数学写真集（第2季）：无需语言的证明 pdf epub mobi txt 电子书 下载 在线阅读 2026

内容简介

　　

《数学写真集（第2季）：无需语言的证明》由131个“无需语言的证明”的图片组成，每个图片的下面列出了该图片要“证明”的数学结论。当从一个图片中悟出为何该图片证明了相应的数学结论时，读者便能够体会到数学绝妙的美，所以这本书叫做数学写真集。书中的素材选取自国际知名数学杂志。　　《数学写真集（第2季）：无需语言的证明》可以作为数学爱好者的休闲读物，也可作为学生的课外参考书，还可以作为中学和大学数学教师的教学素材。

内页插图

目录

前言

几何与代数

三角，微积分与解析几何

不等式

整数求和

无穷级数，线性代数及其他议题

文献索引

英文人名索引

中文人名索引

前言/序言

　　证明不是为了让你相信某些事物是正确的，而是向你展示它为什么是正确的。　　—— Andrew Gleason　　一个好的证明可以使我们更聪明。　　——Yu．I．Manin　　许多工作都是在为那些已经有了证明方法的定理寻找新的证明方法，而这仅仅是因为现存的方法不够美观。许多数学的证明方法仅是让人信服，借用著名的数学物理学家Lord Rayleigh的名言，“他们迫使大家同意这些证明方法”。但其实还有许多其他优美和充满智慧的证明方法。“它们让人们欣喜并情不自禁构就蕴含在这首诗里面。　　——Morris Kline　　什么是“无需语言的证明呢？”正如你将要从这套丛书的第2季上看到的，这个问题并没有一个简单明了的答案（丛书的第1季，Proofswithout words：Exercises in Visual Thinking，已经在1993由美国数学协会出版，中文版《数学写真集（第1季）——无需语言的证明》由机械工业出版社出版）。一般地，无需语言的证明（PWWs）就是用一些图和图表来帮助读者了解为什么一个具体的数学命题是正确的，同时也让读者了解怎样去证明它是正确的。有些时候在整个证明过程中会配有一两个等式来引导读者。然而，关键之处是所提供的可视化思维能够激发读者的数学思想。　　在由美国数学协会出版的期刊中Pwws是王牌栏目。Pwws首先是出现在约1975年的《数学杂志》上，十年后又出现在《数学校刊》上。 但无需语言的证明并不是最近的创新，它们已经有很长一段历史了。在本书中你会发现PWWs的许多现代思想来自于古代中国、10世纪的阿拉伯和文艺复兴时期的意大利。PWWs现在也会出现在其他的杂志和期刊里，包括美国以及海外出版的杂志，甚至还会出现在互联网上。　　当然，有些人就认为PWWs并不是真正的“证明” （其实它们并不是“无需语言的，”因为等式都会配有一个PWW）。在James Rober Brown最近的《数学哲学：有关证明与图形世界的介绍》（1999年伦敦劳特利奇出版社）一书中有记载：　　“数学家，就像我们中的一些人，会珍惜聪明的想法；特别地，他们会因为一个巧妙的图形而高兴。但这种欣赏并不会淹没一个普遍的怀疑。毕竟，一个图表（当然是最好的情况下）仅仅只是一种特殊情况，所以并不能建立一个一般的定理。更糟糕的是，它也许会成为一个彻底的误导。即使不是很普遍，但一般的观点就是图画确实没有启发式教育的受益多；它们在心理暗示方面和在教学方法上是很重要的，但是却没有证出任何结论。我要反对这种观点并且要说明图画在证明过程中真的有起到一个有效的作用——是一个比启发式教育还要好很多的角色。简而言之，图形能够证明定理。”　　在PWWs的第1季的前言中，我建议老师能将PWWs介绍给学生们。第1季书的一些读者向我咨询，PWWs在课堂上以何种方式使用。来自各个学习水平的师生对于使用PWWs均有回复，包括在高中学习微积分的必修课程，大学教育的微积分学、数论、组合数学，以及教师的课前预习和授课中都有。PWWs经常用于补充或甚至用来代替教科书上的证明，例如：勾股定理、整数求和的公式、关于正方形以及立方体方面的问题。其他的就广泛地使用在常规作业中、额外加分的问题中、学生在课堂的自由发言当中、甚至是在单元考卷和课堂项目中。　　需要指出的是，该书如第1季一样总有不完备的地方。它没有包含所有的PWWs，它既没有全部包含自1993年第1季出版后出现在各类出版物上的PWWs也没有包含我编辑第1季书时搜集的所有PWWs。数学协会期刊的读者们肯定已经发现，出现在出版物中新的PWWs更加频繁了，并且它们现在也会出现在互联网上并以优越的形式展示出来。　　……

