： 介紹瞭綫性丟番圖方程的求解方法，並對費馬大定理的曆史背景和初步的嘗試（如費馬平方和定理）進行瞭概述。 特點： 本書強調直觀理解和計算技巧，配有大量的例題和習題，旨在幫助讀者快速建立紮實的數論直覺。 2. 《解析數論：從黎曼到現代方法》 本書是邁入現代數論殿堂的必經之作。它將復分析的工具係統地引入數論研究，是理解解析數論框架的關鍵。 主要內容： 復變量函數基礎與黎曼 $zeta$ 函數： 復習必要的復分析知識，特彆是留數定理。隨後，全麵介紹黎曼 $zeta$ 函數的定義、解析延拓、泛函方程及其在素數分布中的核心地位。 素數定理的證明與應用： 詳細展示瞭素數定理（PNT）的經典證明路徑，包括利用 $zeta(s)$ 在 $s=1$ 處的零點信息來估計 $pi(x)$ 的漸近行為。 狄利剋雷 $L$ 函數與狄利剋雷定理： 引入狄利剋雷 $L$ 函數，並給齣算術級數中素數分布定理（狄利剋雷素數定理）的完整證明。探討瞭 $L$ 函數的零點分布與素數間隙的關係。 篩法初步： 介紹瞭埃拉托斯特尼篩法的發展，特彆是維諾格拉多夫的三角和估計在解決數論問題中的威力。 特點： 本書對理論的推導極為嚴謹，要求讀者具備紮實的微積分和復分析基礎。它揭示瞭數論中許多“深層結構”的解析本質。 3. 《代數數論：域擴張與理想理論》 本書專注於構建代數數論的理論框架，它將數論的關注點從有理數 $mathbb{Q}$ 擴展到任意代數數域，是現代數論研究的基礎工具。 主要內容： 代數數與代數整數： 定義和研究代數數的基本性質，如極小多項式、跡、範數。詳細介紹代數整數環 $mathcal{O}_K$ 的構造及其核心性質。 環論在數論中的應用： 介紹Dedekind環的概念，這是理想理論的基石。重點闡述瞭理想的唯一分解性質，以及與素因子分解的對應關係。 域的擴張與判彆式： 分析有限域擴張下的環結構，計算域擴張的判彆式，並利用判彆式來判定素數在擴張域中的分解行為（如慣性、分裂）。 類的概念與類群： 引入理想類群（Ideal Class Group）的概念，闡釋瞭為什麼在許多代數數域中，代數整數環不再具有唯一分解性。詳細討論瞭單位群（Units Group）的結構，如Dirichlet單位定理。 特點： 本書是連接抽象代數與數論的橋梁，強調結構和構造性證明。對於理解費馬大定理的推廣證明（如庫默爾的理想論方法）至關重要。 4. 《解析幾何數論：幾何方法在數論中的應用》 本書展示瞭如何利用幾何直覺和拓撲結構來解決看似純粹的代數或分析問題，特彆是圍繞橢圓麯綫和二次型。 主要內容： 二次型與幾何錶示： 深入研究二次型的分類，特彆是對實數域和有理數域上的二次型進行幾何解釋。引入Minkowski幾何，研究晶格上的點計數問題。 Minkowski 凸體定理與應用： 詳細證明Minkowski基本定理及其推論，並將其應用於證明一些經典的數論結果，如素數無窮性的幾何證明版本。 橢圓麯綫的代數幾何基礎： 介紹橢圓麯綫的定義、割綫法求和法則，以及Mordell-Weil定理的初步陳述（盡管完整證明依賴更深的代數幾何）。 高斯和與二次互反律的幾何視角： 從幾何和傅裏葉分析的角度重新審視高斯和，並利用其性質來提供二次互反律的簡潔證明。 特點： 本書強調直觀性與視覺化的數學思維，將抽象的數論問題轉化為可操作的幾何問題。 --- 係列總結： 本係列覆蓋瞭數論的四個主要分支：初等數論（側重計算與基礎）、解析數論（側重分析工具）、代數數論（側重結構與擴張）、以及幾何數論（側重幾何直覺與應用）。讀者可以通過這個係列，構建起一個完整、層次分明的數論知識體係，為深入研究任何一個分支打下堅實的基礎。