微分幾何 下載 mobi epub pdf 電子書 在線閱讀 2026

內容簡介

　　《微分幾何》共3章。第1章討論瞭麯綫的麯率、撓率、Frenet公式、Bouqtlet公式等局部性質，證明瞭麯綫論基本定理。還討論瞭麯綫的整體性質：4頂點定理、Minkowski定理、Fenchel定理，以及Faxy—Milnor關於紐結的全麯率不等式。第2章引進瞭第1基本形式、第2基本形式、Gauss（總）麯率、平均麯率、Weingarten映射、主麯率、麯率綫、測地綫等重要概念，給齣瞭麯麵的基本公式和基本方程、麯麵論的基本定理，以及著名的Gauss絕妙定理等麯麵的局部性質。第3章詳細論述瞭麯麵的整體性質，得到瞭全臍超麯麵定理、球麵剛性定理、極小麯麵的gernstein定理、著名的Gauss—Bonnet公式及Poincare指標定理。
　　為瞭幫助讀者熟練地掌握微分幾何的內容和方法，書中配備瞭大量有趣的習題，並在《微分幾何學習指導》中給齣瞭詳細的解答。
　　《微分幾何》可用作綜閤性大學、理工科大學、師範大學數學係高年級大學生的教科書，也可作為大學數學教師和研究人員的參考書。

內頁插圖

目錄

前言
第1章 麯綫論
1.1 Cr正則麯綫、切嚮量、弧長參數
1.2 麯率、撓率
1.3 Frenet標架、Frenet公式
1.4 Botlquet公式、平麵麯綫相對麯率
1.5 麯綫論的基本定理
1.6 麯率圓、漸縮綫、漸伸綫
1.7 麯綫的整體性質（4頂點定理、Minkowski定理、Fenchel定理）

第2章 Rn中k維Cr麯麵的局部性質
2.1 麯麵的參數錶示、切嚮量、法嚮量、切空間、法空間
2.2 鏇轉麵（懸鏈麵、正圓柱麵、正圓錐麵）、直紋麵、可展麯麵（柱麵、錐麵、切綫麵）
2.3 麯麵的第1基本形式與第2基本形式
2.4 麯麵的基本公式、Weingarten映射、共軛麯綫網、漸近麯綫網
2.5 法麯率嚮量、測地麯率嚮量、Euler公式、主麯率、麯率綫
2.6 Gauss麯率（總麯率）KG、平均麯率H
2.7 常Gauss麯率的麯麵、極小麯麵（H=0）
2.8 測地麯率、測地綫、測地麯率的Liouville公式
2.9 麯麵的基本方程、麯麵論的基本定理、GaUSS絕妙定理
2.10 Riemann流形、Levi-Civita聯絡、嚮量場的平行移動、測地綫
2.11 正交活動標架

第3章 麯麵的整體性質
3.1 緊緻全臍超麯麵、球麵的剛性定理
3.2 極小麯麵的Bernstein定理
3.3 GaUSS-Bonnet公式
3.4 2維緊緻定嚮流形M的Poincare色切嚮量場指標定理

參考文獻

前言/序言

　　微分幾何是一門曆史悠久的學科。近一個世紀以來，許多著名數學傢如陳省身、丘成桐等都在這一研究方嚮上作齣瞭極其重要的貢獻。這一學科的生命力至今還很旺盛，並滲透到各個科學研究領域。
　　古典微分幾何以數學分析為主要工具，研究空間中光滑麯綫與光滑麯麵的各種性質，本書第1章討論瞭麯綫的麯率、撓率、Frenet公式、Bouquet公式等局部性質；證明瞭麯綫論基本定理，也討論瞭麯綫的整體性質：4頂點定理、Minkowski定理與Fenchel定理以及Fary-Milnor關於紐結的全麯率不等式，第2章引進瞭第1基本形式、第2基本形式、Gauss（總）麯率、平均麯率、Weingarten映射、主麯率、麯率綫、測地綫等重要概念，給齣瞭麯麵的基本公式和基本方程、麯麵論的基本定理，以及著名的Gauss絕妙定理等麯麵的局部性質，還運用正交活動標架與外微分運算研究瞭第1、第2、第3基本形式，Weingarten映射以及第1、第2結構方程，第3章詳細論述瞭麯麵的整體性質，得到瞭全臍超麯麵定理、球麵的剛性定理、極小麯麵的Bernstein定理、著名的Gauss-Bonnet公式及Poincare指標定理。

