所有人在日常生活中都会接触到数学问题，多数人却又对之心存畏惧。在这本极为易读又充满趣味的小书中，蒂莫西·高尔斯解释了高等数学与我们在中小学所学的数学知识之间的一些*为根本的、主要是哲学性的区别，让我们能更好地理解那些听起来带有悖论的概念，比如“无限”“弯曲空间”“虚数”等。从基本的观念，到哲学探究，再到与数学共同体相关的一般社会学问题，本书揭开了空间和数的神秘面纱之一角。

作者简介

蒂莫西·高尔斯　剑桥大学劳斯·鲍尔数学教授，“数学界诺贝尔奖”——菲尔茨奖获得者，该奖专门授给“年轻数学家所作的*为大胆、*为深入、*有启示性的研究”。

精彩书评

这一本篇幅不大的书显得出类拔萃，应该说为现有众多的数学科普读物提供了一个楷模。能够做到这一点，而且做得如此出色，不言而喻，归根结底是和作者深厚的数学功力、对数学内涵及其精神实质的深刻理解和把握分不开的。
——中国科学院院士、复旦大学数学教授李大潜

（本书是）通向数之美和神秘的极为清晰的向导。
——吉尔伯特·阿代尔

精彩书摘

前言

20世纪初，伟大的数学家大卫·希尔伯特发现，有很多数学中的重要论点在结构上十分类似。他意识到，在适当的广义范畴下，这些论点事实上可以视为等同。与此类似的一系列发现为一个崭新的数学分支开启了大门。而这一新领域中的一个核心概念——希尔伯特空间——正是以希尔伯特的名字来命名的，这一概念使许许多多的现代数学研究变得清晰，范围之广包括了从数论直到量子力学各个分支，以至于如果你对希尔伯特空间的基本理论一无所知，你就根本不能算是一名受过良好教育的数学家。
那么，什么是希尔伯特空间呢？在典型的高校数学课程中，它被定义为“完备的内积空间”。修读这样一门课程的学生，理应从先修课程中了解到，所谓“内积空间”是指配备了内积的向量空间，而所谓“完备”是指空间中任意柯西列都收敛。当然，要想理解这样的定义，学生还必须知道“向量空间”、“内积”、“柯西列”和“收敛”的定义。就拿其中一个举例来说（这还并不是最长的一个）：序列x1，x2，x3，…若满足对于任意正数ε，总存在整数N，使得对于任意大于N的整数p和q，xp与xq间的距离不大于ε，则称这个序列为柯西列。
简言之，如果你希望了解希尔伯特空间是什么，你就必须首先学习并且消化一系列由低到高、等级分明的较低级概念。毫无疑问这需要耗费时间和精力。对于许多最重要的数学思想来说都是这样。有鉴于此，要写一本书提供对数学的简单易懂的介绍，其所能达到的目标就极为有限，更何况这本书还需要写得很短。
我没有选择用更聪明的办法绕着这个难题走，而是集中关注数学交流中另一重完全不同的障碍。这重障碍并非技术性的，而更多属于哲学性质的。它区分开了两种人：一种人乐于接受诸如无穷大、负一的平方根、第二十六维和弯曲空间这样的概念，另一类人则觉得这些概念荒诞不经。其实无须沉浸在技术细节中，依然有可能坦然接受这些思想，我将努力表明如何做到这一点。
如果说这本书要向你传达什么信息的话，那就是——我们应当学习抽象地思考，因为通过抽象地思考，许多哲学上的困难就能轻易地消除。在第二章里，我将详细说明什么是抽象的方法。第一章中则考虑我们更熟悉、与日常更相关的抽象：从现实世界的问题中提取核心特征，从而将其转化为数学问题的过程。第三章中我将讨论什么叫作“严格的证明”。这前三章是关于一般性的数学的。
之后我将讨论一些更加具体的课题。最后一章与其说是关于数学的，不如说是关于数学家的，因此会跟前几章有些不同。我建议你在读过第二章后再阅读后续章节。除此以外，这本书已经尽量做到不受先后顺序影响——在任何章节中，我并没有假定读者已经理解并记住了先前的内容。
读这本书并不需要太多的预备知识，英国GCSE课程或同等水平即可。不过我假定读者具有一些兴趣，而不是需要靠我去大力宣扬。因此，我在书中没有用到趣闻轶事、漫画、惊叹号、搞笑的章节标题或者曼德布罗特集合的图片。我同样避免了混沌理论、哥德尔定理等内容：与它们在当前数学研究中的实际影响相比，这些内容在公众的想象中所占的比例已经过大，而且其他图书已经充分地阐释了这些内容。我所选择的内容都是很普通的，详细地去讨论，以说明怎样通过一种更深刻的方式来理解它们。换言之，我的目标在深不在广，在于向读者传达主流数学的魅力，让读者体会到它的不言而喻。
感谢克雷数学研究所和普林斯顿大学在我写作此书期间对我的支持和热情接待。感谢吉尔伯特·阿代尔、丽贝卡·高尔斯、埃米莉·高尔斯、帕特里克·高尔斯、乔书亚·卡茨和埃德蒙·托马斯阅读了本书的初稿。他们非常聪明，知识丰富，实在不能算作普通读者，不过还是能够让我放心，至少某些非数学专家是能够读懂我的作品的。基于他们对此书的评论，我作出了许多改进。我把这本书献给埃米莉，希望她能够借此了解一点点我整天都在做的是些什么事情。
　
第八章常见问题

