牛津通識讀本：數學 [Mathematics: A Very Short Introduction] 下載 mobi epub pdf 電子書 2025

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[英] 蒂莫西·高爾斯 著，劉熙 譯

齣版社： 譯林齣版社

ISBN：9787544745239

版次：1

商品編碼：11412923

品牌：譯林（YILIN）

包裝：平裝

叢書名： 牛津通識讀本

外文名稱：Mathematics: A Very Short Introduction

開本：16開

齣版時間：2014-03-01

用紙：膠版紙

頁數：300

正文語

編輯推薦

　　

★傳達主流數學的魅力，揭開數與空間的神秘麵紗
　　★從哲學高度展示數學思維方式，啓示你如何抽象思考
　　★劍橋大學數學教授，“數學界諾貝爾奬”——菲爾茨奬得主蒂莫西·高爾斯著
　　★中國科學院院士、著名數學學者李大潛推薦，贊其為“數學科普讀物的楷模”
　　

內容簡介

所有人在日常生活中都會接觸到數學問題，多數人卻又對之心存畏懼。在這本極為易讀又充滿趣味的小書中，蒂莫西·高爾斯解釋瞭高等數學與我們在中小學所學的數學知識之間的一些*為根本的、主要是哲學性的區彆，讓我們能更好地理解那些聽起來帶有悖論的概念，比如“無限”“彎麯空間”“虛數”等。從基本的觀念，到哲學探究，再到與數學共同體相關的一般社會學問題，本書揭開瞭空間和數的神秘麵紗之一角。

作者簡介

蒂莫西·高爾斯　劍橋大學勞斯·鮑爾數學教授，“數學界諾貝爾奬”——菲爾茨奬獲得者，該奬專門授給“年輕數學傢所作的*為大膽、*為深入、*有啓示性的研究”。

精彩書評

這一本篇幅不大的書顯得齣類拔萃，應該說為現有眾多的數學科普讀物提供瞭一個楷模。能夠做到這一點，而且做得如此齣色，不言而喻，歸根結底是和作者深厚的數學功力、對數學內涵及其精神實質的深刻理解和把握分不開的。
——中國科學院院士、復旦大學數學教授 李大潛

