抽象代數習題精選精解 下載 mobi epub pdf 電子書 在線閱讀 2026

內容簡介

　　抽象代數又稱近世代數，法國數學傢伽羅瓦在1832年研究代數方程的根式解時首次提齣瞭“群”的概念，從而使代數學的發展進入抽象代數時期。抽象代數主要介紹一般的代數結構，包含群論、環論、域論等。抽象代數是現代數學的重要基礎，在數學的許多分支中有著重要應用，而且在計算機科學、信息科學等學科中也有著廣泛的應用，是這些學科的重要數學工具。
　　《抽象代數習題精選精解》是抽象代數的基本概念。二、是群論，內容包括循環群、置換群、不變子群、商群、群同態、群在集閤上的作用、Sylow定理、群的直積等。三、是環和域，內容包括整環、除環、理想、商環、環同態、素理想與極大理想等。四、是整環的因子分解。五、是域，包括素域、單擴域、代數擴域、有限域等。

內頁插圖

目錄

第一章 基本概念
1.集閤
2.映射、映射的閤成
3.代數運算
4.同態與同構
5.等價關係與集閤的分類

第二章 群
1.群的定義與基本性質
2.同態與子群
3.循環群
4.交換群·置換群
5.子群的陪集
6.不變子群與商群
7.群的同態基本定理
8.Sylow定理
9.群的直積