1. 数学家在30岁以后就不比当年了，这是真的吗？

这种传说影响颇为广泛，正由于人们误解了数学能力的本质，才使得它很有吸引力。人们总喜欢把数学家看作极具天资的人，并认为天资这种东西有些人生来就有，其他人则绝难获得。
其实，年龄与数学成果间的关系对不同人来说差别很大。的确有一部分数学家在20来岁的时候做出了他们最杰出的工作，但绝大多数人都认为，他们的知识水平和专业素质终其一生都在稳健地提高，在许多年里，这种专业水平的增长都能够弥补“原生”脑力的任何衰退（如果确实有“原生”脑力这回事的话）。确实数学家在年逾40岁之后就少有重要的突破性进展了，但这也很有可能是社会学方面的原因。到了40岁时，如果有人还有能力做出突破性的工作，那么他极有可能早已因之前的工作闻名遐迩，因而有可能也不像未成名的年轻数学家那样具有奋斗精神。不过还是有很多反例的，有很多数学家在退休之后热情不减，还继续在数学领域工作。
一般来讲，人们通常所想象的数学家的形象——可能很聪明，但有点古怪，穿着邋遢，毫无性欲，比较孤僻——的确不是一种讨喜的形象。有一部分数学家在一定程度上的确符合这种形象，但如果你认为不这样就做不好数学，这种想法可就太蠢了。实际上，如果所有其他条件都相同的话，可能你还要比这些怪数学家更胜一筹。一开始学习数学的所有学生中，最后成为专职研究人员的比例极小，更多的人在早期阶段便离开了数学，比如失去兴趣、没有申请到读博机会，或者得到了博士学位但没有获得教职。在我看来（实际上不仅只有我这么想），对最终通过了这层层考验的人来说，那些“怪人”所占的比例比占一开始学习数学的学生的比例要小。
对数学家这样的负面刻画可能杀伤力很大，吓走许多本来可能喜欢并且擅长这一领域的人，但是“天才”这个词则更加恶毒，杀伤力更大。这里有一个现成的对“天才”的大致定义：对于别人必须经过多年实践都未必能够掌握的事情，天才就是那些在少年时期就能够轻易做好这些事的人。天才的成就有着魔法般的特质，就好像他们的大脑并不只是比我们更有效率，而是运转方式完全不同。剑桥大学每年都会有一两个数学系本科生，他们经常在数分钟之内就能解决的问题，大多数人——包括应该能够教他们的人——往往需要花上几个小时以上。遇到这种人的时候，我们只能退避三舍、顶礼膜拜。
然而，这些超乎寻常的人并不总是最成功的数学研究者。如果你想要解决某个问题，而之前尝试过的数学家都以失败告终，那么你需要具备种种素质，在这其中天赋（如我所定义的那样）既不是必要的也不是充分的。我们可以通过一个极端一点的例子来说明这一点。安德鲁·怀尔斯（在刚到40岁的时候）证明了费马大定理（即对任意正整数x,y,z及大于2的正整数n，xn+yn不可能等于zn），解决了世界上最著名的数学难题。毫无疑问他很聪明，但他并不是我所说的天才。
你可能会问，如果没有某种神秘的超常脑力，他还可能完成这一切吗？回答是，尽管他的成就非常卓著，但也没有卓越到无法解释的程度。我并不了解究竟是什么因素促使他成功的，但他肯定需要非凡的勇气、坚定和耐心，对他人完成的艰难工作的广泛了解，在正确时间专攻正确领域的运气，以及杰出的战略性眼光。
上面所说的最后一条素质，从根本上要比惊人的大脑运转速度更加重要。数学中绝大多数影响深远的贡献是由“乌龟”们而不是“兔子”们做出的。随着数学家的成长，他们都会逐渐学会这个行当里的各种把戏，部分来自于其他数学家的工作，部分来自于自己对这个问题长时间的思考。是否能将他们的专长用于解决极其困难的问题，则在很大程度上决定于细致的规划：选取一些可能会结出丰硕成果的问题，知道什么时候应该放弃一条思路（相当困难的判断），能够先勾勒出论证问题的大框架继而再时不时地向里面填充细节。这就需要对数学有相当成熟的把握，这绝不与天赋相矛盾，但也并不总是会伴随着天赋。

