中国科学院研究生教学丛书：高等概率论 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

内容简介

　　《中国科学院研究生教学丛书：高等概率论》由三部分内容组成，第1部分是测度论基础（第1～3章），主要介绍测度的扩张定理和分解定理，Lebesgue-Stieltjes测度、可测函数及其积分的基本性质，还有乘积可测空间和Fubini定理等，第2部分是第4-6章，主要介绍独立随机变量序列的极限定理，包括中心极限定理、级数收敛定理、大数定律和重对数律.在介绍中心极限定理之前，介绍了测度的弱收敛、特征函数以及相关结论，这部分内容突出了经典的概率论证明技巧，第3部分为第7、8章，介绍一些特殊的随机过程，第7章介绍离散鞅论，第8章简单介绍了马氏链、布朗运动和高斯自由场。
　　《中国科学院研究生教学丛书：高等概率论》适合教学专业的研究生作为教材，亦可作为教师参考用书。

内页插图

目录

前言

第1章 测度与积分
1．1 符号与假定
1．2 集族与测度
1．3 测度的扩张
1．4 Lebesgue-Stieltjes测度
1．5 Hausdorff测度和填充测度
1．6 可测函数及其收敛性
1．7 可积函数及积分性质
习题1

第2章 测度的分解
2．1 测度的Jordan-Hahn分解
2．2 Radon-Nikodym定理
2．3 Radon-Nikodym定理在实分析中的应用
习题2

第3章 乘积空间上的测度与积分
3．1 乘积测度
3．2 Fubini定理
3．3 无穷维乘积空间上的测度
习题3

第4章 概率论基础
4．1 符号与概念
4．2 条件概率与条件期望
4．3 Borel-Cantelli引理
4．4 Kolmogorov零一律
习题4

第5章 中心极限定理
5．1 测度的弱收敛
5．2 特征函数
5．3 Lindeberg中心极限定理
5．4 无穷可分分布族
5．5 二重随机变量序列的极限定理
习题5

第6章 大数定律
6．1 级数收敛定理
6．2 大数定律
6．3 kolmogorov重对数律
习题6

第7章 离散鞅论
7．1 鞅的基本概念
7．2 鞅不等式和鞅的几乎处处收敛性
7．3 一致可积性与鞅的Lp收敛性
7．4 鞅的选样定理
习题7

第8章 随机过程选讲
8．1 随机游动与马氏链
8．2 布朗运动
8．3 高斯自由场

参考文献
索引

前言/序言

　　高等概率论是概率论与数理统计专业的研究生必修课之一，它是从事概率论与数理统计以及相关方向的研究所必需的数学基础。
　　本书系统介绍了测度论的基础知识、概率论的极限理论以及离散鞅论.由于作者自2004年起至今一直在中国科学院研究生院教授60学时的高等概率论课程，因此本书主要形成于作者的讲稿，测度论部分的内容主要参考R.Ash的Real Analysis and Probability和P.R.Halmos的Measure Theory写成，概率论的极限理论和离散鞅论的内容则主要参考H.G Tucker的A Graduate Course in Probability，L.Breiman的Probability和R.Ash的Real Analysis and Probability写成，随机过程选讲中的高斯自由场的内容则来自于作者近年的研究工作。
　　素来知道著书立说非等闲儿戏.在写作过程中虽颤惊如履薄冰，然学养不至登堂入室之地步，终会有诸多不足，最后，感谢我的家人和我的学生们对我的支持和帮助。

