高等學校數學教材：模形式導引 下載 mobi epub pdf 電子書 在線閱讀 2026

內容簡介

　　 模形式理論在Fermat大定理的A。Wiles證明中起著十分重要的作用，因而，模形式理論就成為當前數學界和年輕學生關注、想瞭解的數學分支之一。《高等學校數學教材：模形式導引》是綜閤大學數學係高年級大學生和低年級研究（不一定是數論專業）的“模形式”課程的入門教材。全書共分十二章。內容包括橢圓函數，完全模群的Eisenstein級數G2k（T），完全模群，完全模群的同餘子群，模函數的基本知識，同餘子群的模形式，Poincaré級數，完全模群的模形式空間上的Hecke算子，同餘子群的模形式空間上的Hecke算子，模形式與Dirichlet級數，模形式的兩個應用及有關知識的附錄。《高等學校數學教材：模形式導引》第一章及第十二章附錄是全書的基礎知識，它為《高等學校數學教材：模形式導引》各章所講述的內容作瞭鋪墊。《高等學校數學教材：模形式導引》可作為綜閤大學、高等師範院校數學係高年級大學生、研究生的教材，也可供青年教師、數學工作者和數論愛好者閱讀。

目錄

第一章 橢圓函數
1 雙周期函數和格
2 橢圓函數及其基本性質
3 Weierstrass函數和橢圓函數域
3 Theta函數
問題

第二章 完全模群的Eisenstein級數G2k(T)
5 格函數、模函數，Eisenstein級數
6 G2（r）和Dedekind函數
問題

第三章 完全模群
7 完全模群的生成元
8 模變換及其不動點
9 完全模群的基本區域
10 平麵的辛測度
問題

第四章 完全模群的同餘子群
11 同餘子群及其陪集分解
12 模變換群的不動點
13 模變換群的基本區域及生成元
14 幾個例子
問題

第五章 模函數的基本知識
15 模函數的一般概念與基本性質
16 半純模函數的基本性質
17 完全模群的模形式空間
18 極為零的半純模函數及其應用
問題

第六章 同餘子群的模形式
19 同餘子群的模形式空間的維數
20 同餘子群的模形式的例子
21 Petersson內積
問題
第七章 Poincaré級數
第八章 完全模群的模形式空間上的Hecke算子
第九章 同餘子群的模形式空間上的Hecke算子
第十章 模形式與Dirichlet級數
第十一章 兩個應用
第十二章 附錄
名詞索引
符號索引
參考書目

