分數階微積分 下載 mobi epub pdf 電子書 2026

內容簡介

　　本書講述瞭Grünwald Letnikov型、Riemann Liouville型、Caputo型及Weyl型四種分數階微分、分數階積分的定義、性質、運算法則及分數階微積分建模的案例，討論瞭分數階微分方程的初邊值問題、隨機分數階微分方程初值問題和隨機級數在非綫性波方程初值隨機化中的應用.
　　本書可作為高等院校理工科高年級本科生、研究生的教材或教師的教學參考書，也可供從事相關理論研究的科技工作者閱讀使用.

內頁插圖

目錄

第1章緒論
1.1分數階微積分的創立與發展簡介
1.2幾類特殊函數及變換
1.2.1Gamma函數
1.2.2Beta函數
1.2.3Laplace變換
1.2.4Fourier變換
1.3Mittag�睱effler函數及其性質
1.3.1Mittag�睱effler函數定義
1.3.2兩參數Mittag�睱effler函數的Laplace變換
1.3.3Mittag�睱effler函數的求導公式
習題1
第2章Grünwald�睱etnikov型分數階微積分
2.1G�睱型分數階微積分的定義
2.1.1整數階導數的差分近似遞推
2.1.2G�睱意義下整數階微分與積分的統一形式
2.1.3G�睱型分數階微積分的定義
2.2G�睱型分數階微積分的性質
2.3G�睱型分數階微積分的數學建模
2.3.1一般能量信號的G�睱型分數階微分模型
2.3.2圖像增強與去噪的G�睱型分數階微分與積分濾波器
構造模型
2.3.3計算時間分數階導數的G�睱定義下的差分模型
2.4G�睱型分數階微積分計算的數學實驗
習題2
第3章Riemann�睱iouville型分數階微積分
3.1R�睱型分數階微積分的定義與性質
3.1.1左R�睱型分數階微積分
3.1.2左R�睱型分數階微積分算子的性質
3.1.3R�睱型分數階微積分的中值定理
3.1.4右R�睱型分數階微積分的概念
3.1.5常用R�睱意義下的左（右）12階導數與12階積分
3.2R�睱型分數階微積分積分變換與廣義分數階導數
3.2.1R�睱型分數階微積分的積分變換
3.2.2廣義分數階導數與R�睱型分數階積分
3.3G�睱型與R�睱型分數階微積分之間的關係
3.4R�睱型分數階微積分的物理解釋與數學建模及實驗
3.4.1R�睱型分數階微積分的一種物理解釋
3.4.2控製係統中R�睱型分數階微分模型
3.4.3耳石器官廣義分數階黏彈性動力學模型
3.4.4計算時間分數階導數的R�睱定義下的差分模型
3.5R�睱型分數階微積分計算的數學實驗
習題3
第4章Caputo型分數階微積分
4.1Caputo型分數階導數的定義
4.2Caputo型分數階導數的性質
4.3G�睱型、R�睱型分數階微積分與Caputo型分數階導數之間的關係
4.3.1G�睱型定義與Caputo型定義之間的關係
4.3.2R�睱型定義與Caputo型定義之間的關係
4.4Caputo型分數階導數的數學建模
4.4.1Caputo型分數階Lagrange函數的Euler�睱agrange
數學模型
4.4.2計算時間分數階導數的Caputo型差分模型
4.5Caputo型分數階導數計算的數學實驗
習題4
第5章Weyl型分數階微積分
5.1Weyl型分數階微積分的定義
5.1.1速降函數的概念及性質
5.1.2Weyl型分數階微積分的定義
5.2Weyl型分數階微積分的性質
5.3Weyl型分數階微積分的數學建模
5.4Weyl型分數階微積分計算的數學實驗
習題5
第6章分數階微分方程
6.1分數階微分方程模型
6.2分數階微分方程的Green函數和Laplace變換求法
6.2.1Laplace變換求解分數階微分方程
6.2.2序列分數階導數
6.2.3Green函數法求解分數階微分方程
6.3分數階微分方程的初值問題
6.3.1綫性R�睱型分數階微分方程的初值問題
6.3.2非綫性R�睱型分數階微分方程的初值問題
6.3.3Caputo型分數階微分方程初值問題
6.4分數階微分方程的兩點邊值問題
6.4.1綫性分數階微分方程兩點邊值問題
6.4.2分數階非綫性微分方程邊值問題
6.5分數階發展方程的初值問題
6.5.1抽象分數階綫性微分方程初值問題
6.5.2抽象分數階發展方程初值問題
習題6
第7章隨機分數階微分方程
7.1隨機分析基礎
7.1.1Brown運動
7.1.2Ito積分的定義與性質
7.1.3Ito公式
7.1.4停時
7.1.5鞅的概念與性質
7.1.6常用的不等式
7.1.7分數Brown運動及其隨機積分
7.2半綫性隨機分數階微分方程
7.3隨機分數階積分�參⒎址匠�
7.4Hilbert空間中的隨機分數階Volterra方程
7.5隨機分數階振動方程
7.6幾類抽象隨機分數階微分方程的適定性
7.6.1Caputo型分數階隨機微分方程
7.6.2帶Caputo型分數階導數的隨機分數階微分方程
7.6.3分數Brown運動驅動的隨機微分方程
習題7
第8章初值隨機化及其應用
8.1隨機級數的定義與性質
8.1.1Banach空間中的隨機級數
8.1.2Hilbert空間中的隨機級數
8.1.3正項隨機級數
8.2隨機級數的Lp正則性
8.3超臨界波方程初值隨機化的Cauchy問題
8.4幾類非綫性發展方程初值隨機化的Cauchy問題
8.4.1分數階不可壓Navier�睸tokes方程初值隨機化的
Cauchy問題
8.4.2非綫性Schr�塪inger方程初值隨機化的Cauchy問題
習題參考答案
參考文獻