（本書是）通嚮數之美和神秘的極為清晰的嚮導。
——吉爾伯特·阿代爾

目錄

前言
第一章　模型
第二章 數與抽象
第三章 證明
第四章 極限與無窮
第五章　維度
第六章　幾何
第七章　估計與近似
第八章　常見問題
索引
英文原文

精彩書摘

前言

20世紀初，偉大的數學傢大衛·希爾伯特發現，有很多數學中的重要論點在結構上十分類似。他意識到，在適當的廣義範疇下，這些論點事實上可以視為等同。與此類似的一係列發現為一個嶄新的數學分支開啓瞭大門。而這一新領域中的一個核心概念——希爾伯特空間——正是以希爾伯特的名字來命名的，這一概念使許許多多的現代數學研究變得清晰，範圍之廣包括瞭從數論直到量子力學各個分支，以至於如果你對希爾伯特空間的基本理論一無所知，你就根本不能算是一名受過良好教育的數學傢。
那麼，什麼是希爾伯特空間呢？在典型的高校數學課程中，它被定義為“完備的內積空間”。修讀這樣一門課程的學生，理應從先修課程中瞭解到，所謂“內積空間”是指配備瞭內積的嚮量空間，而所謂“完備”是指空間中任意柯西列都收斂。當然，要想理解這樣的定義，學生還必須知道“嚮量空間”、“內積”、“柯西列”和“收斂”的定義。就拿其中一個舉例來說（這還並不是最長的一個）：序列x1，x2，x3，…若滿足對於任意正數ε，總存在整數N，使得對於任意大於N的整數p和q，xp與xq間的距離不大於ε，則稱這個序列為柯西列。
簡言之，如果你希望瞭解希爾伯特空間是什麼，你就必須首先學習並且消化一係列由低到高、等級分明的較低級概念。毫無疑問這需要耗費時間和精力。對於許多最重要的數學思想來說都是這樣。有鑒於此，要寫一本書提供對數學的簡單易懂的介紹，其所能達到的目標就極為有限，更何況這本書還需要寫得很短。
我沒有選擇用更聰明的辦法繞著這個難題走，而是集中關注數學交流中另一重完全不同的障礙。這重障礙並非技術性的，而更多屬於哲學性質的。它區分開瞭兩種人：一種人樂於接受諸如無窮大、負一的平方根、第二十六維和彎麯空間這樣的概念，另一類人則覺得這些概念荒誕不經。其實無須沉浸在技術細節中，依然有可能坦然接受這些思想，我將努力錶明如何做到這一點。
如果說這本書要嚮你傳達什麼信息的話，那就是——我們應當學習抽象地思考，因為通過抽象地思考，許多哲學上的睏難就能輕易地消除。在第二章裏，我將詳細說明什麼是抽象的方法。第一章中則考慮我們更熟悉、與日常更相關的抽象：從現實世界的問題中提取核心特徵，從而將其轉化為數學問題的過程。第三章中我將討論什麼叫作“嚴格的證明”。這前三章是關於一般性的數學的。
之後我將討論一些更加具體的課題。最後一章與其說是關於數學的，不如說是關於數學傢的，因此會跟前幾章有些不同。我建議你在讀過第二章後再閱讀後續章節。除此以外，這本書已經盡量做到不受先後順序影響——在任何章節中，我並沒有假定讀者已經理解並記住瞭先前的內容。
讀這本書並不需要太多的預備知識，英國GCSE課程或同等水平即可。不過我假定讀者具有一些興趣，而不是需要靠我去大力宣揚。因此，我在書中沒有用到趣聞軼事、漫畫、驚嘆號、搞笑的章節標題或者曼德布羅特集閤的圖片。我同樣避免瞭混沌理論、哥德爾定理等內容：與它們在當前數學研究中的實際影響相比，這些內容在公眾的想象中所占的比例已經過大，而且其他圖書已經充分地闡釋瞭這些內容。我所選擇的內容都是很普通的，詳細地去討論，以說明怎樣通過一種更深刻的方式來理解它們。換言之，我的目標在深不在廣，在於嚮讀者傳達主流數學的魅力，讓讀者體會到它的不言而喻。
感謝剋雷數學研究所和普林斯頓大學在我寫作此書期間對我的支持和熱情接待。感謝吉爾伯特·阿代爾、麗貝卡·高爾斯、埃米莉·高爾斯、帕特裏剋·高爾斯、喬書亞·卡茨和埃德濛·托馬斯閱讀瞭本書的初稿。他們非常聰明，知識豐富，實在不能算作普通讀者，不過還是能夠讓我放心，至少某些非數學專傢是能夠讀懂我的作品的。基於他們對此書的評論，我作齣瞭許多改進。我把這本書獻給埃米莉，希望她能夠藉此瞭解一點點我整天都在做的是些什麼事情。
　
第八章 常見問題

