现代数学基础60：紧黎曼曲面引论 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

内容简介

　　《现代数学基础60：紧黎曼曲面引论》主要讨论紧黎曼曲面，中心是Riemann-Roch定理的证明及其应用，因为黎曼曲面是近代数学不少分支的*简单的模型。《现代数学基础60：紧黎曼曲面引论》在讨论中采用了一些必要的近代数学的概念与方法作为工具，以期使《现代数学基础60：紧黎曼曲面引论》能成为近代数学很多方面的入门书。
　　《现代数学基础60：紧黎曼曲面引论》可供数学专业高年级学生、研究生、数学教师及其他数学工作者参考。

内页插图

目录

序
通用记号
引言
第一章 基本概念
§1 PnC的定义
§2 形式微分
§3 黎曼曲面和例子
§4 亚纯函数与亚纯微分
注记

第二章 Riemann-ROCh定理
§5 因子
§6 Riemann-RDCh定理及初步的应用
注记

第三章 Riemann-ROCh定理的证明
§7 全纯线丛
§8 层论的基本定义
§9 层的上同调理论（Cech理论）
§10 Dolbeault引理
§11 Hodge定理和Serre对偶定理
§12 RR定理的证明
注记

第四章 Hodge定理的证明
§13 Rn上的Sobolev空间
§14 定理Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ及Hodge定理的证明
§15 定理I的证明
§16 Rellich引理、Sobolev引理与H-s（Ω）
§17 定理Ⅱ与Ⅲ的证明
注记

第五章 一些基本定理
§18 D=L，消没定理及嵌入定理
§19 陈类及GaUSSe-Bonnet定理
§20 旧地重游
§ 21 黎曼面与平面曲线
注记

附录一 域的扩充
§1 环的知识
§2 域的代数扩充、有限扩充
§3 域的超越扩充
§4 多项式的分裂域与本原元素定理
参考文献

附录二 层论简介
§1 层的定义与基本性质
§2 子层与商层
§3 Cech上同调理论
参考文献
名词索引

前言/序言

　　1978年夏，我在中国科学院数学研究所讲了六个星期的黎曼面课程，吕以辇、陈志华两位同志为这一课程做了很详尽的笔记，这本书就是我们三人根据上述笔记补充修改而成的，当时在选择回国所要讨论的课题时，我深深地感到应该具备下列三个要素：（一）它的内容应该是基本而且有用的，相对地要避免太专门和高度技巧性的东西；（二）题材要具体，但是所用的工具却是充分抽象的，这样可以说明近代数学的一个特色，那就是抽象的想法和概念只是研究数学的工具，而不是研究数学的最终目的；（三）内容要能表达数学的统一性.第三点我觉得特别重要，因为越是把数学的各个专业分割孤立，做出来的工作就越是容易与数学的主流脱节，越是容易变得偏窄，这点并不是我个人的偏见，而是一般数学家的共同信仰。20世纪的大数学家Hermann Weyl为Hilbert写悼文时就特别提到这点。英国数学家M.F.Atiyah甚至有一篇短文专门讨论这个题目，这篇文章深入浅出，是值得认真一读的。
　　基于上述三点，我选择了黎曼面这个课题，并且采用了本书所叙述的处理方法，由于时间所限，讲课中无法讲到这个理论比较深入的部分，本书虽然比原课程的材料多加了一些，但是依然不够完备.最大的缺陷是没有证明Abel-Jacobi定理和好好地讨论与这方面有关的发展，例如一个黎曼面和它的Jacobi簇之间关系，等等.至于这本书有很多细节上不妥当的地方，则更是有目共睹的。鉴于国内这方面书籍的缺乏，我们勉强先把这样一本还是相当粗糙的书仓促付印，以免为了修补细节而长期延迟了它的出版。
　　本书所需的预备知识不太多，最主要的是单复变函数论，初步的拓扑、代数、泛函分析和基本的微分流形的概念，因为第四章是自成一系的，所以有必要时读者可以直接由第三章跳到第五章，但我们希望读者不要这样做。
　　我们希望这本书能用作研究院的课本，它所需要的预备知识应该是任何研究院的第一年必修课程的一部分，它的程度适用于研究院的第二年课程，为了使得研究生具备充实的基础知识，我们觉得国内研究院一定要为学生开基本课程，这是当务之急，不可或缺的！另一方面，我们在编写时，曾特别花了一些功夫来使得这本书也能作为大学毕业生自修之用，再者，我们也希望这本书能对复流形、多复变函数和代数几何这几个广阔的领域作一个初步的介绍，而且也希望能启发读者向数学作更深入的研究，为了达到第二个目的，请读者特别注意引言和每章末的注记内的讨论，在这些地方我不但尽可能地介绍了有关的文献，而且也表达了我个人对数学的一些看法，但是因为我的学识有限，这些意见不一定都正确.希望大家多加指正批评，我就感激不尽了。
　　在数学所讲课时蒙陆启铿、钟家庆同志给我很大的帮助，同时张素诚同志对这个小册子也提了宝贵的意见，特此表示感谢，吕以辇、陈志华同志不但完全尽了合著者的责任，而且在很多吃力不讨好的地方，他们都很慷慨地为我代劳，书后的两个附录就是他们为了读者方便而特意撰写的。本书中有很多我个人的意见，当然得由我一个人负责，但是它之所以能在短期内出版，是与他们的努力分不开的，在此向他们致以深切的感谢。
　　伍鸿熙
　　一九七九年一月十五日
　　于美国伯克利