概率世界的奥秘：一本引导您探索随机现象的深度之作 在我们生活的世界中，随机性无处不在。从微观粒子碰撞的不可预测性，到宏观经济波动的规律性，再到生物遗传的变异，概率论都扮演着至关重要的角色。它不仅是理解这些现象的基石，更是驱动现代科学技术发展的强大引擎。本书并非仅仅是理论的堆砌，而是一次深入探寻概率世界奥秘的旅程，旨在为您构建起坚实的概率理论框架，并培养您运用概率思维解决实际问题的能力。 本书的编写，借鉴了近年来概率论研究的最新进展，并结合了国内外高水平高校的教学经验，力求在严谨性、系统性与前沿性之间取得平衡。我们相信，通过对高等概率论的深入学习，您将能够： 洞察随机性的本质： 摆脱对随机现象的直观、模糊的认识，掌握描述、分析和预测随机行为的严谨数学工具。 理解概率模型的构建： 学习如何将现实世界的复杂问题抽象为数学模型，并运用概率论的语言来刻画和分析这些模型。 掌握高级分析方法： 深入理解随机变量的分布、期望、方差等基本概念，并进一步掌握条件期望、鞅、马尔可夫链等高级工具。 连接理论与应用： 认识概率论在统计学、机器学习、金融工程、物理学、生物学等众多领域的广泛应用，并初步具备解决相关问题的能力。 全书结构与内容概览： 本书的整体脉络清晰，由浅入深，循序渐进地引导读者掌握高等概率论的核心知识。 第一部分：基础理论的坚实铺垫 我们从最基础的概念开始，为后续的深入学习打下坚实基础。 集合论基础与测度论初步： 概率空间的概念是概率论的理论基石。我们将从集合论的基本概念出发，逐步引入可测空间、测度与概率测度等概念，详细阐述事件、样本空间以及概率测度之间的关系。这将帮助您理解为何需要超越初等概率论中的古典概率和统计概率的局限，建立起一个普适的概率理论框架。我们将重点讲解可测函数、积分的概念，以及勒贝格积分与黎曼积分的关系，为理解期望的严格定义做好准备。 随机变量与期望： 随机变量是概率论的核心研究对象。我们将深入探讨随机变量的定义、类型（离散型、连续型、混合型）以及它们的分布函数。随后，我们将引入期望的概念，从初等的加权平均推广到基于勒贝格积分的严格定义，并讨论期望的性质、全期望公式以及 Jensen 不等式等重要结论。 条件期望与条件概率： 在许多实际问题中，我们往往需要根据已知信息来更新对不确定事件的概率判断。条件期望和条件概率正是解决这类问题的关键工具。本书将详细介绍条件概率的定义和性质，并在此基础上引入条件期望的概念，探讨其在随机变量序列分析中的重要作用，例如用于刻画随机变量之间的依赖关系。 独立性与相关性： 随机变量之间的独立性是许多概率模型简化的重要假设。我们将严格定义事件独立和随机变量独立的含义，并探讨独立性与期望、方差的关系。同时，我们也将讨论相关的概念，如协方差和相关系数，以及如何判断和利用变量之间的相关性。 第二部分：深入探索随机变量的性质 在掌握了基础概念之后，我们将进一步深入研究随机变量的各种性质和分布。 重要概率分布的深入剖析： 除了常见的二项分布、泊松分布、指数分布、均匀分布、正态分布外，本书还将详细介绍一些在统计学和工程领域中更为重要的分布，例如伽马分布、贝塔分布、卡方分布、t 分布、F 分布等。对于每一种分布，我们将阐述其定义、性质（如均值、方差、矩母函数、特征函数）、以及其在现实世界中的典型应用场景。例如，我们将探讨正态分布在自然界和统计推断中的普遍性，以及泊松分布在描述稀有事件发生次数时的应用。 多维随机变量与联合分布： 现实世界中的随机现象往往涉及多个随机变量。我们将推广到多维随机变量的情形，讲解联合分布函数、边缘分布函数、联合密度函数以及条件密度函数。