1. 數學傢在30歲以後就不比當年瞭，這是真的嗎？

這種傳說影響頗為廣泛，正由於人們誤解瞭數學能力的本質，纔使得它很有吸引力。人們總喜歡把數學傢看作極具天資的人，並認為天資這種東西有些人生來就有，其他人則絕難獲得。
其實，年齡與數學成果間的關係對不同人來說差彆很大。的確有一部分數學傢在20來歲的時候做齣瞭他們最傑齣的工作，但絕大多數人都認為，他們的知識水平和專業素質終其一生都在穩健地提高，在許多年裏，這種專業水平的增長都能夠彌補“原生”腦力的任何衰退（如果確實有“原生”腦力這迴事的話）。確實數學傢在年逾40歲之後就少有重要的突破性進展瞭，但這也很有可能是社會學方麵的原因。到瞭40歲時，如果有人還有能力做齣突破性的工作，那麼他極有可能早已因之前的工作聞名遐邇，因而有可能也不像未成名的年輕數學傢那樣具有奮鬥精神。不過還是有很多反例的，有很多數學傢在退休之後熱情不減，還繼續在數學領域工作。
一般來講，人們通常所想象的數學傢的形象——可能很聰明，但有點古怪，穿著邋遢，毫無性欲，比較孤僻——的確不是一種討喜的形象。有一部分數學傢在一定程度上的確符閤這種形象，但如果你認為不這樣就做不好數學，這種想法可就太蠢瞭。實際上，如果所有其他條件都相同的話，可能你還要比這些怪數學傢更勝一籌。一開始學習數學的所有學生中，最後成為專職研究人員的比例極小，更多的人在早期階段便離開瞭數學，比如失去興趣、沒有申請到讀博機會，或者得到瞭博士學位但沒有獲得教職。在我看來（實際上不僅隻有我這麼想），對最終通過瞭這層層考驗的人來說，那些“怪人”所占的比例比占一開始學習數學的學生的比例要小。
對數學傢這樣的負麵刻畫可能殺傷力很大，嚇走許多本來可能喜歡並且擅長這一領域的人，但是“天纔”這個詞則更加惡毒，殺傷力更大。這裏有一個現成的對“天纔”的大緻定義：對於彆人必須經過多年實踐都未必能夠掌握的事情，天纔就是那些在少年時期就能夠輕易做好這些事的人。天纔的成就有著魔法般的特質，就好像他們的大腦並不隻是比我們更有效率，而是運轉方式完全不同。劍橋大學每年都會有一兩個數學係本科生，他們經常在數分鍾之內就能解決的問題，大多數人——包括應該能夠教他們的人——往往需要花上幾個小時以上。遇到這種人的時候，我們隻能退避三捨、頂禮膜拜。
然而，這些超乎尋常的人並不總是最成功的數學研究者。如果你想要解決某個問題，而之前嘗試過的數學傢都以失敗告終，那麼你需要具備種種素質，在這其中天賦（如我所定義的那樣）既不是必要的也不是充分的。我們可以通過一個極端一點的例子來說明這一點。安德魯·懷爾斯（在剛到40歲的時候）證明瞭費馬大定理（即對任意正整數x,y,z及大於2的正整數n，xn+yn不可能等於zn），解決瞭世界上最著名的數學難題。毫無疑問他很聰明，但他並不是我所說的天纔。
你可能會問，如果沒有某種神秘的超常腦力，他還可能完成這一切嗎？迴答是，盡管他的成就非常卓著，但也沒有卓越到無法解釋的程度。我並不瞭解究竟是什麼因素促使他成功的，但他肯定需要非凡的勇氣、堅定和耐心，對他人完成的艱難工作的廣泛瞭解，在正確時間專攻正確領域的運氣，以及傑齣的戰略性眼光。
上麵所說的最後一條素質，從根本上要比驚人的大腦運轉速度更加重要。數學中絕大多數影響深遠的貢獻是由“烏龜”們而不是“兔子”們做齣的。隨著數學傢的成長，他們都會逐漸學會這個行當裏的各種把戲，部分來自於其他數學傢的工作，部分來自於自己對這個問題長時間的思考。是否能將他們的專長用於解決極其睏難的問題，則在很大程度上決定於細緻的規劃：選取一些可能會結齣豐碩成果的問題，知道什麼時候應該放棄一條思路（相當睏難的判斷），能夠先勾勒齣論證問題的大框架繼而再時不時地嚮裏麵填充細節。這就需要對數學有相當成熟的把握，這絕不與天賦相矛盾，但也並不總是會伴隨著天賦。

2. 為什麼女性數學傢很少見？

真想迴避這個問題，因為迴答這個問題很容易冒犯彆人。但是，在全世界各地的數學係所中，即便是在今日，女性所占比例仍然很小；這是一個值得注意的現象，也是數學生活中的一個重要事實，我被迫感到不得不說點什麼，盡管我所要說的也無非是對此感到不解和遺憾。
值得強調的一點是，數學傢中女性較少隻不過是一種統計現象：確實有十分優秀的女性數學傢，與男性同行一樣，她們錶現優秀的方式也多種多樣，有時也包括擁有天賦。沒有任何跡象錶明，女性在數學中所能達到的成就會有上限。我們有時會讀到，在特定的智力測試中——比如說視覺空間能力，男性錶現得更優秀，有人認為這解釋瞭他們主導著數學領域的原因。然而，這樣的論據不足以令人信服，因為視覺空間能力能夠通過練習來增強，而且盡管它有時對數學傢有幫助，卻並非不可或缺。
更可信的一種理由是社會方麵的因素：當男孩子為數學能力感到驕傲時，可以想象某個女孩子可能會為自己擅長這項不那麼女性化的事務而感到窘迫。而且，有數學天賦的女孩子所能夠效仿的榜樣很少，她們隻能靠自我保持、自我強化。一項社會因素可能會在之後發揮更大的作用：比起其他學科來，前言

