俄羅斯數學教材選譯·現代幾何學·方法與應用3：同調論引論（第2版） 下載 mobi epub pdf 電子書 在線閱讀 2026

編輯推薦

　　《現代幾何學方法與應用：同調論引論》(第3捲)(第2版)可用作數學和理論物理專業高年級和研究生的教學用書，對從事幾何和拓撲研究的工作者也極有參考價值。

內容簡介

　　《現代幾何學方法與應用：同調論引論》(第3捲)(第2版)是莫斯科大學數學力學係對幾何課程現代化改革的成果，作者之一的諾維可夫是1970年菲爾茲奬和2005年沃爾夫奬得主。全書力求以直觀的和物理的視角闡述，是一本難得的現代幾何方麵的好書。內容包括張量分析、麯綫和麯麵幾何、一維和高維變分法(一捲)，微分流形的拓撲和幾何(第二捲)，以及同調與上同調理論(第三捲)。

內頁插圖

目錄

《俄羅斯數學教材選譯》序前言第一章 同調和上同調群．它們的計算方法§1．作為閉微分形式類的上同調群．它們的同倫不變性§2．代數復形的同調群§3．單純復形．其同調和上同調群．二維閉麯麵的分類§4．在拓撲空間上附加胞腔的運算．胞腔空間．關於胞腔空間的約化定理．麯麵和其他某些流形的同調群和基本群§5．奇異同調和上同調．它們的同倫不變性．空間對的正閤序列．相對同調群§6．胞腔復形的奇異同調．它與胞腔同調的等同．單純同調的龐加萊對偶§7．直積空間的同調．上同調乘積．日一空間和李群的上同調．酉群的上同調§8．斜積(縴維叢空間)的同調群§9．映射的延拓問題，同調與截影．障礙的上同調類§10．同調論及同倫群的計算方法．嘉當一塞爾定理．上同調運算．嚮量叢§11．同調與基本群§12．超橢圓黎曼麵的上同調．雅可比環麵．多軸橢圓體上的測地綫．與有限間斷位勢的關聯§13．凱勒流形的最簡單性質．阿貝爾環麵§14．係數在層的同調論第二章 光滑函數的臨界點和上同調§15．莫爾斯函數與胞腔復形§16．莫爾斯不等式§17．莫爾斯一斯梅爾正常函數．環柄．麯麵§18．龐加萊對偶§19．光滑函數的臨界點和柳斯捷爾尼剋一施尼雷爾曼疇數§20．臨界流形和莫爾斯不等式．有對稱性的函數§21．函數的臨界點與道路空間QM的拓撲§22．指數定理的應用§23．變分法的周期問題§24．三維流形上的莫爾斯函數和赫戈圖§25．博特的酉周期性和高維變分問題§26．莫爾斯理論和平麵n體問題的某些運動第三章 配邊論和光滑結構§27．示性數．配邊．閉鏈和子流形．流形的符號差§28．七維球麵的光滑結構．光滑流形的(法不變)分類問題．賴德邁斯特撓率和組閤拓撲的基本假設參考文獻應用1 多值函數的類比莫爾斯理論．泊鬆括號的某些性質應用2 普拉托問題．配邊和在黎曼流形中的整體極小麯麵索引……

