椭圆曲线的有理点 [Rational Points on Elliptic Curves] pdf epub mobi txt 电子书下载 2026

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[美] 西尔弗曼（Silverman J.H.）著

图书标签:

椭圆曲线
有理点
数论
代数几何
密码学
丢番图方程
算术几何
椭圆曲线密码
整数论
现代数学

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出版社：世界图书出版公司

ISBN：9787510086328

版次：1

商品编码：11647744

包装：平装

外文名称：Rational Points on Elliptic Curves

开本：24开

出版时间：2015-01-01

用纸：胶版纸

页数：281

正文语种：英文

具体描述

内容简介

　　The theory of elliptic curves involves a blend of algebra，geometry， analysis，and number theory.This book stresses this interplay as it develops the basic theory，providing an opportunity for readers to appreciate the unity of modern mathematics.The book s accessibility，the informal writing style，and a wealth of exercises make it an ideal introduction for those interested in learning about Diophantine equations and arithmetic geometry.

内页插图

Preface
Computer Packages
Acknowledgments
Introduction
CHAPTER 1
Geometry and Arithmetic
1.Rational Points on Conics
2.The Geometry of Cubic Curves
3.Weierstrass Normal Form
4.Explicit Formulas for the Group Law
Exercises

CHAPTER 2
Points of Finite Order
1.Points of Order Two and Three
2.Real and Complex Points on Cubic Curves
3.The Discriminant
4.Points of Finite Order Have Integer Coordinates
5.The Nagell—Lutz Theorem and Further Developments
Exercises

CHAPTER 3
The Group of Rational Points
1.Heights and Descent
2.The Height of P + P0
3.The Height of 2P
4.A Useful Homomorphism
5.Mordell's Tneorem
6.Examples and Further Developments
7.Singular Cubic Curves
Exercises

CHAPTER 4
Cubic Curves over Finite Fields
1.Rational Points over Finite Fields
2.A Theorem of Gauss
3.Points of Finite Order Revisited
4.A Factorization Algorithm Using Elliptic Curves
Exercises

CHAPTER 5
Integer Points on Cubic Curves
1.How Many Integer Points？
2.Taxicabs and Sums of Two Cubes
3.Thue's Theorem and Diophantine Approximation
4.Construction of an Auxiliary Polynomial
5.The Auxiliary Polynomialls Small
6.The Auxiliary Polynomial Does Not Vanish
7.Proof of the Diophantine Approximation Theorem
8.Further Developments
Exercises

CHAPTER 6
Complex Multiplication
1.Abelian Extensions of Q
2.Algebraic Points on Cubic Curves
3.A Galois Representation
4.Complex Multiplication
5.Abelian Extensions of Q（i）
Exercises

APPENDIX A
Projective Geometry
1.Homogeneous Coordinates and the Projective Plane
2.Curves in the Projective Plane
3.Intersections of Projective Curves
4.Intersection Multiplicities and a Proof of Bezout's Theorem
5.Reduction Modulo p
Exercises
Bibliography
List of Notation
Index

