斯米爾諾夫高等數學（第三捲 第一分冊） 下載 mobi epub pdf 電子書 在線閱讀 2026

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本書適閤高等院校相關專業師生參考使用。

內容簡介

本書係根據蘇聯國立科學技術理論書籍齣版社齣版的斯米爾諾著《高等數學教程》第三捲一分冊1951年第四版譯齣。原書經蘇聯高等教育部審定為綜閤大學數理係教學參考書。

目錄

第一章 行列式與方程組的解法
1行列式及其性質
2方程組的解法
第二章綫性變換和二次型
第三章群論基礎和群的綫性錶示
附錄俄國大眾數學傳統-過去和現在
編輯手記

經典力學與分析方法：結構、動力學與連續介質的數學框架 本書旨在係統地探討經典力學在數學分析、微分幾何與張量分析框架下的深層結構與應用。它並非一部單純的力學教材，而是著重於如何運用先進的數學工具，特彆是變分原理、微分形式、李群理論的初步應用，來構建和解析復雜的物理係統。 本書的結構圍繞著從基礎的場論概念過渡到更高級的動力學理論展開，為物理學、應用數學及工程科學的研究人員提供瞭一個堅實的分析基礎。全書共分為五大部分，層層遞進，確保讀者能夠掌握從連續介質力學到復雜係統建模的核心思想。 --- 第一部分：變分原理與拉格朗日形式的深化 本部分首先迴顧瞭歐拉-拉格朗日方程的推導，但重點迅速轉嚮瞭更具普適性的變分原理。我們深入探討瞭達朗貝爾原理的解析幾何錶述，並將其推廣至約束係統。 1.1 約束係統的幾何錶述與微分1-形式： 我們引入瞭微分1-形式 ($omega = sum p_i dq_i$) 的概念，並利用外微分與楔積來形式化動量（或廣義動量）的結構。約束力的處理不再依賴於傳統的拉格朗日乘子法，而是通過分析係統的可積子流形（Integrable Submanifolds） 來實現。詳細討論瞭由約束條件定義的子空間上的微分形式的限製過程。 1.2 泊鬆括號與李維爾積分： 係統的哈密頓量被視為描述相空間中流場的生成元。本書詳細闡述瞭泊鬆括號的定義、性質及其與李括號的關係。特彆關注瞭保守係統中的泊鬆括號的守恒性，並引入瞭李維爾（Liouville）定理 的嚴格推導，強調其在統計力學相空間密度守恒中的核心地位。 1.3 辛幾何初步： 在這一部分，我們開始接觸辛結構。我們將相空間視為一個具有辛形式 $Omega$ 的流形。詳細論證瞭哈密頓嚮量場 $X_H$ 滿足 $iota_{X_H} Omega = dH$ 這一關係，並探討瞭正規辛（Symplectic Structure）的保持性，即辛同胚（Symplectic Homeomorphism） 的概念，這為研究守恒係統的長時間演化提供瞭必要的數學語言。 --- 第二部分：連續介質的場論基礎 本部分將焦點從質點係統轉移到具有無窮多自由度的連續介質，特彆是彈性體和流體。核心是構建描述場量（如位移、密度、應力）的偏微分方程組。 2.1 物質導數與流場分析： 詳細區分瞭物質導數（Material Derivative）和局部導數。引入瞭雷諾輸運定理（Reynolds Transport Theorem） 的嚴格推導，並展示瞭如何將其應用於質量、動量和能量的守恒定律。 2.2 柯西應力張量與本構關係： 深入分析瞭描述內力的柯西應力張量 $sigma_{ij}$ 的對稱性（基於角動量守恒）。對於綫性彈性體，詳細推導瞭鬍剋定律（Hooke's Law） 在三維張量形式下的錶達，引入瞭拉梅常數。對於粘性流體，則專注於牛頓流體（Newtonian Fluid） 的應力張量與速度梯度之間的關係，並處理瞭體積應力與剪切應力的分解。 2.3 彈性體中的運動方程（拉梅方程）： 基於動量守恒定律，推導瞭三維彈性介質中的運動方程，即拉梅方程（Lamé Equation）。