现代数学基础：代数学（上 第二版） pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

内容简介

　　《现代数学基础：代数学（上 第二版）》主要讲述近代代数的初步知识，内容包括集合论与数论、群论、多项式论、线性代数以及域论。
　　《现代数学基础：代数学（上 第二版）》内容丰富，直观性强，推理自然，解释详尽。此书的独到之处是特别注重对于代数学的背景、基本思想以及与其他学科的联系等方面的介绍。书中精选了大量的例题和习题。《现代数学基础：代数学（上 第二版）》的起点低，由浅入深。具有高等代数基础知识的读者皆可以阅读《现代数学基础：代数学（上 第二版）》，进而学到现代代数学的较大部分基础知识。
　　《现代数学基础：代数学（上 第二版）》可作为高等学校数学系高年级学生以及研究生的教材，也可供数学工作者参考。

作者简介

　　莫宗坚：美国台裔数学家，普渡大学数学系教授，主要领域包括交换代数、代数几何等。是目前数学家张益唐的博士生导师。
　　蓝以中：北京大学教授。
　　赵春来：北京大学教授。

内页插图

目录

第一章 集合论与数论
1 集合论
2 唯一分解定理
3 同余式
4 中国剩余定理
5 复整数集
6 p-adic：数与赋值

第二章 群论
1 群的定义
2 集合上的变换群
3 子群
4 内自同构及正规子群
5 自同构群
6 p群及西罗（Sylow）定理
7 Jordan-HSlder定理
8 对称群Sn

第三章 多项式
1 域与环
2 多项式环及比域
3 多项式环的唯一分解定理
4 对称式，结式及判别式
5 理想

第四章 线性代数
1 向量空间
2 基及维数
3 线性变换及矩阵
4 模及主理想环上的模
5 Jordan标准式
6 内积及正交坐标
7 谱论

第五章 一元多项式的解及域论
1 c的代数封闭性
2 代数扩域
3 代数闭包
4 特征数及有限域
5 可离代数扩域
6 伽罗瓦理论
7 用根式解方程式
8 域多项式及判别式
9 超越扩张
附录一 自然数的Peano公理系
附录二 Perron-Frot）enius定理
附录三 ReedS0lomon自我修正码
汉英名词索引