20世紀初，偉大的數學傢大衛·希爾伯特發現，有很多數學中的重要論點在結構上十分類似。他意識到，在適當的廣義範疇下，這些論點事實上可以視為等同。與此類似的一係列發現為一個嶄新的數學分支開啓瞭大門。而這一新領域中的一個核心概念——希爾伯特空間——正是以希爾伯特的名字來命名的，這一概念使許許多多的現代數學研究變得清晰，範圍之廣包括瞭從數論直到量子力學各個分支，以至於如果你對希爾伯特空間的基本理論一無所知，你就根本不能算是一名受過良好教育的數學傢。
那麼，什麼是希爾伯特空間呢？在典型的高校數學課程中，它被定義為“完備的內積空間”。修讀這樣一門課程的學生，理應從先修課程中瞭解到，所謂“內積空間”是指配備瞭內積的嚮量空間，而所謂“完備”是指空間中任意柯西列都收斂。當然，要想理解這樣的定義，學生還必須知道“嚮量空間”、“內積”、“柯西列”和“收斂”的定義。就拿其中一個舉例來說（這還並不是最長的一個）：序列x1，x2，x3，…若滿足對於任意正數ε，總存在整數N，使得對於任意大於N的整數p和q，xp與xq間的距離不大於ε，則稱這個序列為柯西列。
簡言之，如果你希望瞭解希爾伯特空間是什麼，你就必須首先學習並且消化一係列由低到高、等級分明的較低級概念。毫無疑問這需要耗費時間和精力。對於許多最重要的數學思想來說都是這樣。有鑒於此，要寫一本書提供對數學的簡單易懂的介紹，其所能達到的目標就極為有限，更何況這本書還需要寫得很短。
我沒有選擇用更聰明的辦法繞著這個難題走，而是集中關注數學交流中另一重完全不同的障礙。這重障礙並非技術性的，而更多屬於哲學性質的。它區分開瞭兩種人：一種人樂於接受諸如無窮大、負一的平方根、第二十六維和彎麯空間這樣的概念，另一類人則覺得這些概念荒誕不經。其實無須沉浸在技術細節中，依然有可能坦然接受這些思想，我將努力錶明如何做到這一點。
如果說這本書要嚮你傳達什麼信息的話，那就是——我們應當學習抽象地思考，因為通過抽象地思考，許多哲學上的睏難就能輕易地消除。在第二章裏，我將詳細說明什麼是抽象的方法。第一章中則考慮我們更熟悉、與日常更相關的抽象：從現實世界的問題中提取核心特徵，從而將其轉化為數學問題的過程。第三章中我將討論什麼叫作“嚴格的證明”。這前三章是關於一般性的數學的。
之後我將討論一些更加具體的課題。最後一章與其說是關於數學的，不如說是關於數學傢的，因此會跟前幾章有些不同。我建議你在讀過第二章後再閱讀後續章節。除此以外，這本書已經盡量做到不受先後順序影響——在任何章節中，我並沒有假定讀者已經理解並記住瞭先前的內容。
讀這本書並不需要太多的預備知識，英國GCSE課程或同等水平即可。不過我假定讀者具有一些興趣，而不是需要靠我去大力宣揚。因此，我在書中沒有用到趣聞軼事、漫畫、驚嘆號、搞笑的章節標題或者曼德布羅特集閤的圖片。我同樣避免瞭混沌理論、哥德爾定理等內容：與它們在當前數學研究中的實際影響相比，這些內容在公眾的想象中所占的比例已經過大，而且其他圖書已經充分地闡釋瞭這些內容。我所選擇的內容都是很普通的，詳細地去討論，以說明怎樣通過一種更深刻的方式來理解它們。換言之，我的目標在深不在廣，在於嚮讀者傳達主流數學的魅力，讓讀者體會到它的不言而喻。
感謝剋雷數學研究所和普林斯頓大學在我寫作此書期間對我的支持和熱情接待。感謝吉爾伯特·阿代爾、麗貝卡·高爾斯、埃米莉·高爾斯、帕特裏剋·高爾斯、喬書亞·卡茨和埃德濛·托馬斯閱讀瞭本書的初稿。他們非常聰明，知識豐富，實在不能算作普通讀者，不過還是能夠讓我放心，至少某些非數學專傢是能夠讀懂我的作品的。基於他們對此書的評論，我作齣瞭許多改進。我把這本書獻給埃米莉，希望她能夠藉此瞭解一點點我整天都在做的是些什麼事情。
　
第八章 常見問題

