21世紀復旦大學研究生教學用書：微分幾何十六講 下載 mobi epub pdf 電子書 在線閱讀 2026

內容簡介

　　《21世紀復旦大學研究生教學用書：微分幾何十六講》內容大多取自20世紀七八十年代國際上著名微分幾何專傢的論文。全書分三章，共16小節（即16講）。第1章為子流形的第二基本形式長度的若乾空隙性定理，第2章為常麯率空間內超麯麵的若乾定理，第3章為給定麯率的超麯麵的幾個存在性定理。《21世紀復旦大學研究生教學用書：微分幾何十六講》的閱讀起點較低，公式的推導盡可能詳細，極少量不加證明的結論也盡可能指明齣處。
　　《21世紀復旦大學研究生教學用書：微分幾何十六講》是青年學生微分幾何方嚮研究的一本入門書，可作為基礎數學專業二年級碩士生或直博生的一學年的教材，也可作為研究生討論班的材料。

內頁插圖

目錄

第1章 子流形的第二基本形式長度的若乾空隙性定理
第1講 子流形的基本方程
第2講 歐氏空間內子流形的基本定理
第3講 球麵內極小閉子流形的第二基本形式長度平方的第一空隙性定理
第4講 一個改進的定理
第5講 完備Riemann流形的廣義最大值原理
第6講 4維球麵內閉極小超麯麵的第二基本形式長度平方的第二空隙性定理
第7講 R4內完備常平均麯率和常數量麯率超麯麵

第2章 常麯率空間內超麯麵的若乾唯一性定理
第1講 歐氏空間內常平均麯率或常數量麯率的嵌入閉超麯麵是球麵
第2講 歐氏空間內帶邊界的極小麯麵的等周不等式
第3講 極小子流形的體積的第一、第二變分公式
第4講 Bernstein定理
第5講 具有非負Ricci麯率的閉Riemann流形的Laplace算子的第一特徵值
第6講 球麵內閉極小嵌入超麯麵的Laplace算子的第一特徵值

第3章 給定麯率的超麯麵的幾個存在性定理
第1講 給定平均麯率函數的Rn+1內同胚於Sn(1)的閉超麯麵存在性
第2講 歐氏空間內給定Gauss麯率的凸閉超麯麵的存在性定理
第3講 歐氏空間內給定第s階平均麯率的凸閉超麯麵的存在性定理

前言/序言

　　我十多年來對基礎數學專業微分幾何方嚮的多屆碩士研究生、直博生講課，內容大多取自20世紀七八十年代國際上著名微分幾何專傢的論文，最近，利用半年多的空閑時段，整理講課材料，成本冊書，
　　我自認為閱讀論文是件苦事，經常為瞭文中一個引理的證明、一段文字的敘述，查閱文獻，思索多日，為此，本書的閱讀起點很低，公式的推導盡可能詳細，極少量不加證明的結論也盡可能指明其齣處．本書是青年學生微分幾何方嚮研究的一本入門書．
　　本書可以作為基礎數學專業二年級碩士生或直博生的一學年的教材，也可以作為研究生討論班的材料，供學生自己閱讀、報告，
　　“西北望，射天狼”，希望青年學子茁壯成長，作齣好的研究成果．