2. 为什么女性数学家很少见？

真想回避这个问题，因为回答这个问题很容易冒犯别人。但是，在全世界各地的数学系所中，即便是在今日，女性所占比例仍然很小；这是一个值得注意的现象，也是数学生活中的一个重要事实，我被迫感到不得不说点什么，尽管我所要说的也无非是对此感到不解和遗憾。
值得强调的一点是，数学家中女性较少只不过是一种统计现象：确实有十分优秀的女性数学家，与男性同行一样，她们表现优秀的方式也多种多样，有时也包括拥有天赋。没有任何迹象表明，女性在数学中所能达到的成就会有上限。我们有时会读到，在特定的智力测试中——比如说视觉空间能力，男性表现得更优秀，有人认为这解释了他们主导着数学领域的原因。然而，这样的论据不足以令人信服，因为视觉空间能力能够通过练习来增强，而且尽管它有时对数学家有帮助，却并非不可或缺。
更可信的一种理由是社会方面的因素：当男孩子为数学能力感到骄傲时，可以想象某个女孩子可能会为自己擅长这项不那么女性化的事务而感到窘迫。而且，有数学天赋的女孩子所能够效仿的榜样很少，她们只能靠自我保持、自我强化。一项社会因素可能会在之后发挥更大的作用：比起其他学科来，前言

20世纪初，伟大的数学家大卫·希尔伯特发现，有很多数学中的重要论点在结构上十分类似。他意识到，在适当的广义范畴下，这些论点事实上可以视为等同。与此类似的一系列发现为一个崭新的数学分支开启了大门。而这一新领域中的一个核心概念——希尔伯特空间——正是以希尔伯特的名字来命名的，这一概念使许许多多的现代数学研究变得清晰，范围之广包括了从数论直到量子力学各个分支，以至于如果你对希尔伯特空间的基本理论一无所知，你就根本不能算是一名受过良好教育的数学家。
那么，什么是希尔伯特空间呢？在典型的高校数学课程中，它被定义为“完备的内积空间”。修读这样一门课程的学生，理应从先修课程中了解到，所谓“内积空间”是指配备了内积的向量空间，而所谓“完备”是指空间中任意柯西列都收敛。当然，要想理解这样的定义，学生还必须知道“向量空间”、“内积”、“柯西列”和“收敛”的定义。就拿其中一个举例来说（这还并不是最长的一个）：序列x1，x2，x3，…若满足对于任意正数ε，总存在整数N，使得对于任意大于N的整数p和q，xp与xq间的距离不大于ε，则称这个序列为柯西列。
简言之，如果你希望了解希尔伯特空间是什么，你就必须首先学习并且消化一系列由低到高、等级分明的较低级概念。毫无疑问这需要耗费时间和精力。对于许多最重要的数学思想来说都是这样。有鉴于此，要写一本书提供对数学的简单易懂的介绍，其所能达到的目标就极为有限，更何况这本书还需要写得很短。
我没有选择用更聪明的办法绕着这个难题走，而是集中关注数学交流中另一重完全不同的障碍。这重障碍并非技术性的，而更多属于哲学性质的。它区分开了两种人：一种人乐于接受诸如无穷大、负一的平方根、第二十六维和弯曲空间这样的概念，另一类人则觉得这些概念荒诞不经。其实无须沉浸在技术细节中，依然有可能坦然接受这些思想，我将努力表明如何做到这一点。
如果说这本书要向你传达什么信息的话，那就是——我们应当学习抽象地思考，因为通过抽象地思考，许多哲学上的困难就能轻易地消除。在第二章里，我将详细说明什么是抽象的方法。第一章中则考虑我们更熟悉、与日常更相关的抽象：从现实世界的问题中提取核心特征，从而将其转化为数学问题的过程。第三章中我将讨论什么叫作“严格的证明”。这前三章是关于一般性的数学的。
之后我将讨论一些更加具体的课题。最后一章与其说是关于数学的，不如说是关于数学家的，因此会跟前几章有些不同。我建议你在读过第二章后再阅读后续章节。除此以外，这本书已经尽量做到不受先后顺序影响——在任何章节中，我并没有假定读者已经理解并记住了先前的内容。
读这本书并不需要太多的预备知识，英国GCSE课程或同等水平即可。不过我假定读者具有一些兴趣，而不是需要靠我去大力宣扬。因此，我在书中没有用到趣闻轶事、漫画、惊叹号、搞笑的章节标题或者曼德布罗特集合的图片。我同样避免了混沌理论、哥德尔定理等内容：与它们在当前数学研究中的实际影响相比，这些内容在公众的想象中所占的比例已经过大，而且其他图书已经充分地阐释了这些内容。我所选择的内容都是很普通的，详细地去讨论，以说明怎样通过一种更深刻的方式来理解它们。换言之，我的目标在深不在广，在于向读者传达主流数学的魅力，让读者体会到它的不言而喻。
感谢克雷数学研究所和普林斯顿大学在我写作此书期间对我的支持和热情接待。感谢吉尔伯特·阿代尔、丽贝卡·高尔斯、埃米莉·高尔斯、帕特里克·高尔斯、乔书亚·卡茨和埃德蒙·托马斯阅读了本书的初稿。他们非常聪明，知识丰富，实在不能算作普通读者，不过还是能够让我放心，至少某些非数学专家是能够读懂我的作品的。基于他们对此书的评论，我作出了许多改进。我把这本书献给埃米莉，希望她能够借此了解一点点我整天都在做的是些什么事情。
　
第八章常见问题