前言/序言

　　從上世紀50年代初起，在當時全麵學習蘇聯的大背景下，國內的高等學校大量采用瞭翻譯過來的蘇聯數學教材。這些教材體係嚴密，論證嚴謹，有效地幫助瞭青年學子打好紮實的數學基礎，培養瞭一大批優秀的數學人纔。到瞭60年代，國內開始編纂齣版的大學數學教材逐步代替瞭原先采用的蘇聯教材，但還在很大程度上保留著蘇聯教材的影響，同時，一些蘇聯教材仍被廣大教師和學生作為主要參考書或課外讀物繼續發揮著作用。客觀地說，從解放初一直到文化大革命前夕，蘇聯數學教材在培養我國高級專門人纔中發揮瞭重要的作用，起瞭不可忽略的影響，是功不可沒的。改革開放以來，通過接觸並引進在體係及風格上各有特色的歐美數學教材，大傢眼界為之一新，並得到瞭很大的啓發和教益。但在很長一段時間中，盡管蘇聯的數學教學也在進行積極的探索與改革，引進卻基本中斷，更沒有及時地進行跟蹤，能看懂俄文數學教材原著的人也越來越少，事實上已造成瞭很大的隔膜，不能不說是一個很大的缺憾。事情終於齣現瞭一個轉摺的契機。今年初，在由中國數學會、中國工業與應用數學學會及國傢自然科學基金委員會數學天元基金聯閤組織的迎春茶話會上，有數學傢提齣，莫斯科大學為慶祝成立250周年計劃推齣一批優秀教材，建議將其中的一些數學教材組織翻譯齣版。這一建議在會上得到廣泛支持，並得到高等教育齣版社的高度重視。會後高等教育齣版社和數學天元基金一起邀請熟悉俄羅斯數學教材情況的專傢座談討論，大傢一緻認為：在當前著力引進俄羅斯的數學教材，有助於擴大視野，開拓思路，對提高數學教學質量、促進數學教材改革均十分必要。《俄羅斯數學教材選譯》係列正是在這樣的情況下，經數學天元基金資助，由高等教育齣版社組織齣版的

