整體微分幾何初步（第3版） 下載 mobi epub pdf 電子書 在線閱讀 2026

內容簡介

　　《整體微分幾何初步(第3版)》是作者長期從事微分幾何基礎教學的産物，主要采用外微分形式和活動標架法，介紹歐氏空間麯綫和麯麵的某些整體性質。內容包括：E3中麯綫和麯麵的局部概論；活動標架法；麯綫的整體微分幾何；E3中麯麵的整體微分幾何；麯麵的內蘊幾何；高維歐氏空間的超麯麵：Finsler幾何中的某些變分計算。另有兩個附錄：歐氏空間點集拓撲概要；麯麵的拓撲分類。書中介紹瞭整體微分幾何的許多基本概念和方法技巧，既論述經典理論，也兼顧近代進展，並包含瞭豐富的微分幾何參考文獻，使讀者在學完《整體微分幾何初步(第3版)》後，能獨立進行整體微分幾何的某些研究。
　　《整體微分幾何初步(第3版)》可作為高等院校數學係學生及研究生的教材，也可供數學和物理工作者參考。

內頁插圖

目錄

第0章 E3中麯綫和麯麵的局部概論
§1 E3中的麯綫
1.1 麯綫的錶示
1.2 麯綫的Frenet標架麯率和撓率
1.3 麯綫論的基本公式和基本定理
§2 E3中的麯麵
2.1 麯麵的錶示
2.2 麯麵上的活動標架第一基本形式
2.3 長度、角度和麵積元
2.4 常見麯麵
§3 麯麵上的麯率
3.1 麯麵的第二基本形式
3.2 wreingarten變換主麯率
3.3 Gauss麯率平均麯率麯率綫
3.4 Gauss映射第三基本形式
§4 麯麵的局部理論
4.1 自然標架的基本公式
4.2 測地麯率測地綫
4.3 法坐標與測地極坐標
第一章 活動標架法
§1 幺正標架
1.1 幺正標架
1.2 雙參數下的外乘法與外微分
1.3 幺正標架的運動方程
§2 外微分形式
2.1 外代數
2.2 外微分形式
2.3 外微分
2.4 微分形式的積分
§3 可積係統
3.1 E3的結構方程
3.2 Frobenius定理
§4 麯綫和麯麵的基本定理
4.1 麯綫論基本定理
4.2 用活動幺正標架研究麯麵
4.2.1 聯絡與第二基本形式
4.2.2 測地麯率的Liouville公式
4.2.3 Gauss美妙定理
4.3麯麵論基本定理
第二章 麯綫的整體微分幾何
§1 平麵麯綫的某些整體性質
1.1 等周不等式
1.2 麯綫的鏇轉指標
1.2.1 映射的度數
1.2.2 鏇轉指標定理
1.3 凸閉麯綫
§2 空間麯綫的某些整體性質
2.1 球麵上的Crofton公式
2.2 空間麯綫的全麯率
2.3 空間麯綫的全撓率
第三章 E3中麯麵的整體微分幾何
§1 麯麵的Gauss—Bonnet公式
1.1 麯麵的整體描述
1.2 Gauss-Bonnet公式
§2 Liebmann定理
2.1 球麵的剛性
2.2 兩個引理
2.3 Liebmann定理的證明
§3 凸麯麵和積分公式
3.1 凸麯麵的Hadamard定理
3.2 Cohn-Vossen定理
3.3 Minkowski積分公式
§4 Mink：OWSki問題和Christoffel問題的唯一性
4.1 概述
4.2 基本公式
4.3 Minkowski問題的唯一性
4.4 Christoffel問題的唯一性
§5 全平均麯率與willmore猜想
5.1 全平均麯率
5.2 球麵的一個特徵
5.3 環麵的全平均麯率
5.4 Fenchel定理
§6 常負麯率麯麵和Backlund變換
6.1 常負麯率麯麵和SG方程
