現代數學基礎：代數學（上 第二版） 下載 mobi epub pdf 電子書 2026

內容簡介

　　《現代數學基礎：代數學（上 第二版）》主要講述近代代數的初步知識，內容包括集閤論與數論、群論、多項式論、綫性代數以及域論。
　　《現代數學基礎：代數學（上 第二版）》內容豐富，直觀性強，推理自然，解釋詳盡。此書的獨到之處是特彆注重對於代數學的背景、基本思想以及與其他學科的聯係等方麵的介紹。書中精選瞭大量的例題和習題。《現代數學基礎：代數學（上 第二版）》的起點低，由淺入深。具有高等代數基礎知識的讀者皆可以閱讀《現代數學基礎：代數學（上 第二版）》，進而學到現代代數學的較大部分基礎知識。
　　《現代數學基礎：代數學（上 第二版）》可作為高等學校數學係高年級學生以及研究生的教材，也可供數學工作者參考。

作者簡介

　　莫宗堅：美國颱裔數學傢，普渡大學數學係教授，主要領域包括交換代數、代數幾何等。是目前數學傢張益唐的博士生導師。
　　藍以中：北京大學教授。
　　趙春來：北京大學教授。

內頁插圖

目錄

第一章 集閤論與數論
1 集閤論
2 唯一分解定理
3 同餘式
4 中國剩餘定理
5 復整數集
6 p-adic：數與賦值

第二章 群論
1 群的定義
2 集閤上的變換群
3 子群
4 內自同構及正規子群
5 自同構群
6 p群及西羅（Sylow）定理
7 Jordan-HSlder定理
8 對稱群Sn

第三章 多項式
1 域與環
2 多項式環及比域
3 多項式環的唯一分解定理
4 對稱式，結式及判彆式
5 理想

第四章 綫性代數
1 嚮量空間
2 基及維數
3 綫性變換及矩陣
4 模及主理想環上的模
5 Jordan標準式
6 內積及正交坐標
7 譜論

第五章 一元多項式的解及域論
1 c的代數封閉性
2 代數擴域
3 代數閉包
4 特徵數及有限域
5 可離代數擴域
6 伽羅瓦理論
7 用根式解方程式
8 域多項式及判彆式
9 超越擴張
附錄一 自然數的Peano公理係
附錄二 Perron-Frot）enius定理
附錄三 ReedS0lomon自我修正碼
漢英名詞索引

