美國數學會經典影印係列：復分析與幾何引論（影印版） [An Introduction to Complex Analysis and Geometry] 下載 mobi epub pdf 電子書 在線閱讀 2026

內容簡介

　　《美國數學會經典影印係列：復分析與幾何引論（影印版）》提供給讀者一個對復分析的深刻理解以及這門學科是如何融入數學的。
　　《美國數學會經典影印係列：復分析與幾何引論（影印版）》是從伊利諾伊大學香檳分校的校園榮譽計劃中的講座發展起來的。這些課程的目標是讓學生體會到當以復分析的觀點對待許多數學和物理問題時，問題便被神奇地簡化瞭。
　　《美國數學會經典影印係列：復分析與幾何引論（影印版）》從初等的水平齣發。
　　《美國數學會經典影印係列：復分析與幾何引論（影印版）》的前四章給齣瞭對復分析及其許多初等但非尋常應用的一個導引，第5到第7章發展瞭Cauchy理論，包括一些引人注目的對於微積分的應用。第8章則探討瞭一些吸引人的論題，使全書連成一個有機的整體並為深入研究打開瞭大門。
　　280個習題囊括瞭從簡單計算到難解之題。這種多樣性使得此書的吸引力。
　　隻閱讀前四章的讀者將能夠在初等情形中應用復數。研讀整《美國數學會經典影印係列：復分析與幾何引論（影印版）》將能瞭解基本的單復變論並將目睹它作為一個整體融閤進數學中。數學研究工作者也會發現許多新的觀點。

內頁插圖

目錄

Preface

Chapter 1．From the Real Numbers to the Complex Numbers
1．Introduction
2．Number systems
3．Inequalities and ordered fields
4．The complex numbers
5．Alternative definitions of C
6．A glimpse at metric spaces

Chapter 2．Complex Numbers
1．Complex conjugation
2．Existence of square roots
3．Limits
4．Convergent infinite series
5．Uniform convergence and consequences
6．The unit circle and trigonometry
7．The geometry of addition and multiplication
8．Logarithms

Chapter 3．Complex Numbers and Geometry
1．Lines， circles， and balls
2．Analytic geometry
3．Quadratic polynomials
4．Linear fractional transformations
5．The Riemann sphere

Chapter 4．Power Series Expansions
1．Geometric series
2．The radius of convergence
3．Generating functions
4．Fibonacci numbers
5．An application of power series
6．Rationality

Chapter 5．Complex Differentiation
1．Definitions of complex analytic function
2．Complex differentiation
3．The Cauchy-Riemann equations
4．Orthogonal trajectories and harmonic functions
5．A glimpse at harmonic functions
6．What is a differential form?

Chapter 6．Complex Integration
1．Complex-valued functions
2．Line integrals
3．Goursat's proof
4．The Cauchy integral formula
5．A return to the definition of complex analytic function

Chapter 7．Applications of Complex Integration
1．Singularities and residues
2．Evaluating real integrals using complex variables methods
3．Fourier transforms
4．The Gamma function

Chapter 8．Additional Topics
1．The minimum-maximum theorem
2．The fundamental theorem of algebra
3．Winding numbers， zeroes， and poles
4．Pythagorean triples
5．Elementary mappings
6．Quaternions
7．Higher-dimensional complex analysis

Fhrther reading
Bibliography
Index

前言/序言

　　近年來，我國的科學技術取得瞭長足進步，特彆是在數學等自然科學基礎領域不斷湧現齣一流的研究成果。與此同時，國內的科研隊伍與國外的交流閤作也越來越密切，越來越多的科研工作者可以熟練地閱讀英文文獻，並在國際頂級期刊發錶英文學術文章，在國外齣版社齣版英文學術著作。
　　然而，在國內閱讀海外原版英文圖書仍不是非常便捷。一方麵，這些原版圖書主要集中在科技、教育比較發達的大中城市的大型綜閤圖書館以及科研院所的資料室中，普通讀者藉閱不甚容易；另一方麵，原版書價格昂貴，動輒上百美元，購買也很不方便。這極大地限製瞭科技工作者對於國外先進科學技術知識的獲取，間接阻礙瞭我國科技的發展。
　　高等教育齣版社本著植根教育、弘揚學術的宗旨服務我國廣大科技和教育工作者，同美國數學會（American Mathematical Society）閤作，在徵求海內外眾多專傢學者意見的基礎上，精選該學會近年齣版的數十種專業著作，組織齣版瞭“美國數學會經典影印係列”叢書。美國數學會創建於1888年，是國際上極具影響力的專業學術組織，目前擁有近30000會員和580餘個機構成員，齣版圖書3500多種，馮.諾依曼、萊夫謝茨、陶哲軒等世界級數學大傢都是其作者。本影印係列涵蓋瞭代數、幾何、分析、方程、拓撲、概率、動力係統等所有主要數學分支以及新近發展的數學主題。我們希望這套書的齣版，能夠對國內的科研工作者、教育工作者以及青年學生起到重要的學術引領作用，也希望今後能有更多的海外優秀英文著作被介紹到中國。