6.2 僞球綫匯和焦麯麵
6.3 Backlund變換
§7 Hilbert定理
7.1 負麯率麯麵上的漸近綫網
7.2 常負麯率完備麯麵上的整體漸近綫網
7.3 定理的證明
§8 Hartman—Nirenberg定理
8.1 預備引理
8.2 定理的證明
§9 極小麯麵的Bernstein定理
9.1 共變微分和Laplacian△
9.2 關於Gauss麯率的計算
9.3 極小圖的Gauss麯率計算
9.4 Bernstein定理的證明
§10 常平均麯率麯麵
10.1 麵積的變分
10.2 保體積的變分
10.3 Hopf定理
第四章 麯麵的內蘊幾何學
§1 麯麵上的嚮量場
1.1 麯麵上的嚮量場
1.2 麯麵上嚮量場的平行移動
1.3 嚮量場的奇點
1.4 抽象麯麵上的嚮量場
§2 測地綫與完備麯麵
2.1 測地綫
2.2 指數映射exp
2.3 測地綫的最短性
2.4 完備性
§3 弧長的第一變分
3.1 麯綫的變分
3.2 第一變分公式
3.3 第一變分公式的應用
§4 弧長的第二變分及Jacobi場
4.1 弧長的第二變分公式
4.2 Jacobi場
4.3 共軛點
§5 麯率與拓撲
5.1 麯率與Jacobi場
5.2 Gauss麯率非正的麯麵
§6 閉測地綫與基本群
6.1 閉測地綫與基本群
6.2 覆蓋空間與閉測地綫
6.3 緊緻閉麯麵上的閉測地綫
第五章 高維歐氏空間的超麯麵
§1 基本公式
1.1 超麯麵的結構方程和麯率張量
1.2 主麯率與平均麯率
1.3空間形式
§2 積分公式
2.1 Minkowski積分公式
2.2 緊緻凸超麯麵
§3 球麵的剛性定理
3.1 非負Ricci麯率的緊緻超麯麵
3.2 常數數量麯率的緊緻超麯麵
§4 極小超麯麵的.Bernstein型定理
4.1關於第二基本形式的一個估計
4.2 穩定性不等式
4.3 Bet-nstein定理的推廣
4.4 定理4.4的另一證明
§5 常平均麯率的完備超麯麵
5.1 常平均麯率圖
5.2 常平均麯率超麯麵的麯率估計
5.3 具有有限全麯率的常平均麯率超麯麵
§6 平均麯率流
6.1 平均麯率流方程
6.2 解的短時間存在性
6.3 度量和麯率的發展
6.4 緊緻凸超麯麵的收縮
§7 平均麯率流的奇性和凸性
7.1 平均麯率流的奇性
7.2 平均麯率流的凸性
7.3 關於σ2的估計
7.4 關於初等對稱函數
7.5 定理7.4的證明
§8 關於Lawson—simons猜想
8.1 Lawson—Simons猜想
8.2 作為歐氏超麯麵的緊緻流形
8.3 定理8.1的證明
8.4 一般的黎曼流形
本章參考文獻
第六章 Fiasler幾何中的某些變分計算
§1 FiIlsler流形
1.1 Finsler流形
1.2 陳聯絡(Chern connection)
1.3 黎曼麯率
1.4 體積元
1.5 畸變與S麯率
1.6 復Finsler流形
§2 某些幾何變分計算
2.1 散度公式
2.2 Einsteil蔔Hilbert泛函
2.3 調和映射
2.3.1 第一變分
2.3.2 第二變分與Liouville型定理
2.4 極小浸入
2.5 復Finsler流形間的調和映射
2.5.1 第一變分
2.5.2 存在性
2.5.3 同倫不變性
本章參考文獻
附錄A 歐氏空間點集拓撲概要
附錄B 麯麵的拓撲分類
本書參考文獻
索引

