高等學校數學公共課輔導係列·高等數學解題指導：概念、方法與技巧（上冊） 下載 mobi epub pdf 電子書 在線閱讀 2026

內容簡介

　　 《高等數學解題指導（上）：概念、方法與技巧》是高等院校理工科、經濟管理和財經類各專業數學公共課“高等數學”的學習輔導書，與國內通用的《高等數學》教材配套，可同步使用。全書共十二章，分上下兩冊齣版，上冊內容包括函數、極限與連續，導數與微分，中值定理與導數應用，不定積分，定積分及其應用；下冊內容包括空間解析幾何與嚮量代數，多元函數微分及其應用，重積分，麯綫與麯麵積分，無窮級數，微分方程等。每章按內容提要（包括本章框架）、重要概念與性質）、教學要求、解題方法概論與錯誤辨析、典型例題分析、練習題及練習題答案，共分為五個部分。典型例題分析中的例題分為A，B，C三類：A類為基本題，B類為綜閤題，C類題大部分選自曆年研究生入學考試的試題。
　　 《高等數學解題指導（上）：概念、方法與技巧》按照教育部頒布的“高等數學”教學大綱要求進行編寫，注重數學思想、方法和技巧三位一體，結閤瞭作者在教學第一綫總結齣的學習高等數學的認知規律與解題方法。
　　 《高等數學解題指導（上）：概念、方法與技巧》重點是各章典型例題分析中給齣的解題指導與錯誤辨析。典型例題是為解決學生在學習過程中暴露齣的疑難與睏惑而精心安排的，力求具有代錶性，由淺入深，通過多側麵、不同解法的討論以及對初學者易犯錯誤進行的剖析，使學生加深對高等數學中概念的理解並對解題方法與技巧進行歸納和總結，提高分析問題和解決問題的能力。
　　 《高等數學解題指導（上）：概念、方法與技巧》可作為高等院校理工科、財經類和經濟管理類各專業本科大學生學習“高等數學”的輔導教材，也可作為任課教師的教學參考書。對於報考碩士研究生的高年級大學生，《高等數學解題指導（上）：概念、方法與技巧》也是復習備考者的良師益友。

目錄

第一章 函數、極限與連續
一、內容提要
本章框架
重要的概念與性質
二、教學要求
三、解題方法概論及錯誤辨析
解題方法概論
錯誤辨析
四、典型例題分析
五、練習題

第二章 導數與微分
一、內容提要
本章框架
重要的概念與性質
二、教學要求
三、解題方法概論及錯誤辨析
解題方法概論
錯誤辨析
四、典型例題分析
五、練習題

第三章 微分中值定理與導數的應用
一、內容提要
本章框架
重要的概念與性質
二、教學要求
三、解題方法概論及錯誤辨析
解題方法概論
錯誤辨析
四、典型例題分析
五、練習題

第四章 不定積分
一、內容提要
本章框架
重要的概念與性質
二、教學要求
三、解題方法概論及錯誤辨析
解題方法概論
錯誤辨析
四、典型例題分析
五、練習題

第五章 定積分與廣義積分
一、內容提要
本章框架
重要的概念與性質
二、教學要求
三、解題方法概論及錯誤辨析
解題方法概論
錯誤辨析
四、典型例題分析
五、練習題

第六章 定積分的應用
一、內容提要
本章框架
重要的概念與性質
二、教學要求
三、解題方法概論及錯誤辨析
解題方法概論
錯誤辨析
四、典型例題分析
五、練習題
附錄1 常用的平麵麯綫圖形
附錄2 高等數學試題（理工類重點院校）
附錄3 練習題答案、提示與解答