現代幾何學：拓撲學的核心與範疇論的基石 聚焦於代數拓撲的經典著作，深入剖析同調論的理論基礎、計算方法及其在幾何學中的深刻應用。 本書特色： 經典地位： 作為代數拓撲領域公認的權威教材，本書係統地、嚴謹地構建瞭同調論的理論框架，是理解現代幾何學不可或缺的基石。 深度與廣度兼備： 詳細闡述瞭鏈復形、鏈同調、奇異同調、縴維化、譜序列等核心概念，同時涵蓋瞭特定空間（如圖形、流形）同調的計算技巧。 嚴謹的數學邏輯： 遵循瞭代數結構（如範疇、函子）的視角，將拓撲問題轉化為可計算的代數問題，展示瞭現代數學研究範式的力量。 麵嚮未來： 本書的討論不僅僅停留在基礎的奇異同調，而是自然地導嚮更高級的主題，如上同調、縴維叢的陳類，以及其在微分幾何和代數幾何中的聯係。 --- 第一部分：基礎結構與鏈復形的代數語言 本書的開篇即奠定瞭現代拓撲學研究的基石——鏈復形及其同調理論。此部分旨在將直觀的拓撲概念轉化為嚴格的代數工具。 1. 基礎概念與預備知識迴顧： 在深入同調之前，本書首先迴顧瞭拓撲學中的基本空間概念，特彆是緊緻性、連通性以及基本群的局限性。隨後，引入瞭範疇論的初步概念，強調瞭態射、函子和自然變換在連接不同數學領域中的橋梁作用。這為後續將拓撲空間映射到鏈復形（一個阿貝爾群的序列）提供瞭理論框架。 2. 鏈復形（Chain Complexes）的構造： 核心內容聚焦於鏈復形的定義：一個阿貝爾群（或模）序列 $C_n$ 和一組滿足 $d_n circ d_{n+1} = 0$ 的邊界映射 $d_n$。本書詳細討論瞭邊界算子（Boundary Operator）的性質及其在定義“洞”（Holes）方麵的關鍵作用。特彆地，討論瞭鏈映射（Chain Map）的概念，並證明瞭鏈映射在鏈同調的誘導映射（Induced Map）上的良好性質。 3. 同調與上同調的代數定義： 基於鏈復形，清晰地定義瞭同調群 $H_n(C)$ 作為自行車鏈群（Cycle Group）對邊界群（Boundary Group）的商群：$H_n(C) = ext{Ker}(d_n) / ext{Im}(d_{n+1})$。隨後，引入瞭上鏈復形（Cochain Complex）和上同調群（Cohomology Group），闡述瞭它們與同調群的對偶關係，以及通過萬有係數定理（Universal Coefficient Theorem）將兩者聯係起來的代數結構。 --- 第二部分：拓撲空間的同調論：奇異同調的建立 代數工具準備就緒後，本書將重點轉嚮將這些工具應用於具體的拓撲空間，特彆是奇異同調的構造。 1. 單形與奇異單純形： 本書詳細介紹瞭 $n$ 維單純形（Simplex）的拓撲定義，隨後引入瞭奇異單純形，即從標準單純形到任意拓撲空間 $X$ 的連續映射。奇異同調的威力在於其對任意拓撲空間的適用性。 2. 奇異鏈復形的構造與基本性質： 定義瞭奇異鏈群 $C_n(X)$ 為由所有 $n$ 維奇異單純形構成的自由阿貝爾群，並構造瞭相應的邊界算子，從而得到瞭奇異鏈復形 $C_(X)$。本書嚴謹地證明瞭 $C_(X)$ 滿足鏈復形的公理，並導齣瞭奇異同調群 $H_n(X)$。 3. 同倫不變性（Homotopy Invariance）： 這是同調論區彆於其他代數不變量的關鍵特徵。本書深入闡述瞭凸鏈同倫（Chain Homotopy）的概念，並證明瞭如果兩個連續映射是同倫等價的，則它們誘導的同調映射在同調群上是恒等映射。這一證明依賴於對“中點算子”的構造，展示瞭代數結構如何精確地捕捉拓撲形變下的不變性。 4. 拓撲構造下的精確性： 本書強調瞭正閤序列（Exact Sequence）在分析幾何性質中的核心作用。詳細討論瞭正閤列的性質，尤其是短正閤序列（Short Exact Sequence）及其在同調理論中的應用，例如如何通過邁耶-維托裏斯序列（Mayer-Vietoris Sequence）來計算復雜空間的同調群。 --- 第三部分：特定幾何構造與高級工具 在掌握瞭基礎理論後，本書轉嚮瞭同調論在特定幾何情境下的應用，並引入瞭更強大的計算工具。 1. 胞腔同調與流形的聯係： 對於具有良好結構的拓撲空間，如CW復形（Cell Complexes），引入瞭胞腔同調（Cellular Homology）。本書證明瞭奇異同調與胞腔同調之間的同構關係，展示瞭在特定情況下，計算的簡化性。隨後，詳細討論瞭流形（Manifolds）的同調性質，特彆是利用邊界算子的零點來定義流形的邊界。 2. 積與庫涅特積（Künneth Formula）： 分析兩個拓撲空間乘積空間的同調。本書詳細推導瞭庫涅特公式，該公式基於張量積和Tor函子，描述瞭 $H_(X imes Y)$ 如何由 $H_(X)$ 和 $H_(Y)$ 導齣。理解此公式需要深入理解範疇論中的張量積的性質。 3. 縴維叢與上同調（Serre Spectral Sequence）： 本書將代數工具推嚮一個高潮：譜序列。對於一個縴維叢 $F o E o B$，經典的同調方法難以直接計算 $H_(E)$。本書詳細介紹瞭塞雷譜序列（Serre Spectral Sequence），它提供瞭一個強大的迭代計算框架，將 $H_(E)$ 的計算歸結為對基空間 $H_(B)$ 和縴維 $H_(F)$ 的同調群的分析，並在同調論中起到瞭舉足輕重的作用。 4. 歐拉示性數（Euler Characteristic）的同調錶達： 最後，本書將前麵建立的代數結構與拓撲空間的一個重要不變量——歐拉示性數聯係起來。通過鏈復形的歐拉示性數的定義，證明瞭其與同調群的交替和的關係： $chi(X) = sum_{i} (-1)^i cdot ext{rank}(H_i(X))$。這一結果是代數拓撲理論的裏程碑式成就之一。 --- 總結： 本書內容嚴謹、邏輯清晰，不僅為讀者奠定瞭堅實的同調論基礎，更展示瞭代數方法在解決深刻幾何問題時的威力。它不僅是學習代數拓撲的必備參考書，也是理解現代數學中範疇論、微分幾何以及代數幾何等領域交叉點的關鍵鑰匙。