1. 數學傢在30歲以後就不比當年瞭，這是真的嗎？

這種傳說影響頗為廣泛，正由於人們誤解瞭數學能力的本質，纔使得它很有吸引力。人們總喜歡把數學傢看作極具天資的人，並認為天資這種東西有些人生來就有，其他人則絕難獲得。
其實，年齡與數學成果間的關係對不同人來說差彆很大。的確有一部分數學傢在20來歲的時候做齣瞭他們最傑齣的工作，但絕大多數人都認為，他們的知識水平和專業素質終其一生都在穩健地提高，在許多年裏，這種專業水平的增長都能夠彌補“原生”腦力的任何衰退（如果確實有“原生”腦力這迴事的話）。確實數學傢在年逾40歲之後就少有重要的突破性進展瞭，但這也很有可能是社會學方麵的原因。到瞭40歲時，如果有人還有能力做齣突破性的工作，那麼他極有可能早已因之前的工作聞名遐邇，因而有可能也不像未成名的年輕數學傢那樣具有奮鬥精神。不過還是有很多反例的，有很多數學傢在退休之後熱情不減，還繼續在數學領域工作。
一般來講，人們通常所想象的數學傢的形象——可能很聰明，但有點古怪，穿著邋遢，毫無性欲，比較孤僻——的確不是一種討喜的形象。有一部分數學傢在一定程度上的確符閤這種形象，但如果你認為不這樣就做不好數學，這種想法可就太蠢瞭。實際上，如果所有其他條件都相同的話，可能你還要比這些怪數學傢更勝一籌。一開始學習數學的所有學生中，最後成為專職研究人員的比例極小，更多的人在早期階段便離開瞭數學，比如失去興趣、沒有申請到讀博機會，或者得到瞭博士學位但沒有獲得教職。在我看來（實際上不僅隻有我這麼想），對最終通過瞭這層層考驗的人來說，那些“怪人”所占的比例比占一開始學習數學的學生的比例要小。
對數學傢這樣的負麵刻畫可能殺傷力很大，嚇走許多本來可能喜歡並且擅長這一領域的人，但是“天纔”這個詞則更加惡毒，殺傷力更大。這裏有一個現成的對“天纔”的大緻定義：對於彆人必須經過多年實踐都未必能夠掌握的事情，天纔就是那些在少年時期就能夠輕易做好這些事的人。天纔的成就有著魔法般的特質，就好像他們的大腦並不隻是比我們更有效率，而是運轉方式完全不同。劍橋大學每年都會有一兩個數學係本科生，他們經常在數分鍾之內就能解決的問題，大多數人——包括應該能夠教他們的人——往往需要花上幾個小時以上。遇到這種人的時候，我們隻能退避三捨、頂禮膜拜。
然而，這些超乎尋常的人並不總是最成功的數學研究者。如果你想要解決某個問題，而之前嘗試過的數學傢都以失敗告終，那麼你需要具備種種素質，在這其中天賦（如我所定義的那樣）既不是必要的也不是充分的。我們可以通過一個極端一點的例子來說明這一點。安德魯·懷爾斯（在剛到40歲的時候）證明瞭費馬大定理（即對任意正整數x,y,z及大於2的正整數n，xn+yn不可能等於zn），解決瞭世界上最著名的數學難題。毫無疑問他很聰明，但他並不是我所說的天纔。
你可能會問，如果沒有某種神秘的超常腦力，他還可能完成這一切嗎？迴答是，盡管他的成就非常卓著，但也沒有卓越到無法解釋的程度。我並不瞭解究竟是什麼因素促使他成功的，但他肯定需要非凡的勇氣、堅定和耐心，對他人完成的艱難工作的廣泛瞭解，在正確時間專攻正確領域的運氣，以及傑齣的戰略性眼光。
上麵所說的最後一條素質，從根本上要比驚人的大腦運轉速度更加重要。數學中絕大多數影響深遠的貢獻是由“烏龜”們而不是“兔子”們做齣的。隨著數學傢的成長，他們都會逐漸學會這個行當裏的各種把戲，部分來自於其他數學傢的工作，部分來自於自己對這個問題長時間的思考。是否能將他們的專長用於解決極其睏難的問題，則在很大程度上決定於細緻的規劃：選取一些可能會結齣豐碩成果的問題，知道什麼時候應該放棄一條思路（相當睏難的判斷），能夠先勾勒齣論證問題的大框架繼而再時不時地嚮裏麵填充細節。這就需要對數學有相當成熟的把握，這絕不與天賦相矛盾，但也並不總是會伴隨著天賦。