1. 数学家在30岁以后就不比当年了，这是真的吗？

这种传说影响颇为广泛，正由于人们误解了数学能力的本质，才使得它很有吸引力。人们总喜欢把数学家看作极具天资的人，并认为天资这种东西有些人生来就有，其他人则绝难获得。
其实，年龄与数学成果间的关系对不同人来说差别很大。的确有一部分数学家在20来岁的时候做出了他们最杰出的工作，但绝大多数人都认为，他们的知识水平和专业素质终其一生都在稳健地提高，在许多年里，这种专业水平的增长都能够弥补“原生”脑力的任何衰退（如果确实有“原生”脑力这回事的话）。确实数学家在年逾40岁之后就少有重要的突破性进展了，但这也很有可能是社会学方面的原因。到了40岁时，如果有人还有能力做出突破性的工作，那么他极有可能早已因之前的工作闻名遐迩，因而有可能也不像未成名的年轻数学家那样具有奋斗精神。不过还是有很多反例的，有很多数学家在退休之后热情不减，还继续在数学领域工作。
一般来讲，人们通常所想象的数学家的形象——可能很聪明，但有点古怪，穿着邋遢，毫无性欲，比较孤僻——的确不是一种讨喜的形象。有一部分数学家在一定程度上的确符合这种形象，但如果你认为不这样就做不好数学，这种想法可就太蠢了。实际上，如果所有其他条件都相同的话，可能你还要比这些怪数学家更胜一筹。一开始学习数学的所有学生中，最后成为专职研究人员的比例极小，更多的人在早期阶段便离开了数学，比如失去兴趣、没有申请到读博机会，或者得到了博士学位但没有获得教职。在我看来（实际上不仅只有我这么想），对最终通过了这层层考验的人来说，那些“怪人”所占的比例比占一开始学习数学的学生的比例要小。
对数学家这样的负面刻画可能杀伤力很大，吓走许多本来可能喜欢并且擅长这一领域的人，但是“天才”这个词则更加恶毒，杀伤力更大。这里有一个现成的对“天才”的大致定义：对于别人必须经过多年实践都未必能够掌握的事情，天才就是那些在少年时期就能够轻易做好这些事的人。天才的成就有着魔法般的特质，就好像他们的大脑并不只是比我们更有效率，而是运转方式完全不同。剑桥大学每年都会有一两个数学系本科生，他们经常在数分钟之内就能解决的问题，大多数人——包括应该能够教他们的人——往往需要花上几个小时以上。遇到这种人的时候，我们只能退避三舍、顶礼膜拜。
然而，这些超乎寻常的人并不总是最成功的数学研究者。如果你想要解决某个问题，而之前尝试过的数学家都以失败告终，那么你需要具备种种素质，在这其中天赋（如我所定义的那样）既不是必要的也不是充分的。我们可以通过一个极端一点的例子来说明这一点。安德鲁·怀尔斯（在刚到40岁的时候）证明了费马大定理（即对任意正整数x,y,z及大于2的正整数n，xn+yn不可能等于zn），解决了世界上最著名的数学难题。毫无疑问他很聪明，但他并不是我所说的天才。
你可能会问，如果没有某种神秘的超常脑力，他还可能完成这一切吗？回答是，尽管他的成就非常卓著，但也没有卓越到无法解释的程度。我并不了解究竟是什么因素促使他成功的，但他肯定需要非凡的勇气、坚定和耐心，对他人完成的艰难工作的广泛了解，在正确时间专攻正确领域的运气，以及杰出的战略性眼光。
上面所说的最后一条素质，从根本上要比惊人的大脑运转速度更加重要。数学中绝大多数影响深远的贡献是由“乌龟”们而不是“兔子”们做出的。随着数学家的成长，他们都会逐渐学会这个行当里的各种把戏，部分来自于其他数学家的工作，部分来自于自己对这个问题长时间的思考。是否能将他们的专长用于解决极其困难的问题，则在很大程度上决定于细致的规划：选取一些可能会结出丰硕成果的问题，知道什么时候应该放弃一条思路（相当困难的判断），能够先勾勒出论证问题的大框架继而再时不时地向里面填充细节。这就需要对数学有相当成熟的把握，这绝不与天赋相矛盾，但也并不总是会伴随着天赋。

