高等学校数学教材：模形式导引 pdf epub mobi txt 电子书 下载 在线阅读 2026

内容简介

　　 模形式理论在Fermat大定理的A。Wiles证明中起着十分重要的作用，因而，模形式理论就成为当前数学界和年轻学生关注、想了解的数学分支之一。《高等学校数学教材：模形式导引》是综合大学数学系高年级大学生和低年级研究（不一定是数论专业）的“模形式”课程的入门教材。全书共分十二章。内容包括椭圆函数，完全模群的Eisenstein级数G2k（T），完全模群，完全模群的同余子群，模函数的基本知识，同余子群的模形式，Poincaré级数，完全模群的模形式空间上的Hecke算子，同余子群的模形式空间上的Hecke算子，模形式与Dirichlet级数，模形式的两个应用及有关知识的附录。《高等学校数学教材：模形式导引》第一章及第十二章附录是全书的基础知识，它为《高等学校数学教材：模形式导引》各章所讲述的内容作了铺垫。《高等学校数学教材：模形式导引》可作为综合大学、高等师范院校数学系高年级大学生、研究生的教材，也可供青年教师、数学工作者和数论爱好者阅读。

目录

第一章 椭圆函数
1 双周期函数和格
2 椭圆函数及其基本性质
3 Weierstrass函数和椭圆函数域
3 Theta函数
问题

第二章 完全模群的Eisenstein级数G2k(T)
5 格函数、模函数，Eisenstein级数
6 G2（r）和Dedekind函数
问题

第三章 完全模群
7 完全模群的生成元
8 模变换及其不动点
9 完全模群的基本区域
10 平面的辛测度
问题

第四章 完全模群的同余子群
11 同余子群及其陪集分解
12 模变换群的不动点
13 模变换群的基本区域及生成元
14 几个例子
问题

第五章 模函数的基本知识
15 模函数的一般概念与基本性质
16 半纯模函数的基本性质
17 完全模群的模形式空间
18 极为零的半纯模函数及其应用
问题

第六章 同余子群的模形式
19 同余子群的模形式空间的维数
20 同余子群的模形式的例子
21 Petersson内积
问题
第七章 Poincaré级数
第八章 完全模群的模形式空间上的Hecke算子
第九章 同余子群的模形式空间上的Hecke算子
第十章 模形式与Dirichlet级数
第十一章 两个应用
第十二章 附录
名词索引
符号索引
参考书目