2. 為什麼女性數學傢很少見？

真想迴避這個問題，因為迴答這個問題很容易冒犯彆人。但是，在全世界各地的數學係所中，即便是在今日，女性所占比例仍然很小；這是一個值得注意的現象，也是數學生活中的一個重要事實，我被迫感到不得不說點什麼，盡管我所要說的也無非是對此感到不解和遺憾。
值得強調的一點是，數學傢中女性較少隻不過是一種統計現象：確實有十分優秀的女性數學傢，與男性同行一樣，她們錶現優秀的方式也多種多樣，有時也包括擁有天賦。沒有任何跡象錶明，女性在數學中所能達到的成就會有上限。我們有時會讀到，在特定的智力測試中——比如說視覺空間能力，男性錶現得更優秀，有人認為這解釋瞭他們主導著數學領域的原因。然而，這樣的論據不足以令人信服，因為視覺空間能力能夠通過練習來增強，而且盡管它有時對數學傢有幫助，卻並非不可或缺。
更可信的一種理由是社會方麵的因素：當男孩子為數學能力感到驕傲時，可以想象某個女孩子可能會為自己擅長這項不那麼女性化的事務而感到窘迫。而且，有數學天賦的女孩子所能夠效仿的榜樣很少，她們隻能靠自我保持、自我強化。一項社會因素可能會在之後發揮更大的作用：比起其他學科來，數學需要一個人更加專注，這雖然不是不可能，但也很難與女性的母親身份相結閤。小說傢坎迪亞·麥剋威廉曾經說，她的每個孩子都使她少寫瞭兩本書，不過在幾年未動筆之後，她至少還能夠重新寫小說。但如果你幾年沒有做數學，你就失去瞭數學的習慣，很難再重拾瞭。
有人認為，女性數學傢發展起自己事業的時間往往晚於男性同行，而數學傢的職業結構傾嚮於迴報早期成就，這就使得女性處於一種不利的地位。最傑齣的一些女性數學傢的人生故事支持瞭這種說法。不過她們發展自己職業生涯較晚的原因，基本上都是上麵所說的社會原因，而且也有許多這方麵的例外。
不過，這些解釋看起來都不夠充分。我在此不再深入探討瞭。我還能做的就是告訴大傢，關於這方麵已經齣瞭幾本書（參見“延伸閱讀”）。最後再加上一點評論：這樣的情況是在不斷進步的。數學傢中女性所占的比例近年來在穩步提高，而且隨著社會大環境的不斷改變，這樣的現象一定還會持續下去。

3. 數學與音樂息息相通嗎？

盡管有很多數學傢完全不瞭解音樂，也很少有音樂傢對數學感興趣，但一直有一種民間觀念認為這兩個領域是相關聯的。其結果就是，當我們聽說某位數學傢鋼琴彈得很好，或者愛好作麯，或者喜歡聽巴赫，沒有人會對此感到驚奇。
有很多奇聞軼事在講，各種藝術形式中，數學傢為音樂所吸引的最多。也有一些研究聲稱已經錶明，受過音樂教育的兒童在科學領域中錶現得更優秀。我們不難猜齣為什麼會這樣。盡管在所有藝術形式中抽象都很重要，但音樂在其中最具有代錶性，可以說是最明顯的抽象藝術：聽音樂所獲得的愉悅感，大部分來自於對不具有內在含義的純粹形式的直接——即使不是完全自覺的——欣賞。
不幸的是，這些傳說中的證據很少得到嚴格的科學支持。關於這種說法，就連應該提齣哪些疑問都不好說。如果我們收集到統計數據顯著地說明，在相近的社會背景及教育背景下，數學傢與其他人相比，彈鋼琴的百分比更高，那我們能夠從中瞭解到什麼呢？我自己猜測，的確會得到這樣的數據。但如果提齣一種可經實驗驗證的理論來說明這其中的關聯，會有趣得多。就統計證據而言，如果能夠更加詳盡明確，也會更有價值。數學和音樂都是內容很廣泛的領域，某些人很有可能隻對領域中的某一部分有熱情，而對其他部分毫無興趣。數學和音樂趣味之間是否會有微妙的聯係？如果有，那將會比這兩個領域間整體的粗略相關性更具信息含量。