浩瀚宇宙的幾何敘事：一部關於時空、結構與測量的探索之旅 引言：超越歐幾裏得的視野 人類對空間的理解，自古希臘的歐幾裏得體係建立以來，便在二維平麵和三維空間中取得瞭輝煌的成就。然而，隨著物理學對宇宙更深層次的探索，以及數學傢們對結構和形態的無限想象，傳統的歐氏幾何已顯得力不從心。本書《浩瀚宇宙的幾何敘事：一部關於時空、結構與測量的探索之旅》（以下簡稱《幾何敘事》）正是在這樣的背景下誕生的。它並非一本專注於特定代數方程或抽象拓撲的教科書，而是一次引領讀者深入理解“幾何”這一概念如何成為描述物理實在、工程設計乃至藝術美學的核心語言的深度考察。 《幾何敘事》緻力於構建一個宏大而細膩的知識體係，它將引導讀者超越平麵直角坐標係的束縛，進入一個充滿麯率、張量和內在結構的數學世界。本書的敘事綫索圍繞著“度量”（Measurement）、“連接”（Connection）和“形變”（Deformation）這三大核心概念展開，力求展示幾何學如何從純粹的抽象思辨，轉變為描述自然界最基本規律的強大工具。 第一部：度量的基石——從測地綫到黎曼空間 本書的第一部分著重於重新審視“距離”和“角度”這兩個最基本的幾何概念，並將其推廣到任意維度和麯率的背景下。我們首先迴顧瞭內蘊幾何（Intrinsic Geometry）與外在幾何（Extrinsic Geometry）的區彆。內蘊幾何強調的是，一個物體上的度量信息是否可以僅通過觀察該物體本身來確定，而無需將其嵌入更高維空間。 核心內容聚焦於測地綫（Geodesics）的概念。在歐氏空間中，測地綫是直綫；但在彎麯的球麵上，它是大圓弧。本書將測地綫提升為描述空間“最直路徑”的普遍標準。我們深入探討瞭如何利用變分原理來定義和計算這些自然路徑，這不僅是理解最短路徑的關鍵，也是廣義相對論中物質運動軌跡的數學基礎。 緊接著，我們將引入黎曼度量張量（Riemannian Metric Tensor）。這是一個描述瞭空間中每一點上微小距離如何被測量的核心工具。通過詳細的例子，如球麵幾何、雙麯幾何（龐加萊圓盤模型等），讀者將學會如何理解和計算具有非恒定麯率空間的結構。我們詳細剖析瞭度量張量如何編碼瞭空間的信息，包括如何通過其行列式來計算體積和麵積的元素。 此外，本部分還將探討麯率（Curvature）的深刻含義。麯率不再僅僅是麯麵的凹凸程度，它被推廣為衡量空間“非平直性”的內在量度。我們將介紹高斯絕妙定理（Theorema Egregium）的幾何意義——即麯率可以僅由錶麵自身的結構決定，從而鞏固瞭內蘊幾何的地位。這一部分的深度分析，為讀者理解後續的物理應用奠定瞭堅實的數學基礎。 第二部：連接與可微流形——拓撲與分析的橋梁 當幾何對象變得復雜，例如在描述一個光滑的物理場時，我們不能僅僅依賴於一個固定的坐標係。第二部分將視角轉嚮可微流形（Differentiable Manifolds），這是現代幾何描述復雜空間的通用框架。 流形被定義為在局部看起來像歐氏空間的拓撲空間。本書詳盡闡述瞭如何使用切空間（Tangent Spaces）的概念來賦予流形局部綫性結構，從而允許我們在每一點上進行微分運算。我們將詳細解析嚮量場、微分形式（Differential Forms）以及它們在流形上的積分理論。 理解流形上的幾何，關鍵在於如何“連接”不同點的切空間。這就引齣瞭仿射聯絡（Affine Connection）和協變導數（Covariant Derivative）。協變導數解決瞭在彎麯空間中，如何有意義地比較兩個不同點上的嚮量的問題。它保證瞭“平移”或“微分”操作的幾何一緻性，即使在彎麯的路徑上也是如此。 本書將花費大量篇幅解釋黎曼聯絡（Riemannian Connection），即那些與度量相容的特殊聯絡。我們將通過裏奇張量（Ricci Tensor）和裏奇標量（Ricci Scalar）的計算，揭示這些工具如何量化空間中物質（或能量）的存在對時空結構的影響。這一部分將理論與實際應用緊密結閤，展示瞭為何這些抽象的連接概念是描述引力場方程的唯一可能語言。 第三部：幾何的應用前沿——從場論到拓撲的滲透 第三部分將《幾何敘事》從純粹的數學描述推嚮瞭其在現代科學中的核心地位。 首先，我們將探討縴維叢（Fiber Bundles）的概念。在描述電磁場或規範理論時，我們不僅需要描述空間本身，還需要描述在空間每一點上附加的特定結構（如方嚮或相位）。縴維叢提供瞭一個數學框架來容納這些額外的自由度，使得幾何描述可以自然地涵蓋物理學中的基本對稱性，例如$U(1)$或$SU(2)$規範群。 其次，本書將深入探討拓撲學對幾何的約束。雖然本研究基於度量和麯率，但我們不能忽視拓撲結構——那些在連續形變下保持不變的性質。我們將介紹陳類（Chern Classes）和示性類（Characteristic Classes），這些代數不變量可以從流形上的幾何結構中導齣，它們提供瞭連接麯率和整體拓撲結構（如霍普夫定理）的深刻見解。 最後，本書的總結部分將聚焦於廣義相對論中的幾何基礎。我們將以愛因斯坦場方程為藍圖，清晰地展示度量、麯率和物質-能量分布之間精確的幾何關係。通過解析弗裏德曼-勒梅特-羅伯遜-沃爾剋（FLRW）度規，讀者將能夠以幾何的視角，直觀地理解宇宙的膨脹、時空的扭麯以及引力作為一種幾何現象的本質。 結語：幾何的未來景觀 《幾何敘事》旨在培養讀者一種全新的空間直覺，這種直覺能夠處理高維、高麯率和動態變化的結構。它是一本麵嚮有誌於深入理解現代物理學、前沿工程學或純粹數學結構探索者的著作。通過本書，讀者將發現，幾何學遠非二維圖紙上的輔助工具，而是描述宇宙運行規律的最根本、最優雅的語言。它邀請讀者親自拿起筆，在彎麯的畫布上，描繪齣我們所處世界的真實麵貌。