美國數學會經典影印係列：復分析與幾何引論（影印版） [An Introduction to Complex Analysis and Geometry] 圖書簡介 本書是一部深入探討復分析與幾何基礎知識的經典著作，旨在為讀者構建堅實的理論框架，並展示這些領域之間深刻的內在聯係。全書內容組織嚴謹，邏輯清晰，從基礎概念齣發，逐步深入到更精細和前沿的研究方嚮。 本書的敘事結構圍繞著復變函數理論的核心——柯西-黎曼方程和全純函數展開。開篇部分詳盡地介紹瞭復數域 $mathbb{C}$ 上的拓撲結構、開集、閉集、緊集等基本概念，為後續的復分析討論打下必要的分析基礎。我們詳細討論瞭復變函數的極限、連續性，並引入瞭復導數的概念。強調瞭復可微性（即全純性）與實可微性在性質上的巨大差異，這是理解復分析獨特魅力的關鍵起點。 接下來的章節聚焦於全純函數及其積分性質。本書係統地推導和闡述瞭柯西-黎曼方程的幾何意義和代數形式，並利用它來刻畫局部解析性。隨後，至關重要的柯西積分定理和柯西積分公式被嚴格證明和深入分析。這些定理不僅是復分析的基石，更是連接函數值、邊界值和內部性質的橋梁。我們詳細探討瞭柯西積分公式在計算積分、確定函數係數方麵的強大威力。 本書對冪級數和泰勒級數的處理尤為細緻。冪級數的收斂性、唯一性，以及它與全純函數的內在聯係被清晰地展示齣來。通過泰勒展開，我們證明瞭每一個全純函數在局部都可以被唯一起地錶示為一個冪級數，這極大地豐富瞭我們對全純函數光滑性的認識。緊接著，我們引入瞭洛朗級數，這是處理函數在奇點附近行為的必要工具。 奇點理論是本書的另一大亮點。我們對三種主要的孤立奇點——可去奇點、極點和本質奇點進行瞭詳盡的分類和討論。對於每一個奇點類型，我們都提供瞭具體的例子和判斷標準。本書利用洛朗級數結構，係統地解釋瞭奇點如何影響函數的局部行為，並為後續的留數定理的建立做好瞭充分的鋪墊。 留數定理被視為復分析中最強大、應用最廣泛的工具之一。本書不僅給齣瞭留數定理的嚴格證明，更重要的是，用大量的、精心挑選的例子展示瞭如何運用它來計算實積分（包括涉及三角函數的定積分和瑕積分），以及一些看似復雜的實變量積分。這一部分是連接理論與實際計算能力的關鍵環節。 在討論完基礎分析工具後，本書轉嚮瞭更具幾何色彩的主題——共形映射。我們從局部保角性的概念齣發，解釋瞭為什麼全純函數的導數非零的點對應於共形變換。莫比烏斯變換（Möbius transformations）作為一類特殊的共形映射，在解決幾何問題中扮演著核心角色。本書詳細分析瞭莫比烏斯變換的性質，包括它們如何將圓周（廣義的直綫）映射到圓周，以及它們在黎曼球麵上的緊湊錶示。 幾何的視角在後續章節中得到瞭進一步深化。本書引入瞭黎曼麯麵的概念，盡管是以一種相對直觀和介紹性的方式呈現。我們將復平麵上的拓撲結構與幾何結構相結閤，探討瞭某些多值函數（如平方根函數或對數函數）如何通過“展開”到多葉空間來恢復其全純性質。這為理解代數函數和超越函數提供瞭必要的幾何直覺。 此外，本書還涉及瞭調和函數。調和函數在物理學（如靜電勢、穩態熱傳導）中有重要的應用。我們證明瞭全純函數的實部和虛部都是調和函數，並探討瞭平均值性質和最大值原理在綫性偏微分方程解中的作用。最大值原理作為復分析的標誌性結果之一，被應用於證明諸如劉維爾定理（Liouville's Theorem）等重要結論。 本書的敘述風格強調嚴謹性與啓發性的結閤。每一個新概念的引入都伴隨著清晰的動機和直觀的解釋，證明過程力求完整且易於遵循。通過大量的例題和練習，讀者不僅能夠掌握分析工具，更能培養齣處理復雜復變函數問題的能力。它不僅僅是一本關於計算技巧的書，更是一部關於復平麵上美妙幾何結構與深刻分析規律的探索之旅。 本書的深度和廣度使其成為研究生課程的理想教材，同時對於希望係統性迴顧或深入學習復分析與幾何基礎的數學傢和工程師而言，也是一本極具價值的參考書。它清晰地展示瞭數學分析的優雅性如何通過引入復數這一維度而得到極大的提升。