信息与计算机专业系列教材：数值计算方法（第2版） pdf epub mobi txt 电子书 下载 在线阅读 2026

内容简介

《信息与计算机专业系列教材：数值计算方法（第2版）》是为高等学校信息与计算科学专业编写的教材。内容包含求解线性方程组的数值方法、求解非线性方程的最小二乘方法、矩阵特征值问题的数值方法、插值、逼近、数值积分、常微分方程的数值解法。作为教材，书中叙述较为详细，便于学生自学复习。其中一部分为可选择的内容，以满足不同学生的需要。
对于数学、应用数学、计算机科学等专业相应的课程，同样可以选择《信息与计算机专业系列教材：数值计算方法（第2版）》部分内容作为教材。

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目录

第一章 基本知识
1.1 数值方法
1.2 误差
1.2.1 误差的来源
1.2.2 绝对误差与相对误差
1.2.3 四舍五入
1.2.4 有效数字
1.3 计算机浮点数及舍入误差
1.3.1 计算机浮点数系统
1.3.2 用计算机浮点数表示实数
1.3.3 浮点数的舍入误差
1.3.4 浮点数算术运算的舍入误差
1.4 向量范数与矩阵范数
1.4.1 向量范数和向量序列极限
1.4.2 矩阵范数和矩阵序列极限
1.4.3 从属向量范数的矩阵范数
1.5 线性方程组的性态，算法的稳定性
1.5.1 线性方程组的性态
1.5.2 算法的稳定性
习题一

第二章 求解线性方程组的数值方法
2.1 直接法
2.1.1 Gauss消去法与选主元Gauss消去法
2.1.2 矩阵三角分解
2.1.3 有关定理
2.1.4 求解正定方程组的Cholesky方法
2.1.5 求解三对角方程组的追赶法
2.2 迭代法
2.2.1 逐次逼近法
2.2.2 Jacobi迭代法
2.2.3 Gauss-Seidel迭代法
2.2.4 有关基本概念
2.2.5 Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的收敛性
2.2.6 超松弛迭代法
2.3 共轭斜量法
2.3.1 共轭斜量法的基本思想
2.3.2 A-共轭向量组和向量组的A共轭化
2.3.3 共轭斜量法
2.3.4 求解非奇异方程组
习题二

第三章 非线性方程（组）的数值解法
3.1 求非线性方程实根的对分法
3.2 单个非线性方程的迭代法
3.2.1 迭代法的一般原理
3.2.2 迭代法的几何意义
3.2.3 收敛性分析
3.3 单个非线性方程的Newton法
3.4 解非线性方程组的数值方法
3.4.1 简单迭代法
3.4.2 Newton法及其变形
习题三

第四章 最小二乘方法
4.1 曲线拟合问题
4.1.1 一个简单的曲线拟合例子
4.1.2 曲线拟合问题
4.2 最小二乘方法
4.2.1 正交性的有关性质
4.2.2 矩阵的QR分解
4.2.3 最小二乘解的存在唯一性
4.2.4 Householder矩阵与矩阵的正交三角化
4.2.5 求最小二乘解的方法
4.3 奇异值分解与广义逆矩阵
4.3.1 奇异值分解
4.3.2 广义逆矩阵
4.3.3 用奇异值分解求最小二乘解
习题四

第五章 矩阵特征值问题的数值方法
5.1 特征值与特征向量
5.2 Hermite矩阵特征值问题
5.2.1 Hermite矩阵的有关性质
5.2.2 极值定理
5.2.3 Hermite矩阵特征值的性态
5.3 矩阵的正交相似约化
5.3.1 平面旋转矩阵与实对称矩阵的相似约化
5.3.2 相似约化为上Hessenberg矩阵
5.4 Jacobi方法
5.4.1 用Jacobi方法计算矩阵特征值
5.4.2 用Jacobi方法计算矩阵特征向量
5.5 QR方法
5.5.1 两个基本定理
5.5.2 QR算法
5.5.3 带原点位移的QR算法
5.6 乘幂法与反幂法
5.6.1 求按模最大特征值和特征向量的乘幂法
5.6.2 求按模最小特征值及相应特征向量的反幂法
5.6.3 求近似特征值的特征向量的反幂法
习题五