第三章 環與域
1.環的定義
2.零因子、整環
3.除環和域
4.剩餘類環和多項式環
5.理想和商環
6.環的同態基本定理
7.素理想與極大理想
8.環的直和

第四章 整環裏的因子分解
1.不可約元、唯一分解
2.唯一分解整環
3.主理想整環與歐氏環
4.唯一分解整環上的多項式環

第五章 域
1.擴域與素域
2.單擴域
3.代數擴域
4.分裂域
5.有限域

書籍簡介： 《代數拓撲導論：從基礎到前沿》 作者：[此處可留空或填充虛構作者名，如：張偉、李明等] 齣版社：[此處可留空或填充虛構齣版社名，如：科學齣版社、高等教育齣版社等] --- 內容概述 本書旨在為讀者提供一個全麵且深入的代數拓撲學導論。代數拓撲學是連接代數與拓撲學的橋梁，它使用代數工具（如群、環、模）來研究拓撲空間的性質。本書從最基本的拓撲空間概念入手，逐步過渡到同倫論和同調論的核心理論，最終涵蓋一些現代代數拓撲學的關鍵進展。本書的編寫風格力求嚴謹而不失清晰，注重概念的直觀理解與嚴格證明的結閤，為有誌於從事純粹數學或理論物理研究的讀者打下堅實的基礎。 全書共分為七個主要部分，層層遞進，確保讀者能夠循序漸進地掌握這一迷人學科的精髓。 --- 第一部分：預備知識與拓撲基礎 本部分迴顧瞭讀者在學習代數拓撲前應掌握的必要基礎知識，並係統地介紹瞭拓撲學的基本概念。 1. 集閤論與範疇論初步： 簡要迴顧集閤、函數、積、商的概念，並引入範疇、函子等代數拓撲中常用的結構性工具。 2. 拓撲空間與連續映射： 詳細闡述拓撲空間的定義、開閉集、鄰域、基、緊緻性、連通性等核心概念。通過大量的實例（如歐幾裏得空間、度量空間）來固化這些抽象概念。 3. 構造性拓撲： 重點討論如何從已有的拓撲空間構造新的空間，包括子空間、商空間、積空間和楔和（Wedge Sum）。這些構造對於後續構建拓撲不變量至關重要。 4. 分離公理與完備性： 介紹 $ ext{T}_1, ext{T}_2$（Hausdorff）、正則性、正規性等分離公理，並探討完備度量空間（如Baire範疇定理）在拓撲學中的作用。 --- 第二部分：基本群與同倫論的開端 這是代數拓撲學中第一個也是最直觀的代數不變量——基本群的引入。 1. 路徑與同倫： 定義路徑、端點保持的同倫，以及同倫等價的概念。討論緊緻連通空間的路徑連通性。 2. 基本群的構造： 定義一個拓撲空間 $X$ 中某一點 $x_0$ 的基本群 $pi_1(X, x_0)$，並證明其群結構。著重討論其對選取基點 $x_0$ 的依賴性（或獨立性）。 3. 連續映射誘導的同態： 證明連續映射在基本群之間誘導齣群同態，並討論同倫等價的映射在基本群上誘導齣同構。 4. 重要應用與實例： 計算圓周 $S^1$、圓盤 $D^2$、環麵 $T^2$ 等基本群。特彆關注 $pi_1(S^1)$ 與整數群 $mathbb{Z}$ 的同構關係，並引入“繞圈數”的概念。 5. 覆蓋空間理論： 深入探討局部路徑連通和半局部單連通空間，建立基本群與覆蓋空間之間的深刻聯係（提升引理、覆蓋空間上的基本群作用）。這是理解更高級概念（如縴維叢）的基礎。 --- 第三部分：同調論——鏈復形與構造 本部分將焦點從基本群轉移到同調論，引入構造性的代數工具來研究空間的“洞”。 1. 鏈復形與邊界算子： 係統介紹鏈復形的定義、鏈映射、以及關鍵的邊界算子 $partial$ 滿足 $partial^2 = 0$ 的性質。 2. 鏈同調群的定義： 基於鏈復形，定義循環群 $Z_n$、邊界群 $B_n$ 以及 $n$ 階同調群 $H_n(C) = Z_n / B_n$。 3. 拓撲鏈復形的構建： 重點介紹奇異鏈復形 $C_(X)$ 的構造，該復形完全由拓撲空間 $X$ 的信息決定，是計算實際同調群的基礎。 4. 鏈映射誘導的同態： 證明連續映射 $f: X o Y$ 誘導齣鏈映射 $f_: C_(X) o C_(Y)$，進而誘導齣同調群上的同態 $H_n(f): H_n(X) o H_n(Y)$。 5. 同倫不變性： 證明同倫等價的映射在同調群上誘導齣同構，從而確立同調群作為拓撲不變量的地位。 --- 第四部分：經典同調理論的計算與性質 本部分將理論應用於實踐，計算重要空間的同調群，並引入精確序列。 1. 馬耶爾-維托裏斯序列（Mayer-Vietoris Sequence）： 這是計算同調群最重要的工具之一。本書將詳細推導此序列，並展示如何利用它來計算復雜空間的同調群，例如球麵的同調群。 2. 球麵同調群的計算： 詳細計算 $H_n(S^k)$，特彆是 $H_0(S^k) cong mathbb{Z}$ 和 $H_k(S^k) cong mathbb{Z}$ 的結果。 3. 簡化同調群： 介紹簡化同調群的概念，以及其在處理有界空間時的便利性。 4. 精確序列的應用： 引入短正閤序列，展示如何利用它來處理退化空間（如楔和、懸掛空間）的同調群計算。 5. 歐拉示性數： 闡述歐拉示性數 $chi(X)$ 與奇數維同調群跡的聯係，並探討其在流形上的意義。 --- 第五部分：相對同調與斷裂結構 本部分引入相對同調的概念，為理解截斷空間和縴維化序列做準備。 1. 相對同調群： 定義子空間 $A subset X$ 的相對同調群 $H_n(X, A)$，並展示其與係數為 $A$ 的鏈復形的關係。 2. 相對同調的性質： 討論截斷空間的基本性質，以及相對同調群在描述邊界上的信息時的作用。 3. 約化（約簡）精確序列： 推導齣包含相對同調群的精確序列，作為馬耶爾-維托裏斯序列的推廣。 4. 胞腔同調（Cellular Homology）： 介紹胞腔復形的結構，並證明對於CW復形，其胞腔同調群與其奇異同調群同構。這為計算復雜結構（如流形）的同調群提供瞭極其有效的計算手段。 --- 第六部分：上同調與積分錶徵 本部分引入上同調理論，它在代數結構上比同調更豐富，尤其在微分幾何和代數幾何中有廣泛應用。 1. 上同調群的代數構造： 引入 $ ext{Hom}$ 函子，定義上鏈復形，並構造上同調群 $H^n(X; G)$。 2. 上同調與同調的對偶性： 詳細介紹萬有係數定理（Universal Coefficient Theorem），建立 $H_n(X)$ 和 $H^n(X)$ 之間的關係，特彆是與 $ ext{Ext}$ 函子的聯係。 3. 上同調環的構造： 定義上同調環的乘法結構——杯積（Cup Product）。闡述杯積的結閤性與它對空間結構的深刻揭示。 4. 德拉姆理論的啓示（拓撲視角）： 簡要討論德拉姆上同調與奇異上同調的聯係，強調上同調環的幾何意義。 --- 第七部分：高級主題與連接映射 最後一部分將同倫論和同調論串聯起來，並引入縴維叢中的關鍵工具。 1. Hurewicz 映射： 建立基本群 $pi_1(X)$ 和第一階同調群 $H_1(X)$ 之間的嚴格聯係，即 Hurewicz 定理的初步介紹。 2. 縴維叢與截短序列： 介紹縴維叢的基本概念，並推導著名的縴維叢長正閤序列。 3. 相對同調與縴維叢： 展示如何利用縴維叢長正閤序列來計算截斷空間（如球麵的同調群）以及更復雜的縴維化空間的同調群。 4. 歐拉類與示性類： 簡要介紹上同調環在流形上構造關鍵不變量（如陳類、龐加萊對偶）的潛力。 --- 目標讀者與特色 本書的讀者對象為數學係高年級本科生、研究生，以及對代數拓撲學感興趣的物理和工程領域研究人員。 本書特色： 嚴謹性與直觀性的平衡： 理論推導細緻入微，同時配以大量幾何直覺的解釋。 計算驅動： 每一理論工具的引入都伴隨著對經典空間（球麵、環麵、射影平麵等）的實際計算演示。 現代視角： 範疇論和函子的語言貫穿始終，為讀者嚮更現代的代數拓撲（如譜序列、層論）過渡做好準備。 大量的習題： 每章末附有分級難度的習題，旨在鞏固概念和訓練計算能力。 通過學習本書，讀者將能夠熟練運用同倫論和同調論的工具，深入理解拓撲空間的代數結構本質。