抽象代数习题精选精解 pdf epub mobi txt 电子书 下载 在线阅读 2026

内容简介

　　抽象代数又称近世代数，法国数学家伽罗瓦在1832年研究代数方程的根式解时首次提出了“群”的概念，从而使代数学的发展进入抽象代数时期。抽象代数主要介绍一般的代数结构，包含群论、环论、域论等。抽象代数是现代数学的重要基础，在数学的许多分支中有着重要应用，而且在计算机科学、信息科学等学科中也有着广泛的应用，是这些学科的重要数学工具。
　　《抽象代数习题精选精解》是抽象代数的基本概念。二、是群论，内容包括循环群、置换群、不变子群、商群、群同态、群在集合上的作用、Sylow定理、群的直积等。三、是环和域，内容包括整环、除环、理想、商环、环同态、素理想与极大理想等。四、是整环的因子分解。五、是域，包括素域、单扩域、代数扩域、有限域等。

内页插图

目录

第一章 基本概念
1.集合
2.映射、映射的合成
3.代数运算
4.同态与同构
5.等价关系与集合的分类

第二章 群
1.群的定义与基本性质
2.同态与子群
3.循环群
4.交换群·置换群
5.子群的陪集
6.不变子群与商群
7.群的同态基本定理
8.Sylow定理
9.群的直积

