译者序
中文版序
前言
各章关联性流程图
引言1
第1章什么是数论4
第2章勾股数组8
第3章勾股数组与单位圆13
第4章高次幂之和与费马大定理16
第5章整除性与最大公因数19
第6章线性方程与最大公因数24
第7章因数分解与算术基本定理31
第8章同余式37
第9章同余式、幂与费马小定理43
第10章同余式、幂与欧拉公式47
第11章欧拉�己�数与中国剩余定理50
第12章素数55
第13章素数的计数60
第14章梅森素数64
第15章梅森素数与完全数67
第16章幂模m与逐次平方法74
第17章计算模m的k次根78
第18章幂、根与不可破密码81
第19章素性测试与卡米歇尔数85
第20章模p平方剩余93
第21章-1是模p平方剩余吗？2呢 99
第22章二次互反律107
第23章二次互反律的证明116
第24章哪些素数可表成两个平方数之和123
第25章哪些数能表成两个平方数之和132
第26章像1,2,3一样简单136
第27章欧拉�己�数与因数和141
第28章幂模p与原根145
第29章原根与指标154
第30章方程X4+Y4=Z4158
第31章再论三角平方数161
第32章佩尔方程167
第33章丢番图逼近171
第34章丢番图逼近与佩尔方程178
第35章数论与虚数183
第36章高斯整数与唯一因子分解193
第37章无理数与超越数204
第38章二项式系数与帕斯卡三角形216
第39章斐波那契兔子问题与线性递归序列225
第40章O，多美的一个函数236
第41章三次曲线与椭圆曲线246
第42章有少量有理点的椭圆曲线255
第43章椭圆曲线模p上的点259
第44章模p的挠点系与不好的素数267
第45章亏量界与模性模式270
第46章椭圆曲线与费马大定理275
附录A小合数的分解277
附录B6000以下的素数表279
进一步阅读的文献281
索引282

前言/序言

　　20世纪90年代美国数学界掀起了微积分教学改革的浪潮，其目的是教会学生自己思考与解决实质性问题，而不仅仅是背诵公式与进行机械的代数操作．本书有类似的但更大的目标，意在引导你进行数学思考与体验独立知识发现的惊喜．我们选择的话题——数论，尤其适合我们的意图．自然数1，2，3，…具有多种漂亮的模式与关系，其中许多可谓一目了然，但其余的是如此难以捉摸以致人们诧异它们是否被真正引起注意．数学实验仅需要纸与笔，但基于少量例子做出的猜想可能是错误的．一个人最终确信他的数值例子反映了一般真理需要严格的论证．本书将引导你通过潜伏鲜艳数论花朵的丛林，同时鼓励你去调查、分析、猜测与最终证明你自己的美妙数论结果．本书初稿用作布朗大学Jeff Hoffstein教授在20世纪90年代早期建立的课程Math 42的教材．课程Math 42用于吸引那些对标准微积分系列课程兴趣不大的非理科专业学生，同时说服他们去学习一些大学数学�蹦康脑谟诖唇ㄒ桓隼嗨朴凇澳�扎特（Mozart)的音乐”或“伊丽莎白女王时代的戏剧”课程，引导听众通过对某一特殊方面的系统学习而对整体上的主题与方法有所了解．课程Math 42取得了极大的成功，既吸引了它拟定的读者群，也吸引了想听点不同于传统的大讲座或压缩饼干式课程的理科大学生．阅读本书需要的预备知识很少．熟悉高中代数是必要的，而会编写计算机程序的读者将会从产生大量的数据和实现各种算法中获得乐趣，但实际上读者仅需一个简单的计算器．微积分的一些概念有时被提到，但基本上不怎么用它．尽管如此，我们仍要提醒读者，要想真正欣赏数论，必须有渴求知识和探索问题的愿望，不怕做试验，不怕犯错误并从错误中吸取教训，有面对挫折的勇气以及坚持到最后胜利的恒心与毅力．具备这些素质的读者将在学习数论以及享受生活方面获得较大的回报．第1版中致谢我要感谢许多人的帮助，包括在课程Math 42方面有过先驱性工作的Jeff Hoffstein、Karen Bender与Rachel Pries,允许我使用他一些卡通画的Bill Amend，便于进行数论计算的PARI的发明者，对初稿提出许多有益建议的Nick Fiori、Daniel Goldston、Rob Gross、Matt Holford、Alan Landman、Paul Lockhart、Matt Marcy、Patricia Pacelli、Rachel Pries(再次)、Michael Schlessinger、Thomas Shemanske、Jeffrey Stopple、Chris Towse、Roger Ware、Larry Washington、Yangbo Ye、Karl Zimmerman、Michael Artin、Richard Guy、Marc Hindry、Mike Rosen、Karl Rubin、Ed Scheinerman、John Selfridge与Sam Wagstaff，以及在出版过程中给出建议与指导的Prentice Hall出版社的George Lobell与Gale Epps。　　最后也是最重要的，我要感谢我的妻子Susan与孩子们Debby、Daniel和Jonathan在我写作本书时表现出的耐心与理解．