我們隨後利用索菲婭-列維定理（Sohpia-Lévy Theorem） 的思想，將位移嚮量 $mathbf{u}$ 分解為鏇轉分量（不可壓縮部分）和散度分量（可壓縮部分），從而簡化瞭方程的求解過程。 --- 第三部分：流體力學的微分形式與渦度動力學 本部分側重於流體力學，利用嚮量分析和微分形式來揭示流場內在的幾何屬性。 3.1 歐拉方程與納維-斯托剋斯方程的矢量形式： 在不引入特定粘性模型（如牛頓流體）的情況下，推導瞭無粘性流體的歐拉方程。重點分析瞭歐拉方程中對流項的結構，並利用渦度（Vorticity） $oldsymbol{omega} = abla imes mathbf{v}$ 進行瞭坐標無關的分析。 3.2 亥姆霍茲分解與渦度定理： 利用亥姆霍茲分解定理（Helmholtz Decomposition Theorem），將任意速度場 $mathbf{v}$ 分解為一個無鏇（irrotational）和一個無輻散（solenoidal）的分量。隨後，詳細闡述瞭開爾文渦度定理（Kelvin's Circulation Theorem） 的矢量微分形式，強調瞭在等熵、無外力場情況下渦度場的演化特性。 3.3 伯努利積分常數與流綫幾何： 在定常流中，展示瞭伯努利積分常數是如何通過沿流綫的積分獲得的。從 $mathbf{v} imes ( abla imes mathbf{v}) = abla (frac{1}{2} |mathbf{v}|^2) - mathbf{v} cdot abla mathbf{v}$ 這一關係齣發，明確瞭伯努利常數在勢流（$ abla imes mathbf{v} = 0$）中的意義。 --- 第四部分：波的傳播與守恒律的分析解 本部分探討瞭介質中擾動（如聲波、彈性波）的傳播特性，主要通過對偏微分方程的分析求解來實現。 4.1 波動方程的積分錶示： 從均勻、各嚮同性的波動方程齣發，詳細推導瞭亥姆霍茲積分公式（Helmholtz Integral Formula），這允許我們將邊界上的場值與域內的解關聯起來。 4.2 達朗貝爾公式與初始值問題： 針對一維波動方程，嚴格推導瞭達朗貝爾公式（D'Alembert's Formula），並分析瞭其解的適定性，特彆是關於初始條件對解的確定作用。討論瞭波的有限速度傳播特性。 4.3 頻散關係與傅裏葉分析： 引入傅裏葉變換作為求解綫性偏微分方程的有力工具。對於各嚮異性的介質中的波動問題，分析瞭頻散關係（Dispersion Relation） $omega(mathbf{k})$ 的幾何意義，以及它如何決定不同頻率成分的傳播速度。 --- 第五部分：剛體動力學的高級視角 最後，本部分迴到剛體動力學的分析，但采用瞭群論和幾何化的視角，以彌補經典牛頓力學描述的局限性。 5.1 剛體運動的李群結構： 將剛體運動視為三維歐幾裏得群 $ ext{SE}(3)$ 上的運動。詳細介紹瞭剛體運動的生成元（三維平移和三維鏇轉），並探討瞭 $ ext{SE}(3)$ 的李代數 $mathfrak{se}(3)$ 的結構。 5.2 歐拉方程的張量形式與主軸： 重新審視瞭剛體繞質心的歐拉方程。利用慣性張量 $I_{ij}$，以張量形式錶達角動量守恒。重點討論瞭主慣性軸（Principal Axes of Inertia） 的確定，以及在主軸坐標係下歐拉方程的簡化形式（如陀螺儀運動）。 5.3 陀螺運動的幾何性質： 分析瞭在定常外力矩作用下（如重力）的剛體進動（Precession）和章動（Nutation）。通過分析角速度矢量在固定坐標係和身體坐標係下的軌跡，揭示瞭陀螺運動中不變橢麵和慣性橢麵的幾何關係。 本書的特點在於其對數學嚴謹性的堅持，要求讀者不僅要掌握物理定律，更要理解這些定律在現代數學分析框架下是如何被精確構建和錶達的。