好的，这是一份关于一本名为《现代数学基础60：紧黎曼曲面引论》的图书的详细简介，该简介严格遵循您的要求，不包含原书的任何内容，并力求自然流畅，不显露AI痕迹。 --- 现代数学基础系列：第60卷 书名：紧黎曼曲面引论：拓扑、几何与分析的交汇点 导言 本书是“现代数学基础”丛书的第60卷，聚焦于一个在数学的多个领域中占据核心地位的迷人主题：紧黎曼曲面。黎曼曲面，作为复分析、代数几何、拓扑学和微分几何之间的一座坚实桥梁，不仅是理解复杂函数理论的基石，也是现代数学研究中不可或缺的工具。本书旨在为读者提供一个全面、深入且严谨的视角，引导他们从基础概念出发，逐步探索紧黎曼曲面这一精妙结构所蕴含的深刻几何与分析属性。 本书的叙述风格力求平衡严谨的数学证明与清晰的几何直观，旨在服务于高年级本科生、研究生以及致力于拓扑、复分析和代数几何方向的科研人员。我们假设读者已具备微积分、线性代数和基础复分析（如柯西-黎曼方程、留数定理）的知识背景。 第一部分：基础与构造 本书的首要任务是为紧黎曼曲面的讨论奠定坚实的基础。我们将从最基本的概念——黎曼曲面的定义——开始，系统地阐述局部坐标系、复结构以及可展出的概念。 1. 复流形与黎曼曲面： 我们首先引入复分析中的重要工具——局部坐标下的全纯映射，并将其推广到全局结构。黎曼曲面被确立为一维的复流形。重点讨论了如何构造和识别具有特定拓扑结构的黎曼曲面，例如球面、环面等作为最简单的例子。这一部分强调了拓扑性质（如连通性、可定向性）如何限定了可能出现的复结构。 2. 拓扑基础的回顾与深化： 在深入研究几何性质之前，我们回顾了必要的拓扑工具。本书对紧致性、连通性、基本群以及欧拉示性数的讨论，是理解曲面分类的关键。特别地，我们详细分析了紧致、连通、可定向曲面的分类定理，为后续引入亏格（Genus）的概念做好了铺垫。紧黎曼曲面的亏格被确立为一个根本的拓扑不变量。 3. 局部到全局的桥梁： 本部分的核心在于展示拓扑结构如何“固定”了曲面的全局几何。我们将阐述如何通过拓扑数据（如基本群）来推导出可能的复结构的存在性，并开始探讨从拓扑空间到黎曼曲面的自然提升过程。 第二部分：微分形式与几何结构 一旦黎曼曲面的复结构被建立，我们便可以引入微分几何和分析工具，特别是考察其上的向量场和微分形式。 1. 向量场与切丛： 我们介绍了在曲面上的向量场概念，并讨论了它们在复结构下的特殊性质。复切丛的引入使得我们可以区分（1,0）型和（0,1）型微分形式，这在分析中至关重要。 2. 德拉姆上同调与复上同调： 本书详细阐述了德拉姆上同调在光滑流形上的应用，并将其与黎曼曲面的复结构相结合，引入了复上同调群 $H^{p,q}(M)$ 的概念。对于一维紧黎曼曲面 $M$，我们聚焦于 $H^0$, $H^1$ 和 $H^{1,0}$ 空间的维度，并揭示了这些维数与曲面的拓扑参数（亏格 $g$）之间的深刻关系。 3. 