第2版中致谢我要感谢那些花费时间向我提出修正或其他建议的人们，这对准备第2版是极有帮助的．他们包括：Arthur Baragar、Aaron Bertram、Nigel Boston、David Boyd、Seth Braver、Michael Catalano Johnson、L.Chang、Robin Chapman、Miguel Cordero、John Cremona、Jim Delany、Lisa Fastenberg、Nicholas Fiori、Fumiyasu Funami、Jim Funderburk、Andrew Granville、Rob Gross、Shamita Dutta Gupta、Tom Hagedorn、Ron Jacobowitz、Jerry S.Kelly、Hershy Kisilevsky、Hendrik Lenstra、Gordon S.Lessells、Ken Levasseur、Stephen Lichtenbaum、Nidia Lopez Jerry Metzger、Jukka Pihko、Carl Pomerance、Rachel Pries、Ken Ribet、John Robeson、David Rohrlich、Daniel Silverman、Alfred Tang与Wenchao Zhou�钡�3版中致谢我要感谢Jiro Suzuki把本书很好地翻译成日文．我也要感谢那些花时间给我提出修改建议的人们，这对准备第3版是极为有益的．他们包括：Bill Adams、Autumn Alden、Robert Altshuler、Avner Ash、Joe Auslander、Dave Benoit、Jürgen Bierbrauer、Andrew Clifford、Keith Conrad、Sarah DeGooyer、Amartya Kumar Dutta、Laurie Fanning、Benji Fisher、Joe Fisher、Jon Graff、Eric Gutman、Edward Hinson、Bruce Hugo、Ole Jensen、Peter Kahn、Avinash Kalra、Jerry Kelly、Yukio Kikuchi、Amartya Kumar、Andrew Lenard、Sufatrio Liu、Troy Madsen、Russ Mann、Gordon Mason、Farley Mawyer、Mike McConnell、Jerry Metzger、Steve Paik、Nicole Perez、Dinakar Ramakrishnan、Cecil Rousseau、Marc Roth、Ehud Schreiber、Tamina Stephenson、Jiro Suzuki、James Tanton、James Tong、Chris Towse、Roger Turton、Fernando Villegas与Chung Yi.第4版中致谢我要感谢下述给我评论与建议或阅读第4版初稿的人们：Joseph Bak、Hossein Behforooz、Henning Broge、Lindsay Childs、Keith Conrad、David Cox、Thomas Cusick、Gove Effinger、Lenny Fukshansky、Darren Glass、Alex Martsinkovsky、Alan Saleski、Yangbo Ye(叶扬波)以及一些匿名的评论者�钡�4版中的变化第4版的主要变化如下：　　新增关于数学归纳法的第26章�堡r关于反证法的一些内容移到第8章．证明d次多项式模p至多有d个根时就要用到反证法，在第21章中推导欧拉二次剩余公式时我们不用原根而改用这个事实．（先前版本中对欧拉二次剩余公式的证明使用了原根．）�r关于原根的第28～29章移到关于二次互反律与平方和的第20～25章之后．做此变化是因为作者发现对学生来说原根定理是本书中最难的内容之一．新的顺序可让教师先教二次互反律，如果愿意的话也可略去所有关于原根的内容．　　第22章现在包含了关于雅可比符号的二次互反律的部分证明，余下的证明留作习题．　　二次互反律现在有完整的证明．涉及-1p与2p的证明仍像以前那样放在第21章，新增的第23章给出了艾森斯坦关于pqqp的证明．第23章比之前的章节困难得多，略去它不影响阅读后面的章节．　　作为原根的应用，我们在第28章中讨论了Gostas阵列的构造．　　斐波那契数列模p的最小正周期在p模5余1或4时整除p-1，第39章中包含了对此的证明．　　新增了许多新的习题．　　数论是个范围广阔又不断成长的学科，数年来本书增添了许多新的章节．为使本版保持合理的厚度，我们在印刷版中略去了第47～50章（第47章“连分数的混乱世界”，第48章“连分数的佩尔方程”，第49章“生成函数”，第50章“幂和”）．
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