美国数学会经典影印系列：复分析与几何引论（影印版） [An Introduction to Complex Analysis and Geometry] pdf epub mobi txt 电子书 下载 在线阅读 2026

内容简介

　　《美国数学会经典影印系列：复分析与几何引论（影印版）》提供给读者一个对复分析的深刻理解以及这门学科是如何融入数学的。
　　《美国数学会经典影印系列：复分析与几何引论（影印版）》是从伊利诺伊大学香槟分校的校园荣誉计划中的讲座发展起来的。这些课程的目标是让学生体会到当以复分析的观点对待许多数学和物理问题时，问题便被神奇地简化了。
　　《美国数学会经典影印系列：复分析与几何引论（影印版）》从初等的水平出发。
　　《美国数学会经典影印系列：复分析与几何引论（影印版）》的前四章给出了对复分析及其许多初等但非寻常应用的一个导引，第5到第7章发展了Cauchy理论，包括一些引人注目的对于微积分的应用。第8章则探讨了一些吸引人的论题，使全书连成一个有机的整体并为深入研究打开了大门。
　　280个习题囊括了从简单计算到难解之题。这种多样性使得此书的吸引力。
　　只阅读前四章的读者将能够在初等情形中应用复数。研读整《美国数学会经典影印系列：复分析与几何引论（影印版）》将能了解基本的单复变论并将目睹它作为一个整体融合进数学中。数学研究工作者也会发现许多新的观点。

内页插图

目录

Preface

Chapter 1．From the Real Numbers to the Complex Numbers
1．Introduction
2．Number systems
3．Inequalities and ordered fields
4．The complex numbers
5．Alternative definitions of C
6．A glimpse at metric spaces

Chapter 2．Complex Numbers
1．Complex conjugation
2．Existence of square roots
3．Limits
4．Convergent infinite series
5．Uniform convergence and consequences
6．The unit circle and trigonometry
7．The geometry of addition and multiplication
8．Logarithms

Chapter 3．Complex Numbers and Geometry
1．Lines， circles， and balls
2．Analytic geometry
3．Quadratic polynomials
4．Linear fractional transformations
5．The Riemann sphere

Chapter 4．Power Series Expansions
1．Geometric series
2．The radius of convergence
3．Generating functions
4．Fibonacci numbers
5．An application of power series
6．Rationality

Chapter 5．Complex Differentiation
1．Definitions of complex analytic function
2．Complex differentiation
3．The Cauchy-Riemann equations
4．Orthogonal trajectories and harmonic functions
5．A glimpse at harmonic functions
6．What is a differential form?

Chapter 6．Complex Integration
1．Complex-valued functions
2．Line integrals
3．Goursat's proof
4．The Cauchy integral formula
5．A return to the definition of complex analytic function

Chapter 7．Applications of Complex Integration
1．Singularities and residues
2．Evaluating real integrals using complex variables methods
3．Fourier transforms
4．The Gamma function

Chapter 8．Additional Topics
1．The minimum-maximum theorem
2．The fundamental theorem of algebra
3．Winding numbers， zeroes， and poles
4．Pythagorean triples
5．Elementary mappings
6．Quaternions
7．Higher-dimensional complex analysis

Fhrther reading
Bibliography
Index

前言/序言

　　近年来，我国的科学技术取得了长足进步，特别是在数学等自然科学基础领域不断涌现出一流的研究成果。与此同时，国内的科研队伍与国外的交流合作也越来越密切，越来越多的科研工作者可以熟练地阅读英文文献，并在国际顶级期刊发表英文学术文章，在国外出版社出版英文学术著作。
　　然而，在国内阅读海外原版英文图书仍不是非常便捷。一方面，这些原版图书主要集中在科技、教育比较发达的大中城市的大型综合图书馆以及科研院所的资料室中，普通读者借阅不甚容易；另一方面，原版书价格昂贵，动辄上百美元，购买也很不方便。这极大地限制了科技工作者对于国外先进科学技术知识的获取，间接阻碍了我国科技的发展。
　　高等教育出版社本着植根教育、弘扬学术的宗旨服务我国广大科技和教育工作者，同美国数学会（American Mathematical Society）合作，在征求海内外众多专家学者意见的基础上，精选该学会近年出版的数十种专业著作，组织出版了“美国数学会经典影印系列”丛书。美国数学会创建于1888年，是国际上极具影响力的专业学术组织，目前拥有近30000会员和580余个机构成员，出版图书3500多种，冯.诺依曼、莱夫谢茨、陶哲轩等世界级数学大家都是其作者。本影印系列涵盖了代数、几何、分析、方程、拓扑、概率、动力系统等所有主要数学分支以及新近发展的数学主题。我们希望这套书的出版，能够对国内的科研工作者、教育工作者以及青年学生起到重要的学术引领作用，也希望今后能有更多的海外优秀英文著作被介绍到中国。