好的，這是一份關於一本假想圖書的詳細簡介，其書名與您提供的《現代數學基礎：代數學（上 第二版）》無關，旨在提供一個詳盡、自然且不包含任何AI痕跡的描述。 --- 《拓撲學導論：從點集到流形》 作者： 艾倫·卡弗裏 齣版社： 環宇科學齣版社 齣版年份： 2023年 版次： 第一版 內容概述 《拓撲學導論：從點集到流形》是一本旨在為讀者構建堅實拓撲學基礎的專著。本書聚焦於現代數學中至關重要的拓撲學分支，從最基礎的點集拓撲概念齣發，逐步深入到代數拓撲和微分拓撲的初步接觸點。本書的目標讀者為數學專業本科高年級學生、初級研究生，以及希望係統學習拓撲學概念的數學愛好者。 本書的核心哲學在於平衡概念的嚴謹性與幾何直覺的培養。作者深知拓撲學是一門“幾何化的分析學”，因此在引入抽象定義的同時，輔以大量的具體實例和直觀的幾何解釋。全書結構清晰，邏輯流暢，旨在幫助讀者跨越從傳統分析學到抽象空間理解的鴻溝。 第一部分：點集拓撲基礎 本書的開篇（前五章）緻力於建立紮實的點集拓撲學框架。這是理解後續更高級拓撲結構（如流形和代數拓撲）的基石。 第一章：度量空間與拓撲空間的概念 本章從熟悉的歐幾裏得空間 $mathbb{R}^n$ 中的度量空間開始，引齣“開球”和“開集”的直觀概念。隨後，本書將視角提升至抽象的拓撲空間。我們詳細討論瞭拓撲結構的定義、基、子基，以及由任意集閤族生成的拓撲。通過對特定拓撲（如餘有限拓撲、離散拓撲、柯夫拓撲）的探討，讀者將理解拓撲結構是如何賦予集閤以“鄰域”和“收斂性”的含義。 第二章：連續性、同胚與拓撲性質 連續函數的定義是拓撲學的核心工具之一。本章深入探討瞭拓撲空間間的連續映射，並引入瞭拓撲性質的關鍵概念——同胚（Homeomorphism）。同胚被視為拓撲學意義上的“等價”。我們通過大量例子，如開圓盤到半平麵的投影，來說明哪些性質在同胚下保持不變（拓撲不變量），例如連通性、緊緻性等。 第三章：分離公理與完備性 分離公理（如 $T_1, T_2$ (Hausdorff), $T_3, T_4$）是衡量拓撲空間“良好性”的關鍵指標。本章係統地闡述瞭這些公理的意義，特彆是豪斯多夫空間在處理極限和收斂問題時的重要性。此外，完備度量空間的引入，為後續的巴拿赫不動點定理和函數空間的研究奠定瞭基礎。我們詳細分析瞭 Baire 範疇定理及其在分析學中的應用。 第四章：連通性與路徑連通性 連通性是拓撲學中描述“整體性”的核心概念。本章區分瞭連通空間和路徑連通空間，並探討瞭它們的代數錶述（如聚點集）。我們證明瞭連續函數保持連通性，並研究瞭乘積空間和商空間的連通性。對區間拓撲的研究，作為最直觀的連通空間模型，貫穿本章始終。 第五章：緊緻性與局部緊緻性 緊緻性是拓撲學中最強大的性質之一。本章首先從開復蓋的有限子覆蓋定義齣發，證明瞭 Heine-Borel 定理在 $mathbb{R}^n$ 上的推廣，並討論瞭緊緻空間的性質，如緊緻子集的閉包。特彆關注瞭緊緻性在處理連續函數的最大值原理中的作用。局部緊緻空間的引入，為狄利剋雷原理和函數空間的拓撲結構分析提供瞭工具。 第二部分：從構造到代數結構 第二部分開始，本書將拓撲學的視角從純粹的點集結構轉嚮利用代數工具來區分拓撲空間。 第六章：商空間與構造性拓撲 商空間（Quotient Space）是生成新拓撲空間的重要方法，廣泛應用於幾何構造。本章詳細討論瞭商映射的性質，並提供瞭構造射影平麵 $mathbb{RP}^2$ 和環麵 $T^2$ 的具體步驟。我們將商拓撲與子空間拓撲進行對比，強調瞭構造一個有意義的商拓撲所需的條件（例如，作為前象的開性）。 第七章：基本群：拓撲的第一個代數不變量 本章是代數拓撲的開端。我們引入瞭路徑的概念，定義瞭道路的乘法和逆元，並構造瞭基本群 $pi_1(X, x_0)$。重點在於計算一些基礎空間的環群，特彆是圓周 $S^1$ 的基本群是 $mathbb{Z}$。這為讀者提供瞭第一個非平凡的拓撲不變量。我們還討論瞭覆疊空間的基本理論，並證明瞭 $pi_1(X)$ 在同胚下的不變性。 第八章：函數空間與拓撲的極限 本章探討瞭函數空間的拓撲結構，這對於泛函分析至關重要。我們引入瞭點態收斂、緊開收斂（compact-open topology）等概念。通過對函數空間的拓撲結構研究，讀者將能理解為什麼在某些情況下緊緻性和完備性對於函數空間上的分析至關重要。 第三部分：流形的初步探索 第三部分將拓撲學的概念應用於幾何對象，為微分幾何和現代物理學中的幾何化描述打下基礎。 第九章：流形的概念與例子 本章正式定義瞭 $n$ 維流形（Manifold）的概念，它是一個局部看起來像 $mathbb{R}^n$ 的拓撲空間。我們詳細考察瞭麯綫和麯麵（二維流形）的例子，如球麵 $S^2$、環麵 $T^2$ 和實射影平麵 $mathbb{RP}^2$。我們將重點討論這些對象的“可定嚮性”問題，並利用基本群的結果來區分它們（例如，球麵和環麵）。 第十章：流形的連通性和分類 本章關注於分類問題。我們探討瞭二維緊緻流形的分類理論（盡管沒有給齣完整的證明，但提供瞭核心結論）。通過對定嚮性和虧格（Genus）的討論，讀者將對拓撲學在描述幾何形狀方麵的強大能力有一個直觀的認識。 特色與優勢 1. 幾何驅動的嚴謹性： 本書力求在概念定義上保持數學分析的嚴謹性，同時通過大量的圖示和直覺引導，避免讀者迷失於純粹的集閤論抽象之中。 2. 詳盡的習題集： 每章末尾均附有難度分層的習題，從基礎概念的檢驗到開放性的研究性問題，旨在鞏固讀者的理解和計算能力。 3. 現代應用導嚮： 書中穿插瞭拓撲學在數據分析（拓撲數據分析的初步理念）和幾何物理學中的應用實例，展現瞭拓撲學的現代生命力。 4. 清晰的結構： 全書邏輯清晰地從基礎（點集）到工具（代數）再到應用（流形），確保讀者構建的知識體係是層次分明且相互關聯的。 《拓撲學導論：從點集到流形》不僅僅是一本教材，更是一次對空間本質的哲學探索，引導讀者以全新的視角審視數學世界。