前言/序言

好的，这是一份不包含《高等学校数学教材：模形式导引》内容的图书简介，旨在提供一个详细的数学领域介绍，侧重于代数几何和数论的交叉领域，力求内容充实且自然流畅。 《代数几何中的椭圆曲线与模空间导论》 图书简介 本书旨在为具备扎实代数、拓扑及基础抽象代数知识的研究生和高年级本科生，提供一个深入探索代数几何核心主题——椭圆曲线与模空间——的全面指南。本书侧重于从几何直观出发，结合严谨的代数工具，构建起一套完整的理论框架。全书内容涵盖了从基础概念的引入到前沿研究方向的初步探讨，力求在深度与广度之间取得平衡。 第一部分：椭圆曲线的基础几何与代数结构 本书的开篇聚焦于椭圆曲线的定义、结构及其基本性质。我们将从射影空间中光滑的、亏格为一的代数曲线出发，引入维尔斯特拉斯方程，并详细阐述椭圆曲线作为一维复流形（或更一般地，作为光滑的、连通的、射影的代数簇）的拓扑结构。 1.1 椭圆曲线的几何描述： 我们首先考察在复数域 $mathbb{C}$ 上的椭圆曲线，将其同构于 $mathbb{C}/Lambda$，其中 $Lambda$ 是一个由两个 $mathbb{R}$-线性无关的复数构成的格。这使得我们可以利用复分析中的椭圆函数理论，直观地理解椭圆曲线上的群律。我们详述如何通过割线求和的几何构造，严格证明椭圆曲线上的有理点构成一个阿贝尔群，并介绍著名的蒲安松定理（Poincaré-Lefschetz 定理）在群律证明中的应用。 1.2 局部性质与局部环： 随后，我们将视线转向一般代数域 $K$ 上的椭圆曲线 $E$。通过研究曲线上的局部环 $ mathcal{O}_{E,P} $，我们阐述光滑性、奇点（尽管椭圆曲线上不存在奇点，但对比研究非奇异曲线的局部性质至关重要）的概念。我们深入探讨了曲线上的函数域 $K(E)$，并利用黎曼-洛赫定理（初步介绍其在 $g=1$ 时的特例）来刻画亚纯函数和微分形式的空间维度。 1.3 模函数与模空间的前奏： 在本节的收尾，我们引入模函数的概念，将其视为定义在具有某种结构的特定复流形上的全纯函数。虽然模函数在后续章节将有更详尽的讨论，但在椭圆曲线的背景下，我们初步探讨其在模函数空间 $mathcal{M}_1$ 上的出现，特别是与兰勃次法（Lutz-Nagell 定理的前身）相关的周期格的结构。 第二部分：模空间理论的建立 本书的核心价值在于系统性地构建模空间理论。模空间 $mathcal{M}$ 是一个“空间的集合”，其上的点参数化了某一特定类别的几何对象（如曲线、向量丛等）。在这里，我们专注于参数化椭圆曲线的模空间。 2.1 模空间 $mathcal{M}_1$ 的构造： 我们详细讨论如何构造一维亏格曲线（即椭圆曲线）的模空间 $mathcal{M}_1$。这需要处理模的等价性问题：在哪些等价关系下，两个椭圆曲线被视为“相同”？对于亏格为一的曲线，这种等价性通常由模函数（此时主要指模不变式 $g_2, g_3$ 或由它们生成的模函数域）来决定。我们引入模空间 $mathcal{M}_1$ 的构型，它是一个具有尖点的黎曼曲面，并且阐述了如何通过引入尖点（cusps）来紧化（compactification）这个空间，从而得到 $overline{mathcal{M}}_1$。 2.2 尖点的结构与局部结构： 尖点的结构是模空间理论中最具挑战性但也最富饶的部分之一。我们分析了 $mathcal{M}_1$ 上的尖点对应于退化（或称奇异）的椭圆曲线，即亏格为一的曲线在代数拓扑意义上的极限情况。这涉及到对 $mathbb{P}^1$ 上的模双有理几何（birational geometry of modular curves）的初步接触。我们使用模函数 $lambda( au)$ 的概念来清晰地描述尖点的局部结构，并介绍如何利用费尔斯特拉特定理（Faltings' theorem for curves of genus 1）的背景来理解这些退化极限。 2.3 模空间上的向量丛与上同调： 模空间不仅是一个几何对象，它还承载着丰富的代数结构。我们引入模谱（modular sheaves）和模空间上的向量丛。通过对特定模空间上的规范丛（canonical bundle）的分析，可以计算出模函数的维度。这部分将运用群作用下的不动点定理，以及与模算术（modular arithmetic）相关的初等算子（如 $Delta$ 函数），为后续更高级的算术几何研究奠定基础。 第三部分：椭圆曲线上的有理点与模形式 本章将联系椭圆曲线上的算术性质与模形式的分析特性。 3.1 椭圆曲线上的Tate-Lichtenbaum 结构： 我们转向有限域 $mathbb{F}_q$ 上的椭圆曲线，详细分析Hasse-Weil $L$-函数的定义及其与曲线的点的数量之间的关系（Hasse 定理）。我们简要介绍了Tate 猜想（现已证明），它将曲线的 $L$-函数与某些模对象的 $L$-函数联系起来。 3.2 模形式与模空间的关系： 模空间上的函数（如模函数）本质上是模形式的推广。本书将介绍模形式的定义，重点放在权为偶数的模形式（特别是权为 2 和 4 的）在 $mathcal{M}_1$ 上的作用。我们通过模空间上的微分形式（即权为 2 的模形式空间 $S_2(Gamma)$ 的截面）来重申模空间 $mathcal{M}_1$ 的上同调群结构。 3.3 模空间上的几何与算术的交汇： 最终，我们探讨如何利用模空间理论来研究椭圆曲线上的有理点问题。我们简要提及谷山-志村猜想（现为模定理）的背景，说明椭圆曲线如何通过模化（parametrization by modular forms）与 $ ext{GL}_2$ 的表示理论紧密相连。这部分将引导读者认识到，一个复杂的算术问题（如曲线上的无穷阶点问题）可以通过对一个紧致黎曼曲面（模空间）上的几何结构的分析得到深刻的洞察。 目标读者与准备知识： 本书对读者的代数几何基础要求较高，需要熟悉经典代数几何中的射影空间、代数簇、Sheaf 理论的初步概念。同时，对复分析和基础拓扑（特别是黎曼曲面理论）有一定了解将极大地帮助理解椭圆曲线的复结构。本书不涉及复杂的 $L$-函数理论或 $p$-进分析，但为深入研究这些领域提供了坚实的几何基础。