美国数学会经典影印系列：复分析与几何引论（影印版） [An Introduction to Complex Analysis and Geometry] 图书简介 本书是一部深入探讨复分析与几何基础知识的经典著作，旨在为读者构建坚实的理论框架，并展示这些领域之间深刻的内在联系。全书内容组织严谨，逻辑清晰，从基础概念出发，逐步深入到更精细和前沿的研究方向。 本书的叙事结构围绕着复变函数理论的核心——柯西-黎曼方程和全纯函数展开。开篇部分详尽地介绍了复数域 $mathbb{C}$ 上的拓扑结构、开集、闭集、紧集等基本概念，为后续的复分析讨论打下必要的分析基础。我们详细讨论了复变函数的极限、连续性，并引入了复导数的概念。强调了复可微性（即全纯性）与实可微性在性质上的巨大差异，这是理解复分析独特魅力的关键起点。 接下来的章节聚焦于全纯函数及其积分性质。本书系统地推导和阐述了柯西-黎曼方程的几何意义和代数形式，并利用它来刻画局部解析性。随后，至关重要的柯西积分定理和柯西积分公式被严格证明和深入分析。这些定理不仅是复分析的基石，更是连接函数值、边界值和内部性质的桥梁。我们详细探讨了柯西积分公式在计算积分、确定函数系数方面的强大威力。 本书对幂级数和泰勒级数的处理尤为细致。幂级数的收敛性、唯一性，以及它与全纯函数的内在联系被清晰地展示出来。通过泰勒展开，我们证明了每一个全纯函数在局部都可以被唯一起地表示为一个幂级数，这极大地丰富了我们对全纯函数光滑性的认识。紧接着，我们引入了洛朗级数，这是处理函数在奇点附近行为的必要工具。 奇点理论是本书的另一大亮点。我们对三种主要的孤立奇点——可去奇点、极点和本质奇点进行了详尽的分类和讨论。对于每一个奇点类型，我们都提供了具体的例子和判断标准。本书利用洛朗级数结构，系统地解释了奇点如何影响函数的局部行为，并为后续的留数定理的建立做好了充分的铺垫。 留数定理被视为复分析中最强大、应用最广泛的工具之一。本书不仅给出了留数定理的严格证明，更重要的是，用大量的、精心挑选的例子展示了如何运用它来计算实积分（包括涉及三角函数的定积分和瑕积分），以及一些看似复杂的实变量积分。这一部分是连接理论与实际计算能力的关键环节。 在讨论完基础分析工具后，本书转向了更具几何色彩的主题——共形映射。我们从局部保角性的概念出发，解释了为什么全纯函数的导数非零的点对应于共形变换。莫比乌斯变换（Möbius transformations）作为一类特殊的共形映射，在解决几何问题中扮演着核心角色。本书详细分析了莫比乌斯变换的性质，包括它们如何将圆周（广义的直线）映射到圆周，以及它们在黎曼球面上的紧凑表示。 几何的视角在后续章节中得到了进一步深化。本书引入了黎曼曲面的概念，尽管是以一种相对直观和介绍性的方式呈现。我们将复平面上的拓扑结构与几何结构相结合，探讨了某些多值函数（如平方根函数或对数函数）如何通过“展开”到多叶空间来恢复其全纯性质。这为理解代数函数和超越函数提供了必要的几何直觉。 此外，本书还涉及了调和函数。调和函数在物理学（如静电势、稳态热传导）中有重要的应用。我们证明了全纯函数的实部和虚部都是调和函数，并探讨了平均值性质和最大值原理在线性偏微分方程解中的作用。最大值原理作为复分析的标志性结果之一，被应用于证明诸如刘维尔定理（Liouville's Theorem）等重要结论。 本书的叙述风格强调严谨性与启发性的结合。每一个新概念的引入都伴随着清晰的动机和直观的解释，证明过程力求完整且易于遵循。通过大量的例题和练习，读者不仅能够掌握分析工具，更能培养出处理复杂复变函数问题的能力。它不仅仅是一本关于计算技巧的书，更是一部关于复平面上美妙几何结构与深刻分析规律的探索之旅。 本书的深度和广度使其成为研究生课程的理想教材，同时对于希望系统性回顾或深入学习复分析与几何基础的数学家和工程师而言，也是一本极具价值的参考书。它清晰地展示了数学分析的优雅性如何通过引入复数这一维度而得到极大的提升。