《幾何的邊界與維度：探索現代數學的瑰麗圖景》 在人類文明的長河中，幾何一直是理解世界、構建宇宙最 fundamental 的語言之一。從古希臘先賢對歐氏空間的精準丈量，到現代物理學中彎麯時空的精妙描繪，幾何的魅力與力量從未衰減，反而不斷拓展著我們認知的邊界。本書《幾何的邊界與維度：探索現代數學的瑰麗圖景》旨在帶領讀者踏上一段穿越時空的數學之旅，領略幾何學在 21 世紀的最新進展及其在各個學科領域展現齣的強大生命力。 本書並非對某一特定教材進行解讀，而是以一種更廣闊的視野，係統性地梳理和呈現現代幾何學的發展脈絡、核心概念以及前沿應用。我們希望通過本書，讓讀者深刻理解幾何學何以能夠從最初的形狀與度量，發展成為描述宇宙結構、量子糾纏、乃至復雜網絡等無數自然和社會現象的通用框架。 第一篇：幾何的根基與演化——從經典到抽象 在現代幾何學的宏偉殿堂中，經典幾何是不可或缺的基石。本篇我們將從歐幾裏得幾何的公理體係齣發，追溯其嚴謹的邏輯結構和深遠的哲學內涵。隨後，我們將目光投嚮非歐幾何的誕生，理解黎曼幾何如何在麯率的概念下，為愛因斯坦的廣義相對論提供瞭思想土壤。這將幫助讀者領悟到，數學的創新往往源於對既有理論的挑戰和超越。 然而，幾何學的演進並未止步於對空間的度量和彎麯的探索。進入 20 世紀，隨著代數幾何、微分幾何等分支的崛起，幾何學傢們開始運用更抽象的代數工具來研究幾何對象，使得我們能夠以前所未有的深度和廣度理解空間結構。本篇將著重介紹這些抽象化的思想，例如流形的概念——一個在局部看起來是歐氏空間的集閤，卻能在整體上擁有復雜的拓撲結構。我們將探討光滑流形、微分同胚等關鍵概念，為理解更復雜的幾何對象打下堅實的基礎。 此外，拓撲學作為研究空間在連續形變下不變性質的學科，在現代幾何學中扮演著越來越重要的角色。它提供瞭一種全新的視角來描述和分類幾何對象，其研究的“彈性”特性，使得拓撲學在計算機科學、材料科學等領域展現齣驚人的應用潛力。本篇將穿插介紹一些基礎的拓撲概念，並展望其與微分幾何的深度融閤。 第二篇：現代幾何的璀璨明珠——微分幾何的精髓 微分幾何是本書的核心聚焦之一，它將微積分的強大分析工具引入幾何領域，從而能夠精細地研究麯綫、麯麵乃至更高維流形的局部性質，並進而揭示其整體結構。在本篇中，我們將深入探討微分幾何的核心內容，勾勒齣其理論框架和研究方法。 首先，我們將介紹微分流形這一 fundamental 的概念。微分流形不僅擁有拓撲結構，更在每一點都配備瞭切空間，這使得我們可以在局部應用微積分的工具。我們將詳細闡述切嚮量、張量場、微分形式等基本概念，它們是描述流形上各種幾何量的語言。例如，張量場可以描述流形上的度量、麯率、嚮量場等等，是理解流形幾何性質的關鍵。 麯率，作為微分幾何的靈魂，將得到深入的剖析。我們將區分不同的麯率概念，如高斯麯率、平均麯率，並探討麯率張量如何完整地刻畫流形的彎麯程度。理解麯率的分布，對於我們認識空間形狀的內在屬性至關重要。例如，正麯率的區域傾嚮於“收縮”，負麯率的區域傾嚮於“擴張”，而零麯率的區域則保持“平直”。 此外，聯絡（Connection）的概念將是本篇的另一個重點。聯絡允許我們在流形上“平行移動”嚮量，從而定義協變導數，這是研究嚮量場和張量場在流形上如何變化的根本工具。通過協變導數，我們可以理解測地綫（最短路徑）的性質，以及麯率張量是如何衡量平行移動過程中嚮量變化的“非保守性”。 本書還將觸及微分幾何中一些更高級的話題，例如黎曼幾何中的測地綫方程、第二變分公式等，它們是理解流形拓撲性質和全局幾何結構的有力武器。我們還將介紹一些微分幾何的經典定理，如高斯-博內定理，它巧妙地連接瞭流形的麯率和拓撲不變量，展示瞭微分幾何的深刻洞察力。 第三篇：幾何的邊界與跨界——現代數學與科學的應用 21世紀的幾何學早已不再是數學傢的專屬領域，它的思想和工具已經滲透到科學研究的各個角落，成為理解復雜現象、解決實際問題的關鍵。本篇將重點展示現代幾何學在不同領域展現齣的強大生命力和創新性。 數學內部的融閤與拓展： 微分幾何與代數幾何、拓撲學等分支的緊密聯係是現代數學的重要特徵。代數幾何使用代數方程來描述幾何對象，而微分幾何則提供瞭研究這些對象光滑性質的工具。它們的結閤催生瞭許多深刻的理論，例如代數簇的微分結構。拓撲學研究的是空間在連續變形下的不變性質，而微分幾何則提供瞭描述這些性質的精細工具。本書將探討這些學科之間的交叉融閤，以及它們如何共同推動數學的進步。 理論物理學的強大引擎： 幾何學在現代理論物理學中的地位舉足輕重。廣義相對論將引力描述為時空的彎麯，其數學語言正是微分幾何。黑洞、引力波的探測，都離不開精密的時空幾何計算。在量子場論中，規範場論的數學結構與縴維叢、聯絡等微分幾何概念息息相關，例如楊-米爾斯理論。弦理論更是將高維幾何的深刻思想融入其中，試圖統一基本粒子和相互作用。本書將解析幾何學在這些物理理論中的核心作用。 計算機科學的隱秘語言： 幾何在計算機科學中的應用日益廣泛，尤其是在計算機圖形學、計算機視覺、機器學習等領域。三維模型的構建、圖像的識彆與處理、數據的高維可視化，都離不開幾何學的原理。例如，麯麵重建、點雲處理、形狀匹配等問題，都需要藉助微分幾何的工具。在機器學習中，數據本身的幾何結構（如流形假設）對於理解和建模至關重要，流形學習算法應運而生。本書將揭示幾何學如何在數字世界中發揮作用。 其他前沿領域的展望： 除瞭上述領域，幾何學還在網絡科學、生物學（如蛋白質摺疊的幾何分析）、經濟學（如金融模型的幾何解釋）等領域展現齣潛力。本書將對這些新興的應用方嚮進行簡要的介紹和展望，展示幾何學作為一種 universal 的數學語言，其邊界正在不斷被拓展。 結語： 《幾何的邊界與維度：探索現代數學的瑰麗圖景》不僅僅是一次知識的梳理，更是一次思想的啓迪。我們希望通過本書，能夠激發讀者對幾何學的濃厚興趣，理解其深邃的思想內涵，感受其在現代科學技術中所扮演的關鍵角色。在 21 世紀，幾何學依舊是理解宇宙、塑造未來的強大工具，它將繼續引領我們探索未知的邊界，發現更多令人驚嘆的數學奇跡。