同时，我们也将深入探讨多维随机变量的期望、方差、协方差阵以及它们之间的关系。 随机变量函数的分布： 在实际应用中，我们常常需要研究由已知随机变量通过某种函数变换后得到的新随机变量的分布。本书将系统介绍求解随机变量函数的分布的各种方法，包括利用卷积公式、变量替换法、矩母函数法等，并提供详实的例证。 矩母函数与特征函数： 矩母函数和特征函数是研究随机变量分布的重要工具，它们能够简洁地刻画随机变量的分布信息，并且在推导概率分布的性质、判断随机变量的收敛性等方面发挥着不可替代的作用。我们将详细介绍它们的定义、性质以及它们在推导期望、方差、以及证明随机变量收敛性方面的应用。 第三部分：随机变量序列的收敛性与极限理论 理解随机变量序列的渐进行为是概率论的核心内容之一，也是许多统计推断方法的基础。 依概率收敛与依分布收敛： 我们将严格定义几种重要的收敛类型，包括依概率收敛、几乎处处收敛、Lp 收敛以及依分布收敛。我们将详细阐述它们之间的关系，并给出判定和证明收敛性的方法。 大数定律： 大数定律是概率论中最基本和最重要的定律之一，它揭示了大量独立同分布随机变量的平均值趋于其期望值的现象。本书将详细阐述切比雪夫大数定律、柯尔莫哥洛夫强大数定律等，并讨论其在统计推断中的意义。 中心极限定理： 中心极限定理是概率论中的又一重要基石，它表明，大量独立同分布的随机变量之和（或平均值），在适当标准化后，其分布近似于正态分布，无论其原始分布是什么（只要均值和方差有限）。我们将重点讲解林德伯格-费勒中心极限定理和列维中心极限定理，并阐述其在统计推断中构造置信区间和进行假设检验时的巨大价值。 第四部分：马尔可夫链与随机过程初步 除了对单个随机变量及其序列的研究，我们还将引入更广泛的随机过程概念，特别是马尔可夫链。 马尔可夫链的基本概念： 马尔可夫链是描述状态转移的随机过程。我们将详细介绍马尔可夫链的定义、状态空间、转移概率矩阵，并探讨其平稳分布、可达性、常返性等性质。 马尔可夫链的应用： 我们将展示马尔可夫链在排队论、搜索引擎算法、生物信息学等领域的实际应用，帮助读者理解理论的实际价值。 本书的特色与优势： 严谨性与完备性： 本书在数学表达上力求严谨，概念定义清晰，证明过程详尽，为读者建立起稳固的理论基础。 丰富的例证与习题： 理论的理解离不开大量的练习。本书配有大量精心设计的例题，覆盖了各种典型情境，帮助读者巩固所学知识。同时，每章末尾还提供了一系列不同难度级别的习题，旨在帮助读者深化理解、提升解题能力。 前沿性与应用导向： 本书在介绍经典理论的同时，也适当融入了概率论领域近年来的研究热点和发展趋势，并强调概率论在各个学科领域的应用，以激发读者的学习兴趣和研究潜力。 清晰的逻辑结构： 本书的章节安排遵循了从基础到深入、从理论到应用的逻辑顺序，确保读者能够逐步掌握复杂概念，避免学习过程中的断层。 谁适合阅读本书？ 本书适合于对概率论有一定基础（如了解初等概率论）的研究生、高年级本科生，以及在工作中使用概率论的科研人员和工程师。如果您希望： 为进一步学习统计学、机器学习、数据科学、随机过程、风险管理等高级课程打下坚实的数学基础。 深入理解统计推断的原理，并能够独立进行数据分析和建模。 提升在科学研究或工程实践中分析和解决不确定性问题的能力。 那么，本书将是您的理想选择。 结语： 概率论是一门既古老又充满活力的学科。它以其抽象的美感和强大的应用能力，深刻地影响着我们对世界的认知。本书的编写，是希望成为您探索概率世界、领略随机之美的引路人。通过系统的学习，您将能够以一种全新的视角审视周围的世界，并为解决复杂问题提供有力的工具。我们期待与您一同踏上这段精彩的概率论之旅！