第三章 环与域
1.环的定义
2.零因子、整环
3.除环和域
4.剩余类环和多项式环
5.理想和商环
6.环的同态基本定理
7.素理想与极大理想
8.环的直和

第四章 整环里的因子分解
1.不可约元、唯一分解
2.唯一分解整环
3.主理想整环与欧氏环
4.唯一分解整环上的多项式环

第五章 域
1.扩域与素域
2.单扩域
3.代数扩域
4.分裂域
5.有限域

书籍简介： 《代数拓扑导论：从基础到前沿》 作者：[此处可留空或填充虚构作者名，如：张伟、李明等] 出版社：[此处可留空或填充虚构出版社名，如：科学出版社、高等教育出版社等] --- 内容概述 本书旨在为读者提供一个全面且深入的代数拓扑学导论。代数拓扑学是连接代数与拓扑学的桥梁，它使用代数工具（如群、环、模）来研究拓扑空间的性质。本书从最基本的拓扑空间概念入手，逐步过渡到同伦论和同调论的核心理论，最终涵盖一些现代代数拓扑学的关键进展。本书的编写风格力求严谨而不失清晰，注重概念的直观理解与严格证明的结合，为有志于从事纯粹数学或理论物理研究的读者打下坚实的基础。 全书共分为七个主要部分，层层递进，确保读者能够循序渐进地掌握这一迷人学科的精髓。 --- 第一部分：预备知识与拓扑基础 本部分回顾了读者在学习代数拓扑前应掌握的必要基础知识，并系统地介绍了拓扑学的基本概念。 1. 集合论与范畴论初步： 简要回顾集合、函数、积、商的概念，并引入范畴、函子等代数拓扑中常用的结构性工具。 2. 拓扑空间与连续映射： 详细阐述拓扑空间的定义、开闭集、邻域、基、紧致性、连通性等核心概念。通过大量的实例（如欧几里得空间、度量空间）来固化这些抽象概念。 3. 构造性拓扑： 重点讨论如何从已有的拓扑空间构造新的空间，包括子空间、商空间、积空间和楔和（Wedge Sum）。这些构造对于后续构建拓扑不变量至关重要。 4. 分离公理与完备性： 介绍 $ ext{T}_1, ext{T}_2$（Hausdorff）、正则性、正规性等分离公理，并探讨完备度量空间（如Baire范畴定理）在拓扑学中的作用。 --- 第二部分：基本群与同伦论的开端 这是代数拓扑学中第一个也是最直观的代数不变量——基本群的引入。 1. 路径与同伦： 定义路径、端点保持的同伦，以及同伦等价的概念。讨论紧致连通空间的路径连通性。 2. 基本群的构造： 定义一个拓扑空间 $X$ 中某一点 $x_0$ 的基本群 $pi_1(X, x_0)$，并证明其群结构。着重讨论其对选取基点 $x_0$ 的依赖性（或独立性）。 3. 连续映射诱导的同态： 证明连续映射在基本群之间诱导出群同态，并讨论同伦等价的映射在基本群上诱导出同构。 4. 重要应用与实例： 计算圆周 $S^1$、圆盘 $D^2$、环面 $T^2$ 等基本群。特别关注 $pi_1(S^1)$ 与整数群 $mathbb{Z}$ 的同构关系，并引入“绕圈数”的概念。 5. 覆盖空间理论： 深入探讨局部路径连通和半局部单连通空间，建立基本群与覆盖空间之间的深刻联系（提升引理、覆盖空间上的基本群作用）。这是理解更高级概念（如纤维丛）的基础。 --- 第三部分：同调论——链复形与构造 本部分将焦点从基本群转移到同调论，引入构造性的代数工具来研究空间的“洞”。 1. 链复形与边界算子： 系统介绍链复形的定义、链映射、以及关键的边界算子 $partial$ 满足 $partial^2 = 0$ 的性质。 2. 链同调群的定义： 基于链复形，定义循环群 $Z_n$、边界群 $B_n$ 以及 $n$ 阶同调群 $H_n(C) = Z_n / B_n$。 3. 拓扑链复形的构建： 重点介绍奇异链复形 $C_(X)$ 的构造，该复形完全由拓扑空间 $X$ 的信息决定，是计算实际同调群的基础。 4. 链映射诱导的同态： 证明连续映射 $f: X o Y$ 诱导出链映射 $f_: C_(X) o C_(Y)$，进而诱导出同调群上的同态 $H_n(f): H_n(X) o H_n(Y)$。 5. 同伦不变性： 证明同伦等价的映射在同调群上诱导出同构，从而确立同调群作为拓扑不变量的地位。 --- 第四部分：经典同调理论的计算与性质 本部分将理论应用于实践，计算重要空间的同调群，并引入精确序列。 1. 马耶尔-维托里斯序列（Mayer-Vietoris Sequence）： 这是计算同调群最重要的工具之一。本书将详细推导此序列，并展示如何利用它来计算复杂空间的同调群，例如球面的同调群。 2. 球面同调群的计算： 详细计算 $H_n(S^k)$，特别是 $H_0(S^k) cong mathbb{Z}$ 和 $H_k(S^k) cong mathbb{Z}$ 的结果。 3. 简化同调群： 介绍简化同调群的概念，以及其在处理有界空间时的便利性。 4. 精确序列的应用： 引入短正合序列，展示如何利用它来处理退化空间（如楔和、悬挂空间）的同调群计算。 5. 欧拉示性数： 阐述欧拉示性数 $chi(X)$ 与奇数维同调群迹的联系，并探讨其在流形上的意义。 --- 第五部分：相对同调与断裂结构 本部分引入相对同调的概念，为理解截断空间和纤维化序列做准备。 1. 相对同调群： 定义子空间 $A subset X$ 的相对同调群 $H_n(X, A)$，并展示其与系数为 $A$ 的链复形的关系。 2. 相对同调的性质： 讨论截断空间的基本性质，以及相对同调群在描述边界上的信息时的作用。 3. 约化（约简）精确序列： 推导出包含相对同调群的精确序列，作为马耶尔-维托里斯序列的推广。 4. 胞腔同调（Cellular Homology）： 介绍胞腔复形的结构，并证明对于CW复形，其胞腔同调群与其奇异同调群同构。这为计算复杂结构（如流形）的同调群提供了极其有效的计算手段。 --- 第六部分：上同调与积分表征 本部分引入上同调理论，它在代数结构上比同调更丰富，尤其在微分几何和代数几何中有广泛应用。 1. 上同调群的代数构造： 引入 $ ext{Hom}$ 函子，定义上链复形，并构造上同调群 $H^n(X; G)$。 2. 上同调与同调的对偶性： 详细介绍万有系数定理（Universal Coefficient Theorem），建立 $H_n(X)$ 和 $H^n(X)$ 之间的关系，特别是与 $ ext{Ext}$ 函子的联系。 3. 上同调环的构造： 定义上同调环的乘法结构——杯积（Cup Product）。阐述杯积的结合性与它对空间结构的深刻揭示。 4. 德拉姆理论的启示（拓扑视角）： 简要讨论德拉姆上同调与奇异上同调的联系，强调上同调环的几何意义。 --- 第七部分：高级主题与连接映射 最后一部分将同伦论和同调论串联起来，并引入纤维丛中的关键工具。 1. Hurewicz 映射： 建立基本群 $pi_1(X)$ 和第一阶同调群 $H_1(X)$ 之间的严格联系，即 Hurewicz 定理的初步介绍。 2. 纤维丛与截短序列： 介绍纤维丛的基本概念，并推导著名的纤维丛长正合序列。 3. 相对同调与纤维丛： 展示如何利用纤维丛长正合序列来计算截断空间（如球面的同调群）以及更复杂的纤维化空间的同调群。 4. 欧拉类与示性类： 简要介绍上同调环在流形上构造关键不变量（如陈类、庞加莱对偶）的潜力。 --- 目标读者与特色 本书的读者对象为数学系高年级本科生、研究生，以及对代数拓扑学感兴趣的物理和工程领域研究人员。 本书特色： 严谨性与直观性的平衡： 理论推导细致入微，同时配以大量几何直觉的解释。 计算驱动： 每一理论工具的引入都伴随着对经典空间（球面、环面、射影平面等）的实际计算演示。 现代视角： 范畴论和函子的语言贯穿始终，为读者向更现代的代数拓扑（如谱序列、层论）过渡做好准备。 大量的习题： 每章末附有分级难度的习题，旨在巩固概念和训练计算能力。 通过学习本书，读者将能够熟练运用同伦论和同调论的工具，深入理解拓扑空间的代数结构本质。