4. 為什麼有那麼多人旗幟鮮明地厭惡數學？

我們不常聽到彆人說他們從來不喜歡生物學，或者英國文學。毫無疑問，並不是所有人都會對這些學科感到興奮，但是，那些沒有熱情的人往往完全理解那些有熱情的人。相反，數學，以及其他內容高度數學化的學科，諸如物理，似乎不僅僅使人提不起興趣，而且能激起反感。究竟是什麼原因使他們一旦能夠拋棄數學時就立刻拋棄，並且一生都對數學心有餘悸？
很可能並不是因為數學很無聊，而是數學課的經曆很乏味。這一點更容易理解。因為數學總是持續在自身的基礎上構建，所以學習時的步步跟進就顯得很重要。比方說，如果你不太擅長兩位數的乘法，那你很可能就不會對分配律（第二章中討論過）有良好的直覺。沒有這種直覺，你可能就會在計算打開括號（x+2）（x+3）時感到不適應，於是你接下來就不能很好地理解二次方程，因而也無法理解為什麼黃金分割比是（1+√5）/2。
類似這樣的環環相扣還有很多，但是，學習數學時的步步跟進不僅僅是保持技術熟練度而已。數學中常常會引入重要的新思想，新思想會比舊思想更加復雜，每一個新思想的引入都有可能把我們甩在後麵。一個很明顯的例子就是用字母錶示數，很多人對此糊裏糊塗，但對某個層次以上的數學來講這是基礎性的。還有其他類似的例子，比如負數、三角函數、指數、對數以及初步的微積分。沒有作好準備來進行必要的概念飛躍的人，一旦遇到這些新思想時，就會對其後建立在新思想基礎上的一切數學感到並不牢靠。久而久之，他們就會習慣於對數學老師所說的東西僅僅一知半解，日後再錯過幾次飛躍，恐怕連一知半解也做不到瞭。同時他們又看到班上其他同學能夠輕而易舉地跟上課程。因此就不難理解，為什麼對許多人來講數學課成為瞭一種煎熬。
情況一定是這樣的嗎？有沒有人天生注定就會在學校裏厭惡數學，還是說，有可能找齣一種不同的數學教學方法，使得排斥數學的人能夠大大減少？我相信，小孩子如果在早期接受到熱情的好老師一對一教學，長大之後就會喜歡上數學。當然，這並不能直接成為一種可行的教育政策，不過至少告訴我們，數學的教育方法可能有改進空間。
從我在本書中所強調的思想齣發，我可以給齣一條建議。在上麵，我間接地將技術的熟練度與對較難概念的理解作瞭一番比較，但實際情況似乎是，凡是擅長其中一個方麵的必然兩個方麵都擅長。況且，如果說理解數學對象，大體上就是要學習數學對象所遵從的規則，而非把握其本質，那麼我們完全可以預期：技術的熟練度與數學理解力之間並不像我們想象得那樣涇渭分明。這又會對課堂實踐産生什麼影響呢？我並不贊成革命性的改進——數學教育已經深受其纍，我所贊同的是小幅度的改變，有所側重的小幅變化將會是有益的。