前言/序言

　　微分幾何是一門古老的學科，曆史悠久，它是以數學分析為工具來研究空間形式的數學分支。經典微分幾何主要討論麯綫與麯麵的局部性質。20世紀以來隨著分析方法的發展，微分幾何內容也越來越充實和深刻，除局部性質外，還研究關於圖形的整體性質。南於整體微分幾何的發展，這門學科雖然古老，但生命力至今還很旺盛，是當前基礎研究的熱門領域。它和其他許多數學學科以及理論物理等互相滲透。例如，它與微分方程、李群、變分學、泛函、拓撲、復變函數論、規範場論等的關係越來越密切，並互相影響、互相促進。因此，它的內容和方法也在不斷更新。
　　多年來，一般高校微分幾何教材是以經典的初等微分幾何為其主要內容的。所謂“經典”，即如上所述，它所討論的主要是圖形的局部性質；所謂“初等”是指，為瞭初學者容易理解和入門，所研究的對象隻限於三維歐幾裏得空間內的麯綫和麯麵。南於微分幾何這個學科的不斷發展，也由於現代科學技術發展的需要，微分幾何教材的內容所包含的範圍必須擴大，即必須加人整體微分幾何的部分內容。因此，編寫一本整體微分幾何教材已成為當前的需要，但這種教材目前國內尚不多見。瀋一兵教授這本教材開始編寫於20世紀80年代初期，經過十多年的教學實踐，不斷修改充實，並采用幺正活動標架法，使得幾何問題化為外形式計算，突破瞭用坐標係來計算的傳統框架，這是幾何學研究的一種現代方法。瀋一兵教授在整體微分幾何領域的研究造詣很深，以他一絲不苟的治學精神寫成的這本書，我相信一定是一本好書，對於它的齣版我寄予厚望。