第六章 插值法
6.1 插值法和插值多项式的存在唯一性
6.1.1 插值法
6.1.2 插值多项式的存在唯一性
6.2 Lagrange插值
6.3 Newton插值
6.3.1 逐次线性插值
6.3.2 差商与Newton插值公式
6.3.3 差分与等距节点的Newton插值公式
6.4 Hermite插值
6.4.1 Herrnite插值问题解的存在唯一性
6.4.2 Hermite插值的误差估计
6.5 样条函数插值
6.5.1 分段线性插值
6.5.2 样条函数与三次样条插值
6.5.3 k次B一样条
习题六

第七章 函数逼近
7.1 正交多项式及其应用
7.1.1 常用的正交多项式及其性质
7.1.2 Chelayshev多项式及其应用
7.2 C[a，b]空间中的最佳一致逼近
7.2.1 最佳逼近元的存在性
7.2.2 最佳一致逼近元的充要条件
7.2.3 最佳一致逼近元的唯一性
7.2.4 关于最佳一致逼近元的求解
7.3 内积空间中的最佳平方逼近
7.3.1 内积空间
7.3.2 内积空间中的最佳平方逼近
7.3.3 几种情形的最佳平方逼近
7.4 快速Fourier变换（FFT）
7.4.1 周期函数的最佳平方逼近
7.4.2 离散Fourier变换（DFT）
7.4.3 快速Fourier变换（FFT）
习题七

第八章 数值积分
8.1 数值求积公式及其代数精确度
8.2 插值型求积公式
8.2.1 Newton-Cotes求积公式
8.2.2 复化型求积公式
8.2.3 数值求积中的一种误差估计方法
8.3 Romberg积分方法
8.3.1 Richardson外推法
8.3.2 Romberg求积方法
8.4 Gauss型求积公式
8.4.1 Gauss型求积公式
8.4.2 Gauss型求积公式的构造
习题八

第九章 常微分方程的数值方法
9.1 初值问题的数值方法
9.1.1 基本概念
9.1.2 Euler方法和改进的Euler方法
9.1.3 Runge-Kutta方法
9.1.4 线性多步法
9.1.5 收敛性和稳定性
9.1.6 微分方程组和高阶方程
9.1.7 刚性方程组
9.2 边值问题的数值方法
9.2.1 基本概念
9.2.2 打靶法
9.2.3 有限差分法
习题九
参考文献