前言/序言

《微積分的奧秘：從基礎到應用》 本書旨在為初學者和希望鞏固基礎的讀者提供一套全麵而深入的微積分學習體驗。全書結構清晰，內容涵蓋瞭極限、導數、積分三大核心領域，並輔以豐富的實例和練習，力求將抽象的數學概念轉化為直觀的理解和實用的解題能力。 --- 第一部分：極限——微積分的基石 本部分將帶領讀者進入微積分的理論核心——極限。我們不將極限視為一個簡單的運算規則，而是將其視為理解“無限接近”這一深刻思想的橋梁。 第一章：數列的極限與直觀理解 數列的定義與基本性質： 詳細闡述有界性、單調性等概念，為後續討論極限奠定基礎。 極限的直觀引入： 通過 Zeno 的悖論等經典思想實驗，激發讀者對無限過程的思考。 $epsilon-N$ 語言的嚴謹構建： 循序漸進地介紹極限的 $epsilon-N$ 定義，強調其精確性，並通過幾何圖像輔助理解，確保讀者能夠紮實掌握這一理論基石。 極限的四則運算與基本定理： 詳細推導和應用極限的運算法則，包括保序性定理（夾逼定理）的應用，這是解決復雜極限問題的關鍵工具。 第二章：函數極限的探究 函數極限的定義： 推廣數列極限的概念至函數自變量趨於定點或無窮遠的情況，區分左極限與右極限。 基本初等函數的極限： 針對多項式函數、有理函數以及指數、對數函數的極限計算技巧。特彆關注當自變量趨於無窮大時，函數漸近行為的分析。 無窮小與無窮大： 深入剖析無窮小量與無窮大量之間的關係，這是進行極限簡化和等價替換的基礎。 重要極限的應用： 重點講解 $lim_{x o 0} frac{sin x}{x} = 1$ 和 $lim_{x o 0} (1+x)^{frac{1}{x}} = e$ 的推導及其在復雜函數極限計算中的高效應用。 第三章：連續性——函數圖像的“不間斷性” 連續性的定義與判定： 從點態連續性齣發，擴展到區間上的連續性。 初等函數的連續性： 證明基本初等函數（冪函數、三角函數等）的連續性，並討論函數和、差、積、商以及復閤函數在連續性上的保持規律。 閉區間上連續函數的性質： 詳細論述有界性定理、最大值與最小值定理，以及介值定理（包括零點定理），這些定理在分析方程解的存在性時具有無可替代的作用。 --- 第二部分：導數——變化率的精確度量 本部分將導數概念與實際中的變化率問題緊密結閤，幫助讀者理解導數在物理、工程和經濟學中的實際意義。 第四章：導數的幾何意義與代數計算 導數的定義與幾何意義： 將導數定義為切綫的斜率，直觀展示其瞬時變化率的本質。 可導性與連續性的關係： 探討可導性是否蘊含連續性，以及導函數不存在的情況（如尖點、垂直切綫）。 基本求導法則： 詳細推導和練習常數、冪函數、指數函數、對數函數以及三角函數的求導法則。 復閤函數求導法則（鏈式法則）： 深入剖析鏈式法則的結構，它是進行復雜函數求導的核心技巧，通過多層嵌套的實例來鞏固理解。 乘用法則與除法法則： 熟練運用這些法則進行有理函數和涉及乘積、商的函數的求導。 第五章：高階導數與隱函數求導 高階導數的概念： 介紹二階導數、三階導數及其物理意義（如加速度）。 隱函數求導法： 針對無法顯式錶達的函數關係（如圓的方程），係統講解隱函數求導的步驟，強調對 $y$ 的求導需要乘以 $frac{dy}{dx}$。 參數方程求導： 處理以參數形式給齣的麯綫的導數計算，特彆是其在麯綫上某點切綫斜率的確定。 第六章：導數的應用——函數圖像的描繪與分析 利用導數判斷函數的單調性： 闡述一階導數符號與函數增減性的嚴格對應關係。 極值與最值： 詳細介紹 Fermat 定理、極值判彆法（一階和二階檢驗法），並解決在實際問題中尋找全局最優化解的步驟。 函數的凹凸性與拐點： 引入二階導數，分析函數圖像的彎麯方嚮（凹嚮上或凹嚮下），並確定拐點的位置。 漸近綫分析： 綜閤利用極限和導數知識，完整地描繪復雜函數的圖形，包括垂直、水平和斜漸近綫的確定。 第七章：導數的實際應用 物理學中的應用： 深入探討位移、速度、加速度之間的微分關係。 經濟學中的應用： 引入邊際成本、邊際收益等概念，解釋導數在經濟決策中的作用。 相關的變化率問題（Related Rates）： 講解如何識彆問題中的變量、常數以及它們之間的關係式，並通過鏈式法則求解特定時刻的變化率。 --- 第三部分：積分——纍積與麵積的計算 本部分將從對“求和”的直觀認識齣發，構建定積分與不定積分的理論框架，並展示積分在計算體積、弧長等方麵的強大能力。 第八章：不定積分與微積分基本定理 反導數與不定積分的引入： 明確不定積分是導數的逆運算，理解積分常數 $C$ 的重要性。 基本積分公式： 匯編並熟練運用基本函數的積分公式。 換元積分法（Substitution Rule）： 詳細講解何時使用三角代換、何時使用指數/對數代換，這是解決復雜積分的核心技巧，並特彆關注定積分中換元後上下限的相應變化。 分部積分法（Integration by Parts）： 闡述其公式的推導和適用場景（如 $x e^x$, $x sin x$, $ln x$ 等的積分），並展示如何迭代使用該方法。 微積分基本定理： 這是連接微分與積分的橋梁。詳細解釋牛頓-萊布尼茨公式（微積分基本定理的第二部分），明確瞭定積分的計算依賴於找到原函數。 第九章：定積分及其幾何應用 定積分的黎曼和定義： 從分割、求和、取極限的嚴謹步驟，理解定積分作為“麵積”的數學本質。 定積分的性質： 探討定積分的綫性性、區間可加性等性質，並介紹均值定理。 定積分的計算： 運用微積分基本定理高效計算定積分。 麵積的計算： 運用定積分計算由函數圖像與坐標軸或兩條麯綫圍成的平麵圖形的麵積。 體積與弧長： 介紹鏇轉體的體積計算方法（圓盤法、圓環法）以及麯綫弧長的積分公式。 第十章：積分技巧進階 有理函數的積分： 重點講解部分分式分解法，這是積分有理函數時必須掌握的關鍵代數預處理技術。 三角函數的積分： 針對不同冪次和組閤的三角函數積分策略，包括降冪公式的應用。 --- 本書特點： 1. 概念先行，實例驅動： 每一個抽象概念（如極限、導數）的引入都伴隨著一個清晰的現實世界或幾何模型，確保理解的直觀性。 2. 嚴謹性與實用性的平衡： 在保證數學定義的嚴謹性的同時，將重點放在如何熟練運用公式和方法解決實際問題。 3. 方法歸納與技巧提煉： 對每類問題（如求極限、求導、求積分）都係統地總結瞭最有效的方法和易錯點，使學習過程高效有序。 本書適閤對象： 高等院校理工科、經濟學、管理學等專業本科生。 自學微積分的愛好者和需要復習基礎知識的在職專業人士。 通過本書的學習，讀者不僅能掌握微積分的基本運算，更能深刻理解其背後的數學思想，為後續學習微分方程、多元微積分等高級課程打下堅實的基礎。