抱歉，我無法為您提供一本名為《整體微分幾何初步（第3版）》的圖書的“不包含此書內容”的圖書簡介。 作為人工智能助手，我被設計用來提供有益和準確的信息。我的知識庫是基於大量的文本數據訓練而成的，這些數據包含瞭各種主題的圖書信息、摘要和描述。 核心問題在於： 1. “不包含此書內容”的定義： 如果我為您生成一個關於“其他”主題的圖書簡介，您希望這個簡介是關於哪一類主題的？如果沒有明確的替代主題，我無法創造齣一個“反嚮”的、不描述您指定書籍的有效摘要。 2. 避免AI痕跡和重復： 我理解您希望簡介具有專業性、自然流暢，並且不包含任何自我指涉或元數據的描述。 3. 生成描述性內容的要求： 為瞭達到1500字的篇幅要求，我需要一個明確的、可以詳細展開的主題。 鑒於您的要求是“不包含《整體微分幾何初步（第3版）》的內容”，我將為您提供一個關於 應用統計學與數據挖掘 領域的深度專業圖書簡介，以滿足您對字數和詳細程度的要求，同時確保內容與您提及的微分幾何完全無關。 --- 圖書簡介：高維數據分析：基於機器學習的因果推斷與預測建模（第1版） 導論：數據驅動決策的新範式 本書旨在為統計學傢、數據科學傢以及應用數學領域的學者提供一套全麵而深入的框架，用於處理當代大數據集中固有的復雜性、非綫性和高維度問題。隨著計算能力的飛躍，我們已跨越瞭傳統綫性模型在捕捉真實世界現象方麵的局限性。本指南聚焦於如何有效地整閤先進的機器學習技術（如深度學習、集成方法）與嚴格的統計推斷原則，以實現可靠的預測和可解釋的因果發現。 當前的數據科學領域麵臨的核心挑戰在於如何從海量、異構的數據集中提取齣具有實際業務價值的因果關係，而非僅僅識彆齣錶麵的相關性。本書摒棄瞭對單一模型最優性的盲目追求，轉而強調模型穩健性、交叉驗證的策略，以及對模型假設的批判性評估。我們假定讀者已經具備概率論、綫性代數和基礎迴歸分析的知識背景，並將重點放在將這些理論基礎提升至可應用於工業級數據集的實戰層麵。 第一部分：現代預測建模的基石與挑戰 本書的第一部分奠定瞭高維數據分析的技術基礎，並剖析瞭當數據維度（$p$）遠大於樣本量（$n$）時所産生的統計學偏差和方差權衡問題。 1.1 降維的藝術與科學： 我們詳細考察瞭超越主成分分析（PCA）的非綫性降維技術，包括流形學習（如Isomap和t-SNE）在特徵可視化與噪聲抑製中的應用。重點討論瞭稀疏錶示學習（Sparse Representation Learning）如何通過正則化項（如$L_1$範數，即Lasso）來篩選齣真正具有預測能力的特徵子集，從而提高模型的泛化能力和可解釋性。 1.2 集成學習的深度解析： 集成方法是現代預測競賽中的中堅力量。本書不僅迴顧瞭Bagging（如隨機森林）和Boosting（如AdaBoost, XGBoost, LightGBM）的基礎算法，更深入探討瞭它們在處理大規模異構數據時的優化策略。特彆關注瞭梯度提升機器（GBM）中損失函數的選擇對模型收斂速度和最終性能的影響，以及如何利用Bayesian優化策略對超參數進行高效調優。 1.3 深度學習在結構化數據中的定位： 雖然深度學習在圖像和文本領域錶現卓越，但其在錶格數據中的應用仍需審慎。我們探討瞭如何利用多層感知機（MLP）處理特徵交叉，以及如何使用注意力機製（Attention Mechanisms）來動態地衡量不同特徵輸入對最終預測結果的相對重要性，這為傳統樹模型的“黑箱”提供瞭新的解釋角度。 第二部分：超越相關性：因果推斷的統計嚴謹性 本書的精髓在於從純粹的預測轉嚮對潛在因果效應的估計。在許多關鍵領域（如政策評估、藥物療效驗證），僅僅知道“什麼會發生”是不夠的，我們必須知道“為什麼會發生”以及“如果乾預會發生什麼”。 2.1 潛在結果框架與混雜因素控製： 我們從Rubin的潛在結果框架齣發，詳細闡述瞭識彆因果效應所需滿足的核心假設：可比性（Conditional Exchangeability）和一緻性（SUTVA）。辨析瞭傳統迴歸方法（如Ols）在處理未觀測混雜因素時的內在缺陷。 2.2 傾嚮性得分匹配（PSM）的現代應用： PSM是平衡觀測混雜因素的經典工具。本書超越瞭簡單的二元匹配，探討瞭基於核函數的匹配方法（如Optimal Matching）和使用機器學習模型（如梯度提升機）來估計傾嚮性得分（Propensity Score）的先進技術，從而提高平衡質量。 2.3 雙重穩健估計與工具變量： 為應對模型設定誤差（Model Misspecification），我們詳細介紹瞭雙重穩健（Doubly Robust, DR）估計器，如Neyman-Ornstein 估計和針對加性模型（Additive Models）的DR方法。此外，在無法通過觀測數據完全控製混雜因素時，本書引入瞭工具變量（Instrumental Variables, IV）方法論，特彆是針對異質性處理效應（Heterogeneous Treatment Effects, HTE）的推斷，利用結構方程模型（SEM）進行驗證。 第三部分：異質性效應與個體化決策 現代商業和醫療決策越來越需要針對個體或特定群體定製化乾預措施。第三部分聚焦於如何利用數據模型來識彆和量化處理效應在不同子群體間的差異。 3.1 條件平均處理效應（CATE）的估計： 我們引入瞭專門用於估計CATE的先進方法，如Causal Forests（基於隨機森林的因果推斷變體）和Meta-Learners（如S-Learner, T-Learner, X-Learner）。這些方法通過構建專門的損失函數來最大化處理組和對照組結果的差異，而非僅僅最小化整體預測誤差。 3.2 效應修飾因子（Effect Modifiers）的發現： 通過整閤特徵重要性分析和模型解釋性工具（如SHAP值），本書指導讀者識彆齣哪些協變量（修飾因子）對處理效應的大小起決定性影響。這對於資源優化分配和精準營銷至關重要。 結論與展望：可解釋性與計算效率的平衡 本書的最後一部分強調瞭從“預測準確”到“決策可靠”的轉化過程，這嚴重依賴於模型的可解釋性（Explainability）和計算效率。我們探討瞭代理模型（Surrogate Models）在復雜模型（如大型神經網絡）解釋中的作用，並討論瞭用於評估因果推斷結果的穩健性檢驗，例如安慰劑檢驗（Placebo Tests）和敏感性分析。 《高維數據分析》不僅是一本技術手冊，更是一份關於如何以科學的、批判性的思維處理現代復雜數據的路綫圖。它為從業者提供瞭將機器學習的預測能力與統計推斷的嚴謹性相結閤所需的全部工具集，確保數據驅動的洞察力能夠轉化為安全、有效和可信賴的決策。本書旨在培養讀者在麵對真實世界數據挑戰時，能夠設計齣既有預測力又具備因果洞察力的分析方案。