前言/序言

好的，這是一份不包含《高等學校數學教材：模形式導引》內容的圖書簡介，旨在提供一個詳細的數學領域介紹，側重於代數幾何和數論的交叉領域，力求內容充實且自然流暢。 《代數幾何中的橢圓麯綫與模空間導論》 圖書簡介 本書旨在為具備紮實代數、拓撲及基礎抽象代數知識的研究生和高年級本科生，提供一個深入探索代數幾何核心主題——橢圓麯綫與模空間——的全麵指南。本書側重於從幾何直觀齣發，結閤嚴謹的代數工具，構建起一套完整的理論框架。全書內容涵蓋瞭從基礎概念的引入到前沿研究方嚮的初步探討，力求在深度與廣度之間取得平衡。 第一部分：橢圓麯綫的基礎幾何與代數結構 本書的開篇聚焦於橢圓麯綫的定義、結構及其基本性質。我們將從射影空間中光滑的、虧格為一的代數麯綫齣發，引入維爾斯特拉斯方程，並詳細闡述橢圓麯綫作為一維復流形（或更一般地，作為光滑的、連通的、射影的代數簇）的拓撲結構。 1.1 橢圓麯綫的幾何描述： 我們首先考察在復數域 $mathbb{C}$ 上的橢圓麯綫，將其同構於 $mathbb{C}/Lambda$，其中 $Lambda$ 是一個由兩個 $mathbb{R}$-綫性無關的復數構成的格。這使得我們可以利用復分析中的橢圓函數理論，直觀地理解橢圓麯綫上的群律。我們詳述如何通過割綫求和的幾何構造，嚴格證明橢圓麯綫上的有理點構成一個阿貝爾群，並介紹著名的蒲安鬆定理（Poincaré-Lefschetz 定理）在群律證明中的應用。 1.2 局部性質與局部環： 隨後，我們將視綫轉嚮一般代數域 $K$ 上的橢圓麯綫 $E$。通過研究麯綫上的局部環 $ mathcal{O}_{E,P} $，我們闡述光滑性、奇點（盡管橢圓麯綫上不存在奇點，但對比研究非奇異麯綫的局部性質至關重要）的概念。我們深入探討瞭麯綫上的函數域 $K(E)$，並利用黎曼-洛赫定理（初步介紹其在 $g=1$ 時的特例）來刻畫亞純函數和微分形式的空間維度。 1.3 模函數與模空間的前奏： 在本節的收尾，我們引入模函數的概念，將其視為定義在具有某種結構的特定復流形上的全純函數。雖然模函數在後續章節將有更詳盡的討論，但在橢圓麯綫的背景下，我們初步探討其在模函數空間 $mathcal{M}_1$ 上的齣現，特彆是與蘭勃次法（Lutz-Nagell 定理的前身）相關的周期格的結構。 第二部分：模空間理論的建立 本書的核心價值在於係統性地構建模空間理論。模空間 $mathcal{M}$ 是一個“空間的集閤”，其上的點參數化瞭某一特定類彆的幾何對象（如麯綫、嚮量叢等）。在這裏，我們專注於參數化橢圓麯綫的模空間。 2.1 模空間 $mathcal{M}_1$ 的構造： 我們詳細討論如何構造一維虧格麯綫（即橢圓麯綫）的模空間 $mathcal{M}_1$。這需要處理模的等價性問題：在哪些等價關係下，兩個橢圓麯綫被視為“相同”？對於虧格為一的麯綫，這種等價性通常由模函數（此時主要指模不變式 $g_2, g_3$ 或由它們生成的模函數域）來決定。我們引入模空間 $mathcal{M}_1$ 的構型，它是一個具有尖點的黎曼麯麵，並且闡述瞭如何通過引入尖點（cusps）來緊化（compactification）這個空間，從而得到 $overline{mathcal{M}}_1$。 2.2 尖點的結構與局部結構： 尖點的結構是模空間理論中最具挑戰性但也最富饒的部分之一。我們分析瞭 $mathcal{M}_1$ 上的尖點對應於退化（或稱奇異）的橢圓麯綫，即虧格為一的麯綫在代數拓撲意義上的極限情況。這涉及到對 $mathbb{P}^1$ 上的模雙有理幾何（birational geometry of modular curves）的初步接觸。我們使用模函數 $lambda( au)$ 的概念來清晰地描述尖點的局部結構，並介紹如何利用費爾斯特拉特定理（Faltings' theorem for curves of genus 1）的背景來理解這些退化極限。 2.3 模空間上的嚮量叢與上同調： 模空間不僅是一個幾何對象，它還承載著豐富的代數結構。我們引入模譜（modular sheaves）和模空間上的嚮量叢。通過對特定模空間上的規範叢（canonical bundle）的分析，可以計算齣模函數的維度。這部分將運用群作用下的不動點定理，以及與模算術（modular arithmetic）相關的初等算子（如 $Delta$ 函數），為後續更高級的算術幾何研究奠定基礎。 第三部分：橢圓麯綫上的有理點與模形式 本章將聯係橢圓麯綫上的算術性質與模形式的分析特性。 3.1 橢圓麯綫上的Tate-Lichtenbaum 結構： 我們轉嚮有限域 $mathbb{F}_q$ 上的橢圓麯綫，詳細分析Hasse-Weil $L$-函數的定義及其與麯綫的點的數量之間的關係（Hasse 定理）。我們簡要介紹瞭Tate 猜想（現已證明），它將麯綫的 $L$-函數與某些模對象的 $L$-函數聯係起來。 3.2 模形式與模空間的關係： 模空間上的函數（如模函數）本質上是模形式的推廣。本書將介紹模形式的定義，重點放在權為偶數的模形式（特彆是權為 2 和 4 的）在 $mathcal{M}_1$ 上的作用。我們通過模空間上的微分形式（即權為 2 的模形式空間 $S_2(Gamma)$ 的截麵）來重申模空間 $mathcal{M}_1$ 的上同調群結構。 3.3 模空間上的幾何與算術的交匯： 最終，我們探討如何利用模空間理論來研究橢圓麯綫上的有理點問題。我們簡要提及榖山-誌村猜想（現為模定理）的背景，說明橢圓麯綫如何通過模化（parametrization by modular forms）與 $ ext{GL}_2$ 的錶示理論緊密相連。這部分將引導讀者認識到，一個復雜的算術問題（如麯綫上的無窮階點問題）可以通過對一個緊緻黎曼麯麵（模空間）上的幾何結構的分析得到深刻的洞察。 目標讀者與準備知識： 本書對讀者的代數幾何基礎要求較高，需要熟悉經典代數幾何中的射影空間、代數簇、Sheaf 理論的初步概念。同時，對復分析和基礎拓撲（特彆是黎曼麯麵理論）有一定瞭解將極大地幫助理解橢圓麯綫的復結構。本書不涉及復雜的 $L$-函數理論或 $p$-進分析，但為深入研究這些領域提供瞭堅實的幾何基礎。