前言/序言

图书简介：现代离散数学基础与应用 作者： 张伟 教授，李明 副教授 出版社： 科技创新出版社 出版时间： 2023年10月 定价： 98.00 元 ISBN： 978-7-5083-xxxx-x --- 概述与定位 《现代离散数学基础与应用》是一部面向计算机科学、软件工程、数据科学以及相关理工科专业高年级本科生和研究生的权威教材与参考书。本书旨在系统、深入地阐述离散数学的核心理论体系，并着重展示这些理论在现代计算科学中的实际应用，特别是与算法设计、复杂性分析、数据库理论和人工智能基础等前沿领域的结合。 我们深刻认识到，随着计算能力的飞速发展和问题复杂度的日益提升，传统上对连续数学的依赖正在被更具结构性和逻辑性的离散数学体系所补充和超越。离散数学不再仅仅是“预备知识”，而是理解和构建现代信息系统的底层逻辑框架。本书立足于此，力求构建一座连接抽象数学理论与具体工程实践的坚实桥梁。 全书内容组织遵循“理论先行，应用驱动”的原则，确保读者在掌握严格数学证明能力的同时，能够清晰地看到这些工具如何解决现实世界中的计算难题。 核心内容详述 本书共分为七大部分，近二十章，内容覆盖广度与深度兼顾： 第一部分：集合论、逻辑与证明方法（理论基石） 本部分奠定了全书的数学语言基础。 1. 集合论基础与构造性集合论： 细致讲解了集合的运算、序关系、等价关系。特别引入了公理化集合论（如 ZFC 体系的简要介绍）的概念，使读者理解现代数学的严谨性起点。讨论了集合的基数，包括可数集与不可数集的区分，并详细论述了康托尔定理及其意义。 2. 命题与一阶逻辑： 涵盖了命题演算的语法、语义、推理规则（如自然演绎法和序列演算）。重点强化了一阶逻辑（谓词逻辑）的表达能力，包括量词的引入、模型与解释的概念。引入了逻辑编程中对逻辑规则的初步应用视角。 3. 证明的艺术与技巧： 系统梳理了数学证明的各种范式，包括直接证明、反证法、数学归纳法（强/弱）、构造性证明和反证法。特别加入了关于如何构建有效反例的章节，这是批判性思维在数学中的体现。 第二部分：组合数学与计数原理（量化世界） 本部分专注于对离散对象进行精确计数和结构分析。 4. 基础计数技术： 详述了排列、组合、鸽巢原理（包括推广形式）。着重讲解了生成函数（Generating Functions）的理论与应用，包括如何用其求解线性递推关系。 5. 容斥原理与图的计数： 深入探讨了容斥原理（Inclusion-Exclusion Principle）及其在概率和结构计数中的强大威力。引入了指数型生成函数在处理带标签对象的计数问题中的应用。 6. 离散概率基础： 结合计数方法，建立起有限样本空间上的概率模型，计算离散随机变量的期望和方差，为后续的算法平均复杂度分析打下基础。 第三部分：图论及其算法（网络与结构） 图论是信息科学的通用语言，本部分投入了大量篇幅。 7. 图的基础概念与表示： 详细定义了图、有向图、多重图、完全图等基本结构。重点讨论了图的邻接矩阵、邻接表等数据结构表示法及其在内存和时间效率上的权衡。 8. 图的连通性与遍历： 详述了深度优先搜索（DFS）和广度优先搜索（BFS）算法，并分析了它们的计算复杂度。引入了连通分量、桥和割点的判定方法。 9. 最短路径与极值问题： 系统讲解了Dijkstra算法和Bellman-Ford算法，并对比了它们在处理带负权边问题时的适用性。在此基础上，深入分析了最小生成树（MST）的Kruskal和Prim算法。 10. 欧拉图与哈密顿图： 探讨了图的路径性质，包括其存在的充要条件，并简要讨论了旅行商问题（TSP）的NP-完全性背景。 第四部分：代数结构与抽象（计算的抽象层） 本部分将离散数学提升到代数的高度，为密码学和编码理论做铺垫。 11. 群论基础： 重点阐述了群、子群、陪集、拉格朗日定理。引入了循环群、置换群的概念，并讨论了其在密码学（如有限域上的运算）中的初步应用。 12. 环与域的初步探索： 简要介绍环和域的定义，重点关注有限域（Galois Field），这是现代纠错码和公钥密码学（如椭圆曲线密码）的核心数学工具。 第五部分：关系与函数的高级视图 13. 偏序集与格论： 深入分析了偏序关系，特别是Hasse图的绘制与分析。引入格（Lattice）的概念，阐述其在逻辑运算和数据依赖分析中的作用。 14. 关系代数与数据库理论联系： 将关系看作集合论的自然延伸，详细分析了关系的复合、逆关系等操作。探讨了关系数据库中的函数依赖和范式，展示离散结构如何直接服务于数据建模。 第六部分：递归与自动机理论的接口 15. 递归方程的求解： 提供了求解复杂线性递推关系的系统方法，包括特征方程法和利用生成函数的解法。强调理解递归结构是设计高效算法的关键。 16. 有限自动机（FA）与形式语言初步： 简要介绍了有限自动机（DFA/NFA）的概念，它们如何识别正则语言。作为向编译原理和计算理论的过渡，明确了离散结构在定义计算模型中的基础地位。 特色与创新点 1. 应用导向的案例分析： 每一章理论讲解后，均附带详细的“计算科学案例”模块，例如：如何用图论进行网络路由优化、如何用群论理解对称加密的安全性、如何用组合计数分析算法的正确性等。 2. 强调证明的可行性： 不仅要求读者理解证明的结论，更强调“如何构造”一个有效的证明。书中提供了大量结构化的证明模板和常见逻辑陷阱的警示。 3. 与现代计算的紧密结合： 大幅增加了与网络科学、数据挖掘（如聚类分析中的距离关系）、算法复杂度分析相关的离散数学应用实例，确保内容的前沿性。 4. 丰富的练习体系： 配备了分层级的练习题。A类为基础巩固题，B类为计算与应用题，C类为需要深刻理解和证明的挑战题，以适应不同层次的学习需求。 适用对象 本书适合作为高等院校计算机科学与技术、软件工程、信息安全、应用数学、电子信息工程等专业离散数学课程的教材或核心参考书。对于希望巩固或扩展自身计算理论基础的研究生和工程技术人员，本书也是一本极具价值的自学和参考资料。通过本课程的学习，读者将能够以更严谨、更结构化的思维方式，驾驭复杂的信息系统和前沿的计算难题。