2. 为什么女性数学家很少见？

真想回避这个问题，因为回答这个问题很容易冒犯别人。但是，在全世界各地的数学系所中，即便是在今日，女性所占比例仍然很小；这是一个值得注意的现象，也是数学生活中的一个重要事实，我被迫感到不得不说点什么，尽管我所要说的也无非是对此感到不解和遗憾。
值得强调的一点是，数学家中女性较少只不过是一种统计现象：确实有十分优秀的女性数学家，与男性同行一样，她们表现优秀的方式也多种多样，有时也包括拥有天赋。没有任何迹象表明，女性在数学中所能达到的成就会有上限。我们有时会读到，在特定的智力测试中——比如说视觉空间能力，男性表现得更优秀，有人认为这解释了他们主导着数学领域的原因。然而，这样的论据不足以令人信服，因为视觉空间能力能够通过练习来增强，而且尽管它有时对数学家有帮助，却并非不可或缺。
更可信的一种理由是社会方面的因素：当男孩子为数学能力感到骄傲时，可以想象某个女孩子可能会为自己擅长这项不那么女性化的事务而感到窘迫。而且，有数学天赋的女孩子所能够效仿的榜样很少，她们只能靠自我保持、自我强化。一项社会因素可能会在之后发挥更大的作用：比起其他学科来，数学需要一个人更加专注，这虽然不是不可能，但也很难与女性的母亲身份相结合。小说家坎迪亚·麦克威廉曾经说，她的每个孩子都使她少写了两本书，不过在几年未动笔之后，她至少还能够重新写小说。但如果你几年没有做数学，你就失去了数学的习惯，很难再重拾了。
有人认为，女性数学家发展起自己事业的时间往往晚于男性同行，而数学家的职业结构倾向于回报早期成就，这就使得女性处于一种不利的地位。最杰出的一些女性数学家的人生故事支持了这种说法。不过她们发展自己职业生涯较晚的原因，基本上都是上面所说的社会原因，而且也有许多这方面的例外。
不过，这些解释看起来都不够充分。我在此不再深入探讨了。我还能做的就是告诉大家，关于这方面已经出了几本书（参见“延伸阅读”）。最后再加上一点评论：这样的情况是在不断进步的。数学家中女性所占的比例近年来在稳步提高，而且随着社会大环境的不断改变，这样的现象一定还会持续下去。

3. 数学与音乐息息相通吗？

尽管有很多数学家完全不了解音乐，也很少有音乐家对数学感兴趣，但一直有一种民间观念认为这两个领域是相关联的。其结果就是，当我们听说某位数学家钢琴弹得很好，或者爱好作曲，或者喜欢听巴赫，没有人会对此感到惊奇。牛津通识读本：数学 [Mathematics: A Very Short Introduction] 下载 mobi epub pdf txt 电子书格式