好的，这里有一份不包含《数学写真集（第2季）：无需语言的证明》内容的图书简介，旨在详细介绍一本不同主题的数学书籍，约1500字。 --- 书名：《几何的诗篇：欧几里得空间之外的形态探索》 作者：[此处填写作者名称] 出版社：[此处填写出版社名称] 出版日期：[此处填写出版日期] 简介： 在数学的广袤宇宙中，几何学始终占据着迷人而核心的地位。它不仅是描述我们所处空间的基本框架，更是美学、物理学乃至艺术的基石。《几何的诗篇：欧几里得空间之外的形态探索》并非一本传统的教科书，而是一场深入浅出、引人入胜的思维旅行，带领读者超越日常认知中的平面与立体，进入一个充满非凡结构与奇妙关系的几何新世界。 本书的起点，是对经典欧几里得几何的深情回顾，但很快，我们将视野投向更广阔的疆域。作者以其深厚的数学功底和卓越的叙事能力，将复杂的概念转化为可感知的图像和直观的逻辑，使即便是初次接触这些前沿领域的读者也能轻松跟进。我们聚焦于那些挑战直觉、却又在现代科学中扮演关键角色的几何分支。 第一部分：非欧几何的革命 我们从对人类思维束缚最深的观念之一——欧几里得第五公设的质疑开始。本书详尽阐释了罗巴切夫斯基和黎曼如何通过对“平行线”概念的重新定义，构建起一个与我们日常经验截然不同的几何世界。 在双曲几何（Lobachevskian Geometry）的章节中，读者将探索“负曲率”的奥秘。我们将看到，在一个曲率恒为负的空间中，三角形内角和恒小于180度，并且通过任意一点有无数条平行线。为了更形象地理解这些结构，本书引入了庞加莱圆盘模型和克莱因模型，通过严谨的拓扑映射，将无限复杂的双曲空间“折叠”到有限的平面上。这些模型的几何性质、测地线（最短路径）的特性，以及它们在分形几何和复杂网络理论中的应用，将被一一剖析。 随后，转向椭圆几何（Elliptic Geometry），即球面几何的推广。在这里，曲率恒为正，任意两条“直线”（大圆）必然相交。我们讨论了最短路径的性质，例如为什么从北极点出发沿经线向南走，再沿另一条经线返回，最终形成的“三角形”内角和会大于180度。这些看似抽象的几何概念，实则构成了导航学、天文学乃至广义相对论的数学基础。我们不仅仅是描述这些几何，更深入探讨了它们各自的代数结构，展示了非欧几何如何从根本上动摇了自古希腊以来对空间认知的根基。 第二部分：拓扑学的柔软魅力 几何学通常关注距离、角度和精确测量，而拓扑学（Topology）则以一种更“柔软”的视角审视空间——它研究的是在连续变形（拉伸、扭曲、弯曲，但不允许撕裂或粘合）下保持不变的性质。 本书的拓扑部分将读者引入到一个充满奇趣异形的世界。我们将探讨“同胚”的概念，并以著名的“甜甜圈与咖啡杯的等价性”作为引子，阐释拓扑学关注的本质属性：连通性、孔洞的数量（亏格）。我们将深入研究莫比乌斯带（Möbius Strip），一个仅有一个面和一条边界的奇特曲面，并展示其在材料科学和信息编码中的潜在价值。 更进一步，本书将专题讨论纽结理论（Knot Theory）。纽结并非简单的三维空间缠绕，而是拓扑学中的一个重要分支，它将纽结视为可以连续变形的闭合曲线。我们将介绍琼斯多项式等重要的不变量，这些代数工具如何帮助我们区分看似相似却无法相互转化的复杂纽结。纽结理论的应用已扩展到DNA拓扑结构分析、蛋白质折叠研究，甚至量子计算的编码方面，揭示了其深刻的现实意义。 第三部分：高维空间的视觉化与代数结构 人类的直觉受限于三维空间，但数学的美妙之处在于其可以超越感官的限制。《几何的诗篇》用清晰的逻辑和精妙的类比，引导读者探索四维乃至更高维度的几何结构。 我们将从对正多面体（柏拉图立体）的细致分析入手，逐步过渡到其高维对应物——正多超体（Platonic Solids in higher dimensions）。例如，五胞体（4-simplex）和超立方体（tesseract）。作者将运用截面法、阴影法以及代数投影技术，帮助读者“想象”这些高维客体。我们将详细解析这些多胞体的顶点、棱、面、胞的数量关系，并通过欧拉示性数在高维空间中的推广，展示其不变性。 这一部分还将与代数紧密结合。我们会探讨向量空间、仿射空间和射影几何（Projective Geometry）。射影几何，作为一种研究“透视”不变性的几何学，其核心在于引入“无穷远点”的概念，使得平行线最终在无穷远处相交。这种统一的视角，不仅在计算机图形学（如透视投影）中不可或缺，也为理解近代物理中的时空结构提供了必要的代数框架。 结语：几何与现实的交织 《几何的诗篇：欧几里得空间之外的形态探索》是一部关于结构、变化与和谐的颂歌。它证明了数学的美并非仅仅存在于数字的排列中，更在于其描绘世界运行方式的深刻洞察力。通过这次对非欧几何、拓扑学和高维空间的探险，读者将获得一种全新的“几何眼光”，能够以更深刻、更富有想象力的方式理解自然界和人造结构中的隐藏秩序。 本书适合所有对纯粹数学美感有追求的爱好者、物理学或工程学背景的学生，以及任何希望拓展思维边界、探索人类理性所能达到的最精妙疆域的读者。它不是一套公式的堆砌，而是一次对宇宙形态的诗意解读。 ---