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內容簡介

　　 變分學是數學分析的一個重要組成部分，是一門與其他數學分支密切聯係、並有廣泛應用的數學學科。近幾十年來，變分學不論是在理論上還是在應用中都有瞭很大發展，與數學其他分支的聯係也更加緊密，已經成為大學數學教育不可缺少的部分。
　　 《變分學講義》是作者在北京大學為高年級本科生和低年級研究生開設“變分學”課程所用的講義。全書共二十講，分為三大部分：第一部分（一到八講）是經典變分學的基本內容，第二部分（九到十四講）重點介紹直接方法及其理論基礎，第三部分（十五到二十講）是專題選講。其材料的選取，內容的編排，問題與概念的錶述，以及證明的分析與講解均極具特色。
　　 《變分學講義》適用於數學及相關專業的本科生、研究生、教師以及研究人員，也可供工科、經濟學、管理學等專業的教師和學生使用參考。

內頁插圖

目錄

前言
第一講 變分學與變分問題
§1.1 前言
§1.2 泛函
§1.3 典型例子
§1.4 進一步的例子

第二講 euler-lagrange方程
§2.1 函數極值必要條件之迴顧
§2.2 euler-lagrange方程的推導
§2.3 邊值條件
§2.4 求解euler-lagrange方程的例子

第三講 泛函極值的必要條件與充分條件
§3.1 函數極值的再迴顧
§3.2 二階變分
§3.3 legendre-hadamard條件
§3.4 jacobi場
§3.5 共軛點

第四講 強極小與極值場
§4.1 強極小與弱極小
§4.2 強極小值的必要條件與weierstrass過度函數
§4.3 極值場與強極小值
§4.4 mayer場，hilbert不變積分
§4.5 強極小值的充分條件
§4.6 定理4.4 的證明（n]1的情形）

第五講 hamilton-jacobi理論
§5.1 程函與carath eodory方程組
§5.2 legendre變換
§5.3 hamilton方程組
§5.4 hamilton-jacobi方程
§5.5 jacobi定理

第六講 含多重積分的變分問題
§6.1 euler-lagrange方程的推導
§6.2 邊值條件
§6.3 二階變分
§6.4 jacobi場

第七講 約束極值問題
§7.1 等周問題
§7.2 逐點約束
§7.3 變分不等式

第八講 守恒律與noether定理
§8.1 單參數微分同胚與noether定理
§8.2 能動張量與noether定理
§8.3 內極小
§8.4 應用

第九講 直接方法
§9.1 dirichlet原理與極小化方法
§9.2 弱收斂與弱收斂
§9.3 弱列緊性
§9.4 自反空間與eberlein-schmulyan定理

第十講 sobolev空間
§10.1 廣義導數
§10.2 空間wm，p（ω）
§10.3 泛函錶示
§10.4 光滑化算子
§10.5 sobolev空間的重要性質與嵌入定理
§10.6 euler-lagrange方程

第十一講 弱下半連續性
§11.1 凸集與凸函數
§11.2 凸性與弱下半連續性
§11.3 一個存在性定理
§11.4 擬凸性

第十二講 綫性微分方程的邊值問題與特徵值問題
§12.1 綫性邊值問題與正交投影
§12.2 特徵值問題
§12.3 特徵展開
§12.4 特徵值的極小極大刻畫

第十三講 存在性與正則性
§13.1 正則性（n=1）
§13.2 正則性續（n]1）
§13.3 幾個變分問題的求解
§13.4 變分學的局限

第十四講 對偶作用原理與ekeland變分原理
§14.1 凸函數的共軛函數
§14.2 對偶作用原理
§14.3 ekeland變分原理
§14.4 fr'echet導數與palais-smale條件
§14.5 nehari技巧
第十五講 山路定理及其推廣與應用
§15.1 山路（mountainpass）定理
§15.2 應用

第十六講 周期解、異宿軌與同宿軌
§16.1 問題
§16.2 周期解
§16.3 異宿軌
§16.4 同宿軌

第十七講 測地綫與極小麯麵
§17.1 測地綫
§17.2 極小麯麵

第十八講 變分問題的數值方法
§18.1 ritz方法
§18.2 有限元
§18.3 cea定理
§18.4 最優化方法——共軛梯度法

第十九講 最優控製問題
§19.1 問題的提法
§19.2 pontryagin極大值原理
§19.3 bang-bang原理

第二十講 有界變差函數與圖像恢復
§20.1 一元有界變差函數的迴顧
§20.2 多元有界變差函數
§20.3 鬆弛函數
§20.4 圖像恢復與rudin-osher-fatemi模型
參考文獻
索引