前言/序言

數學分析的邊界：超越整數階導數的深邃探索 圖書名稱： 數學分析的邊界：超越整數階導數的深邃探索 內容簡介： 本書旨在為讀者提供一個全麵而深入的視角，探究經典微積分框架之外的數學分析領域。它將引導讀者從熟悉的整數階導數和積分概念齣發，逐步進入一個更為廣闊、充滿挑戰與機遇的分析空間。本書的核心聚焦於那些在經典理論中難以捕捉或描述的現象，特彆是那些涉及到非整數階運算的數學模型和理論工具。 第一部分：基礎的迴顧與重構 在深入探討更高級概念之前，本書首先對經典一元和多元微積分的基石進行瞭嚴謹的復習與重新審視。我們不僅僅停留在對基本定理（如微積分基本定理、均值定理、泰勒公式）的機械應用，而是深入探究其背後的拓撲與測度論基礎。我們將考察極限、連續性、一緻收斂性在函數空間中的錶現，並為後續引入非整數階概念鋪設必要的理論橋梁。重點將放在對積分的黎曼和勒貝格定義的深入理解，因為後者對於推廣到更復雜的積分形式至關重要。 第二部分：從離散到連續的插值：非整數階思想的萌芽 本部分開始引入本書的核心思想——如何將離散的差分運算和平滑的微分運算聯係起來。我們探討瞭差分方程組在不同時間尺度下的行為，並引入瞭插值函數的概念，以期找到一種連接 $n$ 階導數和 $(n+1)$ 階導數之間的“中間狀態”。 我們詳細考察瞭經典的整數階導數算子 $frac{d^n}{dx^n}$ 的譜結構，並提齣一個核心問題：是否存在一個算子 $D^alpha$，其中 $alpha$ 不是整數，但它能夠以一緻和有意義的方式介於 $D^n$ 和 $D^{n+1}$ 之間？ 本章將引入對諸如“廣義函數”和“分布理論”的初步介紹，這些工具為定義和理解非整數階算子提供瞭最初的數學語言。我們將分析為什麼標準的微分定義無法直接推廣，並探討瞭對導數定義進行“正則化”或“重定義”的必要性。 第三部分：非整數階分析的核心工具：核函數與積分錶示 本部分是全書的技術核心，集中展示瞭定義非整數階算子的主要數學方法。我們將聚焦於兩個最強大且應用最廣泛的工具：積分變換和捲積。 1. 傅裏葉分析與加權積分： 我們將展示如何利用傅裏葉變換將微分運算轉化為簡單的乘法運算，即 $mathcal{F}{D^n f}(xi) = (ixi)^n mathcal{F}{f}(xi)$。隨後，我們提齣一個自然的問題：如何將指數 $n$ 推廣到任意實數或復數 $alpha$？這自然地導嚮瞭定義 $mathcal{F}{D^alpha f}(xi) = (ixi)^alpha mathcal{F}{f}(xi)$。本書將詳細分析這種定義在 $L^p$ 空間中的良好定義性、連續性和半群性質。 2. 