斯米尔诺夫高等数学（第三卷 第一分册） pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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本书适合高等院校相关专业师生参考使用。

内容简介

本书系根据苏联国立科学技术理论书籍出版社出版的斯米尔诺著《高等数学教程》第三卷一分册1951年第四版译出。原书经苏联高等教育部审定为综合大学数理系教学参考书。

目录

第一章 行列式与方程组的解法
1行列式及其性质
2方程组的解法
第二章线性变换和二次型
第三章群论基础和群的线性表示
附录俄国大众数学传统-过去和现在
编辑手记

经典力学与分析方法：结构、动力学与连续介质的数学框架 本书旨在系统地探讨经典力学在数学分析、微分几何与张量分析框架下的深层结构与应用。它并非一部单纯的力学教材，而是着重于如何运用先进的数学工具，特别是变分原理、微分形式、李群理论的初步应用，来构建和解析复杂的物理系统。 本书的结构围绕着从基础的场论概念过渡到更高级的动力学理论展开，为物理学、应用数学及工程科学的研究人员提供了一个坚实的分析基础。全书共分为五大部分，层层递进，确保读者能够掌握从连续介质力学到复杂系统建模的核心思想。 --- 第一部分：变分原理与拉格朗日形式的深化 本部分首先回顾了欧拉-拉格朗日方程的推导，但重点迅速转向了更具普适性的变分原理。我们深入探讨了达朗贝尔原理的解析几何表述，并将其推广至约束系统。 1.1 约束系统的几何表述与微分1-形式： 我们引入了微分1-形式 ($omega = sum p_i dq_i$) 的概念，并利用外微分与楔积来形式化动量（或广义动量）的结构。约束力的处理不再依赖于传统的拉格朗日乘子法，而是通过分析系统的可积子流形（Integrable Submanifolds） 来实现。详细讨论了由约束条件定义的子空间上的微分形式的限制过程。 1.2 泊松括号与李维尔积分： 系统的哈密顿量被视为描述相空间中流场的生成元。本书详细阐述了泊松括号的定义、性质及其与李括号的关系。特别关注了保守系统中的泊松括号的守恒性，并引入了李维尔（Liouville）定理 的严格推导，强调其在统计力学相空间密度守恒中的核心地位。 1.3 辛几何初步： 在这一部分，我们开始接触辛结构。我们将相空间视为一个具有辛形式 $Omega$ 的流形。详细论证了哈密顿向量场 $X_H$ 满足 $iota_{X_H} Omega = dH$ 这一关系，并探讨了正规辛（Symplectic Structure）的保持性，即辛同胚（Symplectic Homeomorphism） 的概念，这为研究守恒系统的长时间演化提供了必要的数学语言。 --- 第二部分：连续介质的场论基础 本部分将焦点从质点系统转移到具有无穷多自由度的连续介质，特别是弹性体和流体。核心是构建描述场量（如位移、密度、应力）的偏微分方程组。 2.1 物质导数与流场分析： 详细区分了物质导数（Material Derivative）和局部导数。引入了雷诺输运定理（Reynolds Transport Theorem） 的严格推导，并展示了如何将其应用于质量、动量和能量的守恒定律。 2.2 柯西应力张量与本构关系： 深入分析了描述内力的柯西应力张量 $sigma_{ij}$ 的对称性（基于角动量守恒）。对于线性弹性体，详细推导了胡克定律（Hooke's Law） 在三维张量形式下的表达，引入了拉梅常数。对于粘性流体，则专注于牛顿流体（Newtonian Fluid） 的应力张量与速度梯度之间的关系，并处理了体积应力与剪切应力的分解。 2.3 弹性体中的运动方程（拉梅方程）： 基于动量守恒定律，推导了三维弹性介质中的运动方程，即拉梅方程（Lamé Equation）。我们随后利用索菲娅-列维定理（Sohpia-Lévy Theorem） 的思想，将位移向量 $mathbf{u}$ 分解为旋转分量（不可压缩部分）和散度分量（可压缩部分），从而简化了方程的求解过程。 --- 第三部分：流体力学的微分形式与涡度动力学 本部分侧重于流体力学，利用向量分析和微分形式来揭示流场内在的几何属性。 3.1 欧拉方程与纳维-斯托克斯方程的矢量形式： 在不引入特定粘性模型（如牛顿流体）的情况下，推导了无粘性流体的欧拉方程。重点分析了欧拉方程中对流项的结构，并利用涡度（Vorticity） $oldsymbol{omega} = abla imes mathbf{v}$ 进行了坐标无关的分析。 3.2 亥姆霍兹分解与涡度定理： 利用亥姆霍兹分解定理（Helmholtz Decomposition Theorem），将任意速度场 $mathbf{v}$ 分解为一个无旋（irrotational）和一个无辐散（solenoidal）的分量。随后，详细阐述了开尔文涡度定理（Kelvin's Circulation Theorem） 的矢量微分形式，强调了在等熵、无外力场情况下涡度场的演化特性。 3.3 伯努利积分常数与流线几何： 在定常流中，展示了伯努利积分常数是如何通过沿流线的积分获得的。从 $mathbf{v} imes ( abla imes mathbf{v}) = abla (frac{1}{2} |mathbf{v}|^2) - mathbf{v} cdot abla mathbf{v}$ 这一关系出发，明确了伯努利常数在势流（$ abla imes mathbf{v} = 0$）中的意义。 --- 第四部分：波的传播与守恒律的分析解 本部分探讨了介质中扰动（如声波、弹性波）的传播特性，主要通过对偏微分方程的分析求解来实现。 4.1 波动方程的积分表示： 从均匀、各向同性的波动方程出发，详细推导了亥姆霍兹积分公式（Helmholtz Integral Formula），这允许我们将边界上的场值与域内的解关联起来。 4.2 达朗贝尔公式与初始值问题： 针对一维波动方程，严格推导了达朗贝尔公式（D'Alembert's Formula），并分析了其解的适定性，特别是关于初始条件对解的确定作用。讨论了波的有限速度传播特性。 4.3 频散关系与傅里叶分析： 引入傅里叶变换作为求解线性偏微分方程的有力工具。对于各向异性的介质中的波动问题，分析了频散关系（Dispersion Relation） $omega(mathbf{k})$ 的几何意义，以及它如何决定不同频率成分的传播速度。 --- 第五部分：刚体动力学的高级视角 最后，本部分回到刚体动力学的分析，但采用了群论和几何化的视角，以弥补经典牛顿力学描述的局限性。 5.1 刚体运动的李群结构： 将刚体运动视为三维欧几里得群 $ ext{SE}(3)$ 上的运动。详细介绍了刚体运动的生成元（三维平移和三维旋转），并探讨了 $ ext{SE}(3)$ 的李代数 $mathfrak{se}(3)$ 的结构。 5.2 欧拉方程的张量形式与主轴： 重新审视了刚体绕质心的欧拉方程。利用惯性张量 $I_{ij}$，以张量形式表达角动量守恒。重点讨论了主惯性轴（Principal Axes of Inertia） 的确定，以及在主轴坐标系下欧拉方程的简化形式（如陀螺仪运动）。 5.3 陀螺运动的几何性质： 分析了在定常外力矩作用下（如重力）的刚体进动（Precession）和章动（Nutation）。通过分析角速度矢量在固定坐标系和身体坐标系下的轨迹，揭示了陀螺运动中不变椭面和惯性椭面的几何关系。 本书的特点在于其对数学严谨性的坚持，要求读者不仅要掌握物理定律，更要理解这些定律在现代数学分析框架下是如何被精确构建和表达的。