前言/序言

序言
李大潛

數學是絕大多數人學得最多的一門功課，但對於“數學是什麼？”這一看來很普通的問題，卻很難一下子給齣一個使公眾滿意的迴答。按照恩格斯的說法，數學是以現實世界的空間形式和數量關係為研究對象的。盡管人們現在對空間形式和數量關係的理解已經大大深化和拓展瞭，但作為一種哲學的概括，恩格斯的這一論斷應該說並沒有過時，也便於嚮公眾錶述並為公眾所接受。然而，要真正深入地迴答“數學是什麼？”這個問題，不能僅僅從定義齣發，而必須涉及數學的具體內涵，作一些比較深入的解釋和說明，纔能達到使人信服的效果。但是，要這樣做，會常常碰到下麵兩個似乎難以剋服的技術上的睏難。
第一，數學內涵的展現離不開眾多的術語、記號和公式。在公眾對有關的數學內涵産生興趣並開始有所領悟之前，很可能早已為這些術語、記號和公式搞得暈頭轉嚮甚至望而卻步瞭。
第二，數學內涵的展現同樣離不開必要的邏輯推理。推理若過分嚴密，很難引起公眾的興趣；但若過於粗疏，語焉不詳，則又易使人不得要領。
在現在的這一本書中，看不到很多的術語、記號和公式，對有關的數學概念及內涵一律用簡明而生動的語言來介紹，看似如數傢珍，娓娓道來，但舉重若輕，高屋建瓴，反而更好地揭示瞭本質。不熟悉有關數學內容的讀者，會感到茅塞頓開、豁然開朗；而已經熟悉有關內容的讀者，也會有如沐春風、彆開生麵的感受。書中在論述極限時，用有限來刻畫無限的生動而細緻的處理方式，雖然本質上是經典的ε-N（或ε-δ）數學描述的一套直觀而通俗的說法，但脫離瞭數學記號和公式，更顯得清楚和親切，就是一個典型的範例。書中對黃金分割比是一個無理數的證明、用地圖冊來介紹微分流形的概念等等，都同樣獨具匠心，可圈可點。另一方麵，作者在不便於或不需要進行嚴格數學推導的時候，會巧妙地繞過去，但對於必要的推導和論證，絕不偷工減料，而是不遺餘力地以十分詳盡的方式加以說明，一步步地將讀者引嚮有關的結論，同時也加深瞭讀者對邏輯論證嚴密性的理解。在這方麵，關於數係的擴張、關於√ 2是無理數的證明、關於平行公設的獨立性等段落，都是傾心著力撰寫的。正因為作者作瞭如此認真的努力，這一本篇幅不大的書顯得齣類拔萃，應該說為現有眾多的數學科普讀物提供瞭一個楷模。能夠做到這一點，而且做得如此齣色，不言而喻，歸根結底是和作者深厚的數學功力、對數學內涵及其精神實質的深刻理解和把握分不開的。
本書一開始就講瞭數學建模，指齣數學研究的對象隻是有關現實世界的數學模型，同時，指齣有關的數學模型並不真正是相應的現實世界，而隻是它的一個近似的代錶與反映。在書中作者反復強調並解釋的是他的一個基本的觀點：對於數學，不要問它是什麼，而隻要問它能做什麼。這一抽象化的思考方法，將重點放在數學內部體係的相容性，強調新的數學概念、方法與內容和已有的數學體係應自然地融為一體，強調要將有關的數學內容脫離其物理上的實在、變為符閤一些特定規則的記號，就會更利於應用，更利於正確地理解高等的數學。作者在書中舉齣指數函數、圓的麵積、高維空間、分數維的幾何等等一係列的例子來闡明這一觀點對剋服難關，深入理解與拓展數學概念所帶來的好處。這是很有啓發性的，也是很自然的，反映瞭抽象思維的必要性和優越性。由於有關的數學模型雖然隻是現實世界的一個近似的代錶，但畢竟是一個代錶，適應於它的一些規則一開始並不是憑空而來的，而是從現實世界中移植、挪用或抽象過來的，對不同的現實世界可能引入不同的規則，也會造成不同的數學對象（不滿足乘法交換律的矩陣，就是一個例子）。數學與現實世界的關係，套用一句文藝界的術語，看來應該是源於生活、高於生活的關係。如果作者在強調他的上述觀點及做法的同時，也能夠強調，數學要真正得到原創性的重大進展，除瞭要密切關注及麵對數學內部的矛盾運動外，還要密切關注現實世界（包括其他科學技術）對數學提齣的問題和需求，努力從外部世界中汲取生動活潑、豐富多彩的營養，應努力使二者相互促進、相得益彰，是不是會更全麵、更富有啓發性呢？
本書的作者蒂莫西·高爾斯（Timothy Gowers）教授是1998年獲得菲爾茨（Fields）奬的著名數學傢。2000年當我在法國巴黎訪問時，因美國剋雷（Clay）研究所給法國科學院院士阿蘭·科納（Alain Conne）教授頒發一個大奬，曾在法蘭西學院（Collège de France）的講演大廳裏召開過頒奬會。會上獲菲爾茨奬不久的蒂莫西·高爾斯教授應邀作瞭一個公眾講演。他在強調數學是一個整體的時候，曾說，如果把所有的數學分支按是否有聯係組成一個網絡，一定是一個連通的網絡，而不會有一些學科，盡管它們看來與其他分支聯係很少，遊離於整個數學這一大網絡之外。這正像有些人有很多親戚朋友，有些則很少，但整個社會的人群所組成的網絡仍是連通的一樣。他的這一觀點及如此通俗易懂的說法曾給我留下瞭深刻的印象，從這個意義上說，我和他已有一麵之緣。這次有機會看到他這一本頗具特色的數學科普著作的中譯本問世，也是一件幸事，特為之序。

2013年12月25日

評分☆☆☆☆☆

選材和角度都特彆讓我喜歡，有趣又有料的通識讀本。

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第二、京東的反饋速度超級慢，一天、兩天、三天都等不到他們承諾的迴復；

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讀書是獲取知識的最好途徑之一

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讀書是獲取知識的最好途徑之一

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很好很好很好很好很好

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非常實惠，書的包裝也很好

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京東6.18活動太閤適瞭，給女兒買瞭一堆文具書籍，太給力瞭

評分☆☆☆☆☆

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評分☆☆☆☆☆

物流速度沒得說，超級快。