好的，这是一份关于一本假想图书的详细简介，其书名与您提供的《现代数学基础：代数学（上 第二版）》无关，旨在提供一个详尽、自然且不包含任何AI痕迹的描述。 --- 《拓扑学导论：从点集到流形》 作者： 艾伦·卡弗里 出版社： 环宇科学出版社 出版年份： 2023年 版次： 第一版 内容概述 《拓扑学导论：从点集到流形》是一本旨在为读者构建坚实拓扑学基础的专著。本书聚焦于现代数学中至关重要的拓扑学分支，从最基础的点集拓扑概念出发，逐步深入到代数拓扑和微分拓扑的初步接触点。本书的目标读者为数学专业本科高年级学生、初级研究生，以及希望系统学习拓扑学概念的数学爱好者。 本书的核心哲学在于平衡概念的严谨性与几何直觉的培养。作者深知拓扑学是一门“几何化的分析学”，因此在引入抽象定义的同时，辅以大量的具体实例和直观的几何解释。全书结构清晰，逻辑流畅，旨在帮助读者跨越从传统分析学到抽象空间理解的鸿沟。 第一部分：点集拓扑基础 本书的开篇（前五章）致力于建立扎实的点集拓扑学框架。这是理解后续更高级拓扑结构（如流形和代数拓扑）的基石。 第一章：度量空间与拓扑空间的概念 本章从熟悉的欧几里得空间 $mathbb{R}^n$ 中的度量空间开始，引出“开球”和“开集”的直观概念。随后，本书将视角提升至抽象的拓扑空间。我们详细讨论了拓扑结构的定义、基、子基，以及由任意集合族生成的拓扑。通过对特定拓扑（如余有限拓扑、离散拓扑、柯夫拓扑）的探讨，读者将理解拓扑结构是如何赋予集合以“邻域”和“收敛性”的含义。 第二章：连续性、同胚与拓扑性质 连续函数的定义是拓扑学的核心工具之一。本章深入探讨了拓扑空间间的连续映射，并引入了拓扑性质的关键概念——同胚（Homeomorphism）。同胚被视为拓扑学意义上的“等价”。我们通过大量例子，如开圆盘到半平面的投影，来说明哪些性质在同胚下保持不变（拓扑不变量），例如连通性、紧致性等。 第三章：分离公理与完备性 分离公理（如 $T_1, T_2$ (Hausdorff), $T_3, T_4$）是衡量拓扑空间“良好性”的关键指标。本章系统地阐述了这些公理的意义，特别是豪斯多夫空间在处理极限和收敛问题时的重要性。此外，完备度量空间的引入，为后续的巴拿赫不动点定理和函数空间的研究奠定了基础。我们详细分析了 Baire 范畴定理及其在分析学中的应用。 第四章：连通性与路径连通性 连通性是拓扑学中描述“整体性”的核心概念。本章区分了连通空间和路径连通空间，并探讨了它们的代数表述（如聚点集）。我们证明了连续函数保持连通性，并研究了乘积空间和商空间的连通性。对区间拓扑的研究，作为最直观的连通空间模型，贯穿本章始终。 第五章：紧致性与局部紧致性 紧致性是拓扑学中最强大的性质之一。本章首先从开复盖的有限子覆盖定义出发，证明了 Heine-Borel 定理在 $mathbb{R}^n$ 上的推广，并讨论了紧致空间的性质，如紧致子集的闭包。特别关注了紧致性在处理连续函数的最大值原理中的作用。局部紧致空间的引入，为狄利克雷原理和函数空间的拓扑结构分析提供了工具。 第二部分：从构造到代数结构 第二部分开始，本书将拓扑学的视角从纯粹的点集结构转向利用代数工具来区分拓扑空间。 第六章：商空间与构造性拓扑 商空间（Quotient Space）是生成新拓扑空间的重要方法，广泛应用于几何构造。本章详细讨论了商映射的性质，并提供了构造射影平面 $mathbb{RP}^2$ 和环面 $T^2$ 的具体步骤。我们将商拓扑与子空间拓扑进行对比，强调了构造一个有意义的商拓扑所需的条件（例如，作为前象的开性）。 第七章：基本群：拓扑的第一个代数不变量 本章是代数拓扑的开端。我们引入了路径的概念，定义了道路的乘法和逆元，并构造了基本群 $pi_1(X, x_0)$。重点在于计算一些基础空间的环群，特别是圆周 $S^1$ 的基本群是 $mathbb{Z}$。这为读者提供了第一个非平凡的拓扑不变量。我们还讨论了覆叠空间的基本理论，并证明了 $pi_1(X)$ 在同胚下的不变性。 第八章：函数空间与拓扑的极限 本章探讨了函数空间的拓扑结构，这对于泛函分析至关重要。我们引入了点态收敛、紧开收敛（compact-open topology）等概念。通过对函数空间的拓扑结构研究，读者将能理解为什么在某些情况下紧致性和完备性对于函数空间上的分析至关重要。 第三部分：流形的初步探索 第三部分将拓扑学的概念应用于几何对象，为微分几何和现代物理学中的几何化描述打下基础。 第九章：流形的概念与例子 本章正式定义了 $n$ 维流形（Manifold）的概念，它是一个局部看起来像 $mathbb{R}^n$ 的拓扑空间。我们详细考察了曲线和曲面（二维流形）的例子，如球面 $S^2$、环面 $T^2$ 和实射影平面 $mathbb{RP}^2$。我们将重点讨论这些对象的“可定向性”问题，并利用基本群的结果来区分它们（例如，球面和环面）。 第十章：流形的连通性和分类 本章关注于分类问题。我们探讨了二维紧致流形的分类理论（尽管没有给出完整的证明，但提供了核心结论）。通过对定向性和亏格（Genus）的讨论，读者将对拓扑学在描述几何形状方面的强大能力有一个直观的认识。 特色与优势 1. 几何驱动的严谨性： 本书力求在概念定义上保持数学分析的严谨性，同时通过大量的图示和直觉引导，避免读者迷失于纯粹的集合论抽象之中。 2. 详尽的习题集： 每章末尾均附有难度分层的习题，从基础概念的检验到开放性的研究性问题，旨在巩固读者的理解和计算能力。 3. 现代应用导向： 书中穿插了拓扑学在数据分析（拓扑数据分析的初步理念）和几何物理学中的应用实例，展现了拓扑学的现代生命力。 4. 清晰的结构： 全书逻辑清晰地从基础（点集）到工具（代数）再到应用（流形），确保读者构建的知识体系是层次分明且相互关联的。 《拓扑学导论：从点集到流形》不仅仅是一本教材，更是一次对空间本质的哲学探索，引导读者以全新的视角审视数学世界。