好的，這是一份關於一本名為《圖論與網絡分析基礎》的圖書的詳細簡介，該書內容與《變分學講義》無關： --- 圖論與網絡分析基礎 作者： [此處留空，可自行填寫] 齣版社： [此處留空，可自行填寫] 頁數： 約 650 頁 裝幀： 精裝/平裝（根據實際情況選擇） 定價： [此處留空，可自行填寫] 內容簡介 《圖論與網絡分析基礎》是一部全麵、深入且兼具理論深度與實踐應用價值的著作，旨在為讀者構建一個堅實的圖論基礎，並引導他們掌握現代網絡科學的核心分析工具。本書的編寫立足於當代信息科學、復雜係統、運籌學及數據科學對網絡結構建模的迫切需求，內容組織遵循從基礎概念到高級模型，再到實際案例分析的邏輯遞進路綫。全書不僅是對經典圖論體係的梳理與重構，更是對如何利用數學工具理解現實世界復雜連接現象的係統性指導。 第一部分：圖論的數學基礎與形式化描述 本書開篇即緻力於奠定紮實的數學基礎。詳細闡述瞭圖（Graph）的嚴格定義，包括有嚮圖、無嚮圖、加權圖以及多重圖的數學錶達。重點講解瞭鄰接矩陣、關聯矩陣等不同錶示方式的優劣及其在計算中的應用。 在基礎結構方麵，本書深入探討瞭圖的子結構，如路徑、圈、割集、連通分量等。特彆闢齣一章專門討論樹（Tree）的特性，包括生成樹、最小生成樹（MST）的經典算法——普裏姆算法（Prim's Algorithm）和剋魯斯卡爾算法（Kruskal's Algorithm）的詳細步驟、復雜度分析及其在網絡設計中的應用。 第二部分：經典路徑與流問題求解 本部分聚焦於圖論中最核心的應用領域之一：尋路與資源分配問題。 最短路徑算法： 迪傑斯特拉算法（Dijkstra's Algorithm）被詳細剖析，並延伸至處理負權邊的貝爾曼-福特算法（Bellman-Ford Algorithm）以及適用於所有節點對的最短路徑的弗洛伊德-沃夏爾算法（Floyd-Warshall Algorithm）。算法的正確性證明和時間復雜度分析貫穿始終。 網絡流理論： 引入瞭最大流-最小割定理這一網絡分析的基石。本書係統講解瞭福特-富爾剋森方法（Ford-Fulkerson Method）的原理，以及更高效的 Edmonds-Karp 算法和 Dinic 算法。此外，最小費用最大流問題作為優化決策的代錶，也得到瞭充分的討論。 第三部分：圖的結構特性與連通性分析 本部分深入探討瞭圖的內在結構屬性，這些屬性是衡量網絡穩定性和效率的關鍵指標。 連通性與魯棒性： 詳述瞭 $k$ 連通性、邊連通度與點連通度的概念，並介紹瞭 Menger 定理如何將這些拓撲概念與路徑數量聯係起來。同時，對網絡的魯棒性指標，如故障恢復能力和關鍵節點的識彆（割點與橋），進行瞭量化分析。 圖的匹配理論： 重點講解瞭二分圖中的完美匹配、最大匹配問題。艾倫茲定理（Hall's Marriage Theorem）的證明及其在調度、分配問題中的實際應用是本節的亮點。對於一般圖的匹配問題，則介紹奇跡算法（Tutte's Theorem）的思路。 第四部分：復雜網絡科學導論 麵對現實世界中規模龐大、結構非歐幾裏得的復雜網絡（如互聯網、社交網絡、生物調控網絡），本書引入瞭網絡科學的視角。 經典復雜網絡模型： 詳細介紹瞭隨機圖模型（Erdős–Rényi 模型）的特性，並著重分析瞭現實網絡中更常見的無標度（Scale-Free）特性。BA（Barabási-Albert）模型作為生成無標度網絡的裏程碑模型，其“優先連接”機製被深入剖析。此外，小世界網絡（Small-World Network）的概念及其特徵（高聚類係數與短平均路徑長度）也被作為重要內容介紹。 重要中心性度量： 區彆並詳細闡述瞭多種衡量節點重要性的指標：度中心性（Degree Centrality）、介數中心性（Betweenness Centrality）、接近中心性（Closeness Centrality）和特徵嚮量中心性（Eigenvector Centrality）。這些指標在信息傳播、影響力評估中的應用被豐富的案例所支撐。 網絡演化與動態： 討論瞭網絡隨時間變化的模式，包括鏈接預測的基本方法（如 Jaccard 係數、資源分配模型）和社區結構發現（Community Detection）的基本思想，如模塊度（Modularity）的定義與優化。 第五部分：高級主題與前沿探索 最後一部分將讀者的視野拓寬至圖論和網絡分析的前沿研究領域。 平麵圖與嵌入： 對平麵圖的定義、歐拉公式及其在地理信息係統中的應用進行瞭介紹。討論瞭圖的著色問題（Graph Coloring），特彆是四色定理的背景與意義。 圖上的優化與啓發式算法： 針對 NP 難問題，如旅行商問題（TSP），除瞭迴顧精確算法外，還引入瞭近似算法和啓發式方法，例如遺傳算法和模擬退火在圖結構優化問題中的應用框架。 譜圖理論簡介： 引入瞭拉普拉斯矩陣（Laplacian Matrix）及其特徵值的概念，闡述瞭譜聚類（Spectral Clustering）的基本原理，揭示瞭矩陣代數在揭示網絡全局結構方麵的強大能力。 本書特色 1. 理論與實踐的緊密結閤： 每章均配有豐富的、源自真實世界場景的案例研究，幫助讀者理解抽象概念的實際意義。 2. 算法的精確描述： 所有核心算法均提供清晰的僞代碼或步驟分解，並附有嚴格的復雜度分析，便於讀者自行編程實現。 3. 麵嚮廣泛讀者群： 盡管內容深入，但本書假設讀者具備一定的綫性代數和微積分基礎，並能熟練運用離散數學的基本工具，是研究生、高年級本科生、研究人員及工程師的理想參考書。 4. 習題與延伸思考： 書末包含大量難度分級的練習題，鼓勵讀者鞏固知識並進行獨立探索。 《圖論與網絡分析基礎》不僅是一本教材，更是一本深入探索連接世界本質的工具書，它將為所有緻力於理解和設計復雜係統的讀者提供無可替代的理論武裝和方法論指導。