前言/序言

现代数论与代数几何的交汇：解析数论中的整数与有理数问题引言本书旨在深入探讨现代解析数论在处理整数与有理数领域中核心问题上的最新进展与经典方法。我们关注的焦点在于如何利用分析工具（如傅里叶分析、自守形式、L-函数）来构建关于丢番图方程解的有效估计和精确计数，从而揭示这些离散结构背后的连续性与周期性规律。本书面向对解析数论、代数几何有一定基础的读者，力求在严谨的数学推导中展现该领域迷人的深度与广阔的应用前景。第一部分：基础工具与调和分析本书的开篇将回顾解析数论的基石——调和分析及其在数论中的应用。我们将从经典的狄利克雷特征函数和黎曼 $zeta$ 函数的性质出发，引出更现代化的傅里叶变换技术在处理加性问题中的作用。第一章：模函数与自守形式的初步本章着重于介绍模形式的定义、模群 $ ext{SL}_2(mathbb{Z})$ 的作用以及由它们诱导出的自守形式的结构。我们将详细阐述 Hecke 行列式如何作用于这些函数，并探讨与 $L$-函数之间的深层联系，特别是它们在解析延拓和函数方程中的角色。重点讨论模形式在计数二次型或特定代数结构解时的应用，尽管本书不直接讨论椭圆曲线，但模形式作为连接代数几何与分析的桥梁，其基础理解至关重要。第二章：均值估计与指数和估计解析数论的核心挑战之一是如何精确估计三角和与指数和。本章将系统地介绍韦依上界（Weil Bound）的思路及其在有限域上的推广，虽然我们的主要关注点是有理数域 $mathbb{Q}$ 上的问题，但这些代数几何的工具为理解 $mathbb{Q}$ 上的近似提供了必要的背景。我们将详细分析 Vinogradov 均值方法的演变，特别关注如何利用循环平均法来处理涉及素数和多项式的指数和，以及这些估计如何转化为对特定丢番图方程解的计数界限。第二部分：经典丢番图方程的解析方法在这一部分，我们将把分析工具应用于解决一系列著名的、涉及整数和有理数解的方程。这些方法强有力地揭示了即使是最简单的多项式方程也蕴含着深刻的数论结构。第三章：加性问题的解析处理本章聚焦于哥德巴赫猜想及其变体的解析论证。我们将详细阐述圆法（Hardy-Littlewood Circle Method）的结构，从构造积分核到分解积分路径为“主要弧”和“次要弧”。重点在于如何通过精确估计次要弧上的积分来控制误差项，特别是当方程涉及更高次幂时，如 Waring 问题（Warring's Problem）的现代处理，其中涉及对 $zeta$ 函数零点密度的假设或证明。第四章：筛法与素数分布筛法是解析数论中处理“至多”或“至少”类型问题的有力武器。本章将介绍梅尔特（Mertens）公式、布朗筛法（Brun's Sieve）以及更精细的组合筛法。我们特别关注筛法如何用于估计具有特定形式素数（例如，形如 $x^2+y^2+1$ 的素数）的密度，以及如何利用筛法来处理涉及多个变量的多项式方程中解的结构，例如 $x^3+y^3+z^3=n$ 的解的稀疏性分析。第三部分：高维空间的代数数论与几何本部分将视角从一维的整数扩展到更高维度的代数结构，关注数域和代数簇上的有理点分布问题，采用几何化的分析手段。第五章：代数数域中的分析工具本章介绍如何将解析技术扩展到一般的代数数域 $mathbb{K}$ 上。我们将探讨理想类群、单位群的结构，以及赫尔格尔茨-范德堡定理（Heegner-Stark-Baker Theorem）的分析基础——特别是关于实二次域中类数的估计。重点将放在狄利克雷 $L$-函数的推广及其在数域中的解析性质，例如解析秩的计算。第六章：闵可夫斯基几何与丢番图逼近本章将代数工具与几何直观相结合。我们深入研究闵可夫斯基定理，并将其应用于有理数的线性形式的逼近问题。重点讨论 Liouville 不等式的推广，即关于代数数可以通过有理数如何“好地”逼近的精确量化。这部分内容为理解任何代数簇上的有理点分布提供了几何约束的框架，特别是当我们需要证明在特定区域内解的稀疏性或存在性时。第七章：代数簇上的密度定理最后，本章将讨论如何利用自守形式理论和 $L$-函数的性质来研究代数簇上解的渐近密度。我们将探讨关于黎曼假设的变体在更一般的代数簇上的作用，例如，如何利用算术的几何化视角来分析特定代数流形上的有理点如何分布在整体空间中。讨论的重点将放在如何通过分析 $L$-函数的零点分布来推导出解的计数函数（Counting Function）的精确渐近公式，这与研究黎曼曲面上点的分布有着深刻的对应关系。总结本书旨在为读者提供一个全面且深入的分析数论视角，用以解决涉及整数和有理数的复杂代数问题。我们通过精妙的调和分析、严谨的筛法和现代的自守形式理论，展示了分析方法在揭示离散数学结构中的强大威力。对椭圆曲线这一特定对象的讨论被有意识地排除，以聚焦于更广泛的、基于分析工具的整数与有理数问题的通用处理技术。

用户评价

评分 ☆☆☆☆☆

坦白说，拿到《椭圆曲线的有理点》这本书时，我心中是既兴奋又有些许忐忑的。我一直对那些听起来“高深莫测”的数学领域充满好奇，而“椭圆曲线”和“有理点”这两个词组合在一起，简直是数学魅力的集大成者。我期待这本书能够以一种相对“友好”的方式，带领我这个非专业读者，或者至少是初学者，一点点地走进这个奇妙的数学世界。我设想它不会一开始就抛出大量的抽象定义和复杂的定理，而是会从一些直观的例子入手，比如一些简单的三次方程，然后引导我理解为什么我们要研究它们的“有理点”，以及这些点的几何意义是什么。我希望作者能够用生动形象的比喻来解释那些抽象的概念，让我能够“看见”椭圆曲线，并“触摸”到那些有理点。如果书中能够穿插一些历史的典故，讲述一些伟大的数学家是如何一步步揭示椭圆曲线的奥秘，那就更完美了。我期待这本书能够点燃我对数学的热情，让我觉得学习这些知识是一件有趣且富有成就感的事情，而不是一场枯燥的记忆和推演。