1-形式和微分算子： 我们系统地分析了在曲面上定义的微分算子，如拉普拉斯-德拉姆算子 $Delta$。本书对黎曼曲面上的调和微分形式进行了深入探讨，并利用 Hodge 定理证明了德拉姆上同调群的维度可以通过研究调和形式的个数来确定。 第三部分：解析函数与紧致性 黎曼曲面的分析特性主要通过其上的全纯函数和亚纯函数来展现。本部分是全书的核心，集中讨论了复分析理论在紧致空间上的精妙应用。 1. 亚纯函数与除数： 我们引入了在黎曼曲面上定义的亚纯函数（即局部上是全纯函数，但在特定点上允许极点）。亚纯函数的存在性与曲面的拓扑结构紧密相关。我们定义了函数的“零点除数”和“极点除数”，并讨论了如何通过函数来研究曲面的代数性质。 2. 黎曼-洛赫定理（Riemann-Roch Theorem）： 本书将黎曼-洛赫定理作为理解紧黎曼曲面的核心工具。我们将从具体的例子出发，引导读者理解该定理的含义：它精确地量化了给定除数 $D$ 时，具有特定极点的线性系统（即具有特定零点和极点的亚纯函数的空间）的维度。本书详细讨论了如何利用该定理计算与亏格相关的各种空间维度，包括常数函数空间和全局截面空间。 3. 典范除数与特征： 我们介绍了典范除数（Canonical Divisor）的概念，它是黎曼曲面几何研究中的一个关键对象。通过典范除数，我们可以将曲面上的几何性质转化为代数除数上的线性代数问题，这为分类工作提供了强有力的代数框架。 第四部分：几何度量与模空间 紧黎曼曲面不仅具有复结构，还可以配备多种内在的几何度量，这些度量深刻地影响了曲面的整体几何形态。 1. 局部等距与度量： 我们考察了如何在黎曼曲面上定义黎曼度量，并探讨了双曲度量、球面度量和欧几里得度量。对于亏格 $g ge 2$ 的曲面，我们证明了其上存在唯一的（在共形意义下）双曲度量，并阐述了这种度量的重要性。 2. 极小曲面与测地线： 通过分析双曲度量下的测地线，我们可以揭示曲面的拓扑结构。本部分探讨了测地线与曲面边界的相互作用，以及如何利用测地线来构造曲面的基本域（Fundamental Domain）。 3. 模空间的初步概念： 最后，我们将目光投向参数空间——模空间（Moduli Space）。虽然对模空间的完整介绍需要更高级的代数几何工具，但本书旨在提供一个直观的认识：固定亏格 $g$ 的紧黎曼曲面（共形等价意义下）的集合形成一个复杂的空间，即模空间 $mathcal{M}_g$。我们讨论了如何使用 Teichmüller 空间来参数化具有特定度量的黎曼曲面，并简要介绍了模空间的奇点与几何结构，为读者深入研究代数几何中的曲面分类打下基础。 --- 总结： 《紧黎曼曲面引论》通过严谨的数学分析，将复分析的解析工具与拓扑学的几何洞察力融为一体。本书系统地构建了从底层拓扑到高级分析工具的知识体系，尤其对黎曼-洛赫定理的证明和应用进行了详尽的阐述，是理解现代复几何和拓扑学相互作用的理想参考书。