捲積與核函數的構建： 深入探討瞭利用特定核函數 $K_alpha(x)$ 來錶示非整數階算子 $D^alpha f(x) = int K_alpha(x-y) f(y) dy$ 的方法。重點分析瞭與分數階導數密切相關的兩個經典核： Riemann-Liouville（裏曼-李烏維爾）核： 基於廣義的伽馬函數積分錶示，我們詳細推導瞭這種左側（或右側）分數階導數的精確積分形式，並分析瞭其在積分下限處的奇異性處理方式。 Caputo（卡普托）核： 與裏曼-李烏維爾定義相比，卡普托定義在處理帶有非整數階初始條件的微分方程時具有顯著的物理優勢。本書將對比這兩種主要的積分錶示方式及其各自的適用場景。 第四部分：空間、半群與函數空間理論 非整數階算子不再是作用於普通的連續函數空間，而是要求更精細的函數空間結構來保證其運算的有效性。本部分緻力於將這些新算子嵌入到適當的分析框架中。 我們將介紹Sobolev空間 $mathcal{W}^{s,p}$ 的概念，並探討如何使用分數階範數來定義 $mathcal{H}^{alpha}$（分數階Hӧlder-Sobolev空間）。重點分析瞭非整數階導數算子在這些空間上的有界性和一緻性。 此外，本書深入研究瞭非整數階算子作為半群生成元的角色。我們將展示，當 $alpha$ 為正時，$D^alpha$ 及其逆運算（分數階積分）如何構築一個連續的時間演化係統，這對於理解擴散過程（如分數階布朗運動）至關重要。 第五部分：非整數階方程的求解與應用概述 在建立瞭堅實的理論基礎後，本書的最後一部分將目光投嚮瞭非整數階方程的實際求解。 1. 方程類型分類： 我們區分瞭以分數階導數為主的 分數階常微分方程 (FODEs)、涉及空間分數階導數的 分數階偏微分方程 (FPDEs)，以及混閤型方程。 2. 求解策略： 針對特定類型的FODEs，我們將介紹利用Laplace變換（在$alpha$階冪次下的推廣）和級數解法（例如，基於Mittag-Leffler函數的展開）來構造精確解。對於FPDEs，我們將探討其解與經典熱傳導方程或波動方程解的本質區彆，特彆是其非局部性的體現。 3. 物理與工程的印記： 本部分將概述非整數階分析在現實世界中的應用領域，例如： 粘彈性材料建模： 描述材料在應力-應變關係中錶現齣的“記憶效應”。 異常擴散現象： 模擬介質中粒子運動的非高斯、長程依賴性擴散過程（如在多孔介質或復雜生物係統中）。 控製理論中的優化： 利用分數階控製器設計實現更精細的係統響應。 本書的結構旨在為對經典分析有深刻理解的研究人員和高年級學生提供一座堅實的橋梁，通往現代數學分析中一個既古老又充滿活力的前沿領域。通過嚴謹的推導和對概念的細緻辨析，讀者將能夠掌握描述和分析超越整數階行為的必要數學語言和技術。