數學寫真集（第2季）：無需語言的證明 下載 mobi epub pdf 電子書 在線閱讀 2026

內容簡介

　　

《數學寫真集（第2季）：無需語言的證明》由131個“無需語言的證明”的圖片組成，每個圖片的下麵列齣瞭該圖片要“證明”的數學結論。當從一個圖片中悟齣為何該圖片證明瞭相應的數學結論時，讀者便能夠體會到數學絕妙的美，所以這本書叫做數學寫真集。書中的素材選取自國際知名數學雜誌。　　《數學寫真集（第2季）：無需語言的證明》可以作為數學愛好者的休閑讀物，也可作為學生的課外參考書，還可以作為中學和大學數學教師的教學素材。

內頁插圖

目錄

前言

幾何與代數

三角，微積分與解析幾何

不等式

整數求和

無窮級數，綫性代數及其他議題

文獻索引

英文人名索引

中文人名索引

前言/序言

　　證明不是為瞭讓你相信某些事物是正確的，而是嚮你展示它為什麼是正確的。　　—— Andrew Gleason　　一個好的證明可以使我們更聰明。　　——Yu．I．Manin　　許多工作都是在為那些已經有瞭證明方法的定理尋找新的證明方法，而這僅僅是因為現存的方法不夠美觀。許多數學的證明方法僅是讓人信服，藉用著名的數學物理學傢Lord Rayleigh的名言，“他們迫使大傢同意這些證明方法”。但其實還有許多其他優美和充滿智慧的證明方法。“它們讓人們欣喜並情不自禁構就蘊含在這首詩裏麵。　　——Morris Kline　　什麼是“無需語言的證明呢？”正如你將要從這套叢書的第2季上看到的，這個問題並沒有一個簡單明瞭的答案（叢書的第1季，Proofswithout words：Exercises in Visual Thinking，已經在1993由美國數學協會齣版，中文版《數學寫真集（第1季）——無需語言的證明》由機械工業齣版社齣版）。一般地，無需語言的證明（PWWs）就是用一些圖和圖錶來幫助讀者瞭解為什麼一個具體的數學命題是正確的，同時也讓讀者瞭解怎樣去證明它是正確的。有些時候在整個證明過程中會配有一兩個等式來引導讀者。然而，關鍵之處是所提供的可視化思維能夠激發讀者的數學思想。　　在由美國數學協會齣版的期刊中Pwws是王牌欄目。Pwws首先是齣現在約1975年的《數學雜誌》上，十年後又齣現在《數學校刊》上。 但無需語言的證明並不是最近的創新，它們已經有很長一段曆史瞭。在本書中你會發現PWWs的許多現代思想來自於古代中國、10世紀的阿拉伯和文藝復興時期的意大利。PWWs現在也會齣現在其他的雜誌和期刊裏，包括美國以及海外齣版的雜誌，甚至還會齣現在互聯網上。　　當然，有些人就認為PWWs並不是真正的“證明” （其實它們並不是“無需語言的，”因為等式都會配有一個PWW）。在James Rober Brown最近的《數學哲學：有關證明與圖形世界的介紹》（1999年倫敦勞特利奇齣版社）一書中有記載：　　“數學傢，就像我們中的一些人，會珍惜聰明的想法；特彆地，他們會因為一個巧妙的圖形而高興。但這種欣賞並不會淹沒一個普遍的懷疑。畢竟，一個圖錶（當然是最好的情況下）僅僅隻是一種特殊情況，所以並不能建立一個一般的定理。更糟糕的是，它也許會成為一個徹底的誤導。即使不是很普遍，但一般的觀點就是圖畫確實沒有啓發式教育的受益多；它們在心理暗示方麵和在教學方法上是很重要的，但是卻沒有證齣任何結論。我要反對這種觀點並且要說明圖畫在證明過程中真的有起到一個有效的作用——是一個比啓發式教育還要好很多的角色。簡而言之，圖形能夠證明定理。”　　在PWWs的第1季的前言中，我建議老師能將PWWs介紹給學生們。第1季書的一些讀者嚮我谘詢，PWWs在課堂上以何種方式使用。來自各個學習水平的師生對於使用PWWs均有迴復，包括在高中學習微積分的必修課程，大學教育的微積分學、數論、組閤數學，以及教師的課前預習和授課中都有。PWWs經常用於補充或甚至用來代替教科書上的證明，例如：勾股定理、整數求和的公式、關於正方形以及立方體方麵的問題。其他的就廣泛地使用在常規作業中、額外加分的問題中、學生在課堂的自由發言當中、甚至是在單元考捲和課堂項目中。　　需要指齣的是，該書如第1季一樣總有不完備的地方。它沒有包含所有的PWWs，它既沒有全部包含自1993年第1季齣版後齣現在各類齣版物上的PWWs也沒有包含我編輯第1季書時搜集的所有PWWs。數學協會期刊的讀者們肯定已經發現，齣現在齣版物中新的PWWs更加頻繁瞭，並且它們現在也會齣現在互聯網上並以優越的形式展示齣來。　　……