评分 ☆☆☆☆☆

作为一名对数学史和数学思想演变感兴趣的读者，我拿到《椭圆曲线的有理点》这本书，首先想到的是它背后所承载的深厚数学积淀。我脑海中勾勒出的画面是，书中会以一种“溯源”的方式，带领读者追溯椭圆曲线研究的历史脉络。从古代对丢番图方程的探索，到十八、十九世纪数学家们对积分和超越函数的深入研究，再到二十世纪代数几何的兴起，这些过程必然与椭圆曲线及其有理点的研究紧密相连。我期待书中能够提及那些在这一领域做出开创性贡献的数学巨匠，比如欧拉、高斯、韦尔斯特拉斯，以及最重要的摩尔德尔和韦伊。我希望书中不仅会展示那些冰冷的公式和定理，更会讲述发现这些定理的“故事”，以及数学家们是如何在不同的历史时期，面对不同的数学难题，最终一步步构建起椭圆曲线理论的宏伟大厦。这本书对我而言，不仅仅是一本关于数学方法的教材，更是一扇了解数学思想如何发展、人类智力如何不断突破边界的窗口，让我能感受到数学的生命力和其蕴含的哲学思考。

评分 ☆☆☆☆☆

这本书的书名《椭圆曲线的有理点》就足够吸引人，光是这个名字就勾勒出了一个充满数学魅力的世界。作为一名对纯数学，尤其是数论和代数几何领域抱有濃厚兴趣的读者，我对于能够深入探讨这个特定主题的著作一直充满期待。我设想这本书会以严谨的数学语言，层层递进地展开关于椭圆曲线在有理数域上的行为的研究。从最基础的椭圆曲线的定义和方程入手，应该会逐步引导读者理解有理点的概念，并进一步探讨这些点所形成的群结构。我非常期待书中能够清晰地解释诸如“摩尔德尔定理”（Mordell's Theorem）这样的核心结果，以及它是如何为理解椭圆曲线上的有理点提供一个坚实基础的。我也好奇书中是否会涉及一些更高级的工具和概念，例如函数域上的类域论，或者与代数几何中的一些深刻理论的联系。即使只是从书名推测，我也能感受到这本书所蕴含的数学深度和其在现代数论研究中的重要地位，它很可能是一部能够拓宽我数学视野的经典之作，让我更深刻地理解这个优美而复杂的数学对象。

评分 ☆☆☆☆☆

我的第一印象是，《椭圆曲线的有理点》这本书的书名本身就带着一种古老而又精深的魅力。它暗示着一种对数学对象在特定数域（有理数域）上的结构进行深入探索。我设想，这本书的开篇应该会首先清晰地界定什么是“椭圆曲线”，从其代数方程的特征入手，例如一个特定的三次方程形式，并且可能还会从几何上描述其光滑的、连通的形状。接着，重点将转向“有理点”，即曲线上的那些坐标都是有理数的点的概念。我期待书中会详细阐述这些有理点所构成集合的性质，尤其是其重要的阿贝尔群结构，这无疑是理解椭圆曲线数论性质的核心。书中是否会深入探讨摩尔德尔定理，即证明了在有理数域上，椭圆曲线的有理点构成一个有限生成阿贝尔群，这对我来说会是一个非常吸引人的点。此外，我也好奇书中是否会涉及一些与之相关的更现代的理论，例如代数几何中的抽象概念，或者它与数论中其他分支（如费马大定理）的联系。这本书的阅读过程，我预感将是一场智力上的挑战，但同时也是一次对数学美学的深刻体验。

评分 ☆☆☆☆☆

我之所以会对《椭圆曲线的有理点》这本书产生强烈的兴趣，很大程度上源于它在现代数学，特别是数论和密码学领域所扮演的关键角色。我设想这本书会不仅仅停留在理论层面，而是会适时地展现椭圆曲线及其有理点在实际应用中的价值。比如，我非常期待书中会详细介绍椭圆曲线密码学（ECC）的基本原理，解释为什么椭圆曲线的“离散对数问题”比传统的离散对数问题更难解决，从而能够提供更强大的安全性。我好奇书中是否会涉及椭圆曲线在生成大素数、椭圆曲线上的整数点计算，以及一些与编码理论相关的应用。即使我对这些应用领域的了解不深，但我相信通过这本书的讲解，我能够更清晰地认识到，那些看似纯粹抽象的数学概念，是如何被巧妙地转化为现实世界中解决具体问题的强大工具。这本书的价值，对我来说，不仅仅在于其理论上的深度，更在于它能够展现数学的实用性和它在推动科技进步中所起到的不可替代的作用，这让我对这门学科充满了敬畏和好奇。

评分 ☆☆☆☆☆

好好好好好好好好好好好好

评分 ☆☆☆☆☆

书的内容很好！！！！

评分 ☆☆☆☆☆

看起来还不错，排版一般吧

评分 ☆☆☆☆☆

发货到货快，包装仔细，内容深入浅出，适用于几何学相关方向的学习。

评分 ☆☆☆☆☆

好书好书好书好书好书好书好书好书

评分 ☆☆☆☆☆

课余读物，比较直观，通读有益