好的，這裏有一份不包含《數學寫真集（第2季）：無需語言的證明》內容的圖書簡介，旨在詳細介紹一本不同主題的數學書籍，約1500字。 --- 書名：《幾何的詩篇：歐幾裏得空間之外的形態探索》 作者：[此處填寫作者名稱] 齣版社：[此處填寫齣版社名稱] 齣版日期：[此處填寫齣版日期] 簡介： 在數學的廣袤宇宙中，幾何學始終占據著迷人而核心的地位。它不僅是描述我們所處空間的基本框架，更是美學、物理學乃至藝術的基石。《幾何的詩篇：歐幾裏得空間之外的形態探索》並非一本傳統的教科書，而是一場深入淺齣、引人入勝的思維旅行，帶領讀者超越日常認知中的平麵與立體，進入一個充滿非凡結構與奇妙關係的幾何新世界。 本書的起點，是對經典歐幾裏得幾何的深情迴顧，但很快，我們將視野投嚮更廣闊的疆域。作者以其深厚的數學功底和卓越的敘事能力，將復雜的概念轉化為可感知的圖像和直觀的邏輯，使即便是初次接觸這些前沿領域的讀者也能輕鬆跟進。我們聚焦於那些挑戰直覺、卻又在現代科學中扮演關鍵角色的幾何分支。 第一部分：非歐幾何的革命 我們從對人類思維束縛最深的觀念之一——歐幾裏得第五公設的質疑開始。本書詳盡闡釋瞭羅巴切夫斯基和黎曼如何通過對“平行綫”概念的重新定義，構建起一個與我們日常經驗截然不同的幾何世界。 在雙麯幾何（Lobachevskian Geometry）的章節中，讀者將探索“負麯率”的奧秘。我們將看到，在一個麯率恒為負的空間中，三角形內角和恒小於180度，並且通過任意一點有無數條平行綫。為瞭更形象地理解這些結構，本書引入瞭龐加萊圓盤模型和剋萊因模型，通過嚴謹的拓撲映射，將無限復雜的雙麯空間“摺疊”到有限的平麵上。這些模型的幾何性質、測地綫（最短路徑）的特性，以及它們在分形幾何和復雜網絡理論中的應用，將被一一剖析。 隨後，轉嚮橢圓幾何（Elliptic Geometry），即球麵幾何的推廣。在這裏，麯率恒為正，任意兩條“直綫”（大圓）必然相交。我們討論瞭最短路徑的性質，例如為什麼從北極點齣發沿經綫嚮南走，再沿另一條經綫返迴，最終形成的“三角形”內角和會大於180度。這些看似抽象的幾何概念，實則構成瞭導航學、天文學乃至廣義相對論的數學基礎。我們不僅僅是描述這些幾何，更深入探討瞭它們各自的代數結構，展示瞭非歐幾何如何從根本上動搖瞭自古希臘以來對空間認知的根基。 第二部分：拓撲學的柔軟魅力 幾何學通常關注距離、角度和精確測量，而拓撲學（Topology）則以一種更“柔軟”的視角審視空間——它研究的是在連續變形（拉伸、扭麯、彎麯，但不允許撕裂或粘閤）下保持不變的性質。 本書的拓撲部分將讀者引入到一個充滿奇趣異形的世界。我們將探討“同胚”的概念，並以著名的“甜甜圈與咖啡杯的等價性”作為引子，闡釋拓撲學關注的本質屬性：連通性、孔洞的數量（虧格）。我們將深入研究莫比烏斯帶（Möbius Strip），一個僅有一個麵和一條邊界的奇特麯麵，並展示其在材料科學和信息編碼中的潛在價值。 更進一步，本書將專題討論紐結理論（Knot Theory）。紐結並非簡單的三維空間纏繞，而是拓撲學中的一個重要分支，它將紐結視為可以連續變形的閉閤麯綫。我們將介紹瓊斯多項式等重要的不變量，這些代數工具如何幫助我們區分看似相似卻無法相互轉化的復雜紐結。紐結理論的應用已擴展到DNA拓撲結構分析、蛋白質摺疊研究，甚至量子計算的編碼方麵，揭示瞭其深刻的現實意義。 第三部分：高維空間的視覺化與代數結構 人類的直覺受限於三維空間，但數學的美妙之處在於其可以超越感官的限製。《幾何的詩篇》用清晰的邏輯和精妙的類比，引導讀者探索四維乃至更高維度的幾何結構。 我們將從對正多麵體（柏拉圖立體）的細緻分析入手，逐步過渡到其高維對應物——正多超體（Platonic Solids in higher dimensions）。例如，五胞體（4-simplex）和超立方體（tesseract）。作者將運用截麵法、陰影法以及代數投影技術，幫助讀者“想象”這些高維客體。我們將詳細解析這些多胞體的頂點、棱、麵、胞的數量關係，並通過歐拉示性數在高維空間中的推廣，展示其不變性。 這一部分還將與代數緊密結閤。我們會探討嚮量空間、仿射空間和射影幾何（Projective Geometry）。射影幾何，作為一種研究“透視”不變性的幾何學，其核心在於引入“無窮遠點”的概念，使得平行綫最終在無窮遠處相交。這種統一的視角，不僅在計算機圖形學（如透視投影）中不可或缺，也為理解近代物理中的時空結構提供瞭必要的代數框架。 結語：幾何與現實的交織 《幾何的詩篇：歐幾裏得空間之外的形態探索》是一部關於結構、變化與和諧的頌歌。它證明瞭數學的美並非僅僅存在於數字的排列中，更在於其描繪世界運行方式的深刻洞察力。通過這次對非歐幾何、拓撲學和高維空間的探險，讀者將獲得一種全新的“幾何眼光”，能夠以更深刻、更富有想象力的方式理解自然界和人造結構中的隱藏秩序。 本書適閤所有對純粹數學美感有追求的愛好者、物理學或工程學背景的學生，以及任何希望拓展思維邊界、探索人類理性所能達到的最精妙疆域的讀者。它不是一套公式的堆砌，而是一次對宇宙形態的詩意解讀。 ---