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出版社： 北京师范大学出版社

ISBN：9787303167623

商品编码：1314534516

出版时间：2013-12-01

作  者:无 著作 李仲来 主编 定  价:85 出 版 社:北京师范大学出版社 出版日期:2013年12月01日 页  数:528 装  帧:平装 ISBN:9787303167623 ●一、矩阵的若干一般结果
●矩阵的正则性的若干条件
●对“关于半正定Hermite矩阵乘积迹的一个不等式”一文的注记
●奇异矩阵的一些性质
●关联G—函数的对角占优的一些推广
●关于矩阵秩下界的注记
●二、全纯映射与算子解析函数若干结果
●关于Hilbert空间上算子解析函数的若干结果
●Banach代数中对谱半径的Schwarz引理
●关于von Neumann—Heinz定理与樊定理的推广
●对C的单位开球与广义上半平面的全纯映射的迭代
●同— Hilbert空间之间全纯映射的迭代
●Von Neumann，Heinz，与Ky Fan定理及其推广结论的简化证明
●三、特殊矩阵及其应用，有理插值问
●多项式零点定位基本定理的简化证明
●关于矩阵惯性的若干基本定理
●奇异Hankel矩阵
●Bezout和Hankel矩阵（Ⅱ）——非奇异情形
●通过Vandermonde矩阵的Bezout矩阵表示
●关于Loewner矩阵的更多结果
●部分目录

内容简介

陈公宁教授是第6批博士生导师。《陈公宁文集解析函数插值与矩量问题》是《北京师范大学数学家文库》的靠前4部。《陈公宁文集解析函数插值与矩量问题》是《北京师范大学数学家文库》的靠前4部。执教40多年，讲授数学系（含物理系）基础课程与选修课程多门，编教材2部，专著2部，发表学术论文70多篇。现为中国数学会会员，美国数学会会员，《MathematicalReviews》评论员。学术研究内容主要是：算子理论与算子代数，矩阵值解析函数插值理论与应用，矩阵理论与应用。在全纯算子函数，有理插值，解析函数插值问题与矩量问题等方面多有建树。

数学工具箱：多变量函数逼近与科学计算的高级探索 本书并非一本教科书，也不是一本详尽的算法手册。它更像是一本精心构建的数学工具箱，为那些在科学研究、工程实践或高级数据分析领域中，需要处理复杂函数逼近、数值模拟以及求解奇异性问题（也称作矩量问题，尽管本书不直接探讨其数学定义）的读者，提供一套深刻而实用的方法论。我们将深入探讨一系列强大的数学概念和技术，它们在理解和操控多变量函数行为方面具有至关重要的作用，并且为解决实际工程与科学挑战提供坚实的基础。 第一部分：多变量函数插值——从离散数据到连续模型 在许多科学与工程问题中，我们往往只能获得一系列离散的测量点或已知数据。然而，我们真正需要的是理解数据背后隐藏的连续函数，并能对其进行预测、分析甚至优化。本部分将聚焦于如何从这些离散数据中，构建出能够准确描述目标函数行为的多变量插值模型。 基函数与线性组合： 我们将首先审视插值的核心思想——使用一组“基函数”作为构建模块，并通过线性组合的方式来逼近目标函数。虽然许多插值方法都遵循这一框架，但我们关注的重点将是不同基函数族（例如多项式、三角函数、径向基函数等）在多变量情境下的适用性、优缺点以及选择策略。我们将详细讨论，如何根据数据的性质（例如数据的分布、噪声水平、函数的平滑度要求）来挑选最合适的基函数。 高斯过程回归（GPR）： 作为一种强大且灵活的非参数模型，高斯过程回归将是本部分的重要主题。我们不仅会介绍其统计学基础，即将其视为对函数的一种概率分布建模，还会深入探讨其在多变量函数插值中的优势。我们将详细讲解核函数（covariance function）的选择与设计，这是GPR的核心，它直接决定了模型能够捕捉到的函数特性，例如平滑度、周期性或各向异性。此外，我们还会分析GPR在处理高维数据时的挑战，以及一些常用的降维和近似技术。 径向基函数（RBF）插值： 径向基函数提供了一种无需显式处理网格结构即可进行多变量插值的方法。我们将深入分析不同类型的径向基函数（如多二次曲面、反多二次曲面、薄板样条等）的特性，以及它们如何通过距离度量来构建插值模型。重点将放在RBF在处理不规则分布数据和高维空间中的表现，以及如何通过收缩（compactness）参数来平衡模型的全局逼近能力和局部细节捕捉能力。 样条插值在多变量中的扩展： 虽然传统的样条插值常用于一维数据，但我们将探讨其在多变量场景下的概念性扩展，例如张量积样条。我们将讨论如何将一维样条的优良特性（如分段连续性和光滑性）组合起来，构建能够处理网格化多变量数据的插值函数。这部分内容将强调如何有效管理高维度的样条基函数，以及如何利用其结构化特性来优化计算效率。 插值误差分析与稳定性： 仅仅构建一个插值模型是不够的，理解其误差来源和保证其稳定性也至关重要。我们将讨论插值误差的界限，例如Runge现象在高维情境下的表现，以及如何通过选择更合适的插值节点或使用更平滑的基函数来缓解这些问题。同时，我们还将关注插值过程的数值稳定性，尤其是在处理 ill-conditioned 的插值系统时，并介绍一些常用的稳定化技术。 第二部分：数值计算与科学建模的高级方法 在科学与工程领域，许多核心问题最终都可以归结为求解复杂的方程组或进行大规模的数值模拟。本部分将不再局限于插值本身，而是将插值技术与更广泛的数值计算方法相结合，为解决更棘手的科学建模问题提供思路。 降维技术与代理模型（Surrogate Models）： 随着问题维度的增加，直接进行插值或数值模拟的计算成本会急剧上升。我们将介绍一些主流的降维技术，如主成分分析（PCA）、独立成分分析（ICA）以及非线性降维方法（如t-SNE、UMAP的原理），并讨论如何利用这些技术将高维数据映射到低维空间，然后在这个低维空间中构建插值模型或代理模型。这些代理模型能够以较低的计算代价，快速地预测高维输入对应的输出，从而加速优化、敏感性分析等过程。 基于插值的数值积分与微分： 数值积分和微分是科学计算中最基础也是最常见的任务。我们将探讨如何利用多变量插值函数来近似被积函数或待求导函数，从而实现数值积分和微分。我们将分析不同插值方法在数值积分和微分精度上的表现，以及如何根据待积/待微分函数的特性选择最优的插值基函数和节点布局。 求解偏微分方程（PDEs）的数值方法——基于插值的视角： 许多物理现象都由偏微分方程描述。虽然本书不直接介绍传统的有限差分、有限元等方法，但我们将从插值的角度，探讨一些与这些方法相关的思想。例如，我们可能讨论如何利用多变量插值函数来近似PDE的解，以及如何构建基于插值的离散化格式。更进一步，我们将探讨如何利用插值技术来加速或改进某些特定类型的PDE求解器，例如在局部加密网格或处理复杂边界条件时。 机器学习模型中的插值与外插： 现代机器学习模型，尤其是深度学习模型，本质上也是在学习数据背后的复杂函数。我们将从插值的角度，解读某些机器学习模型（例如核方法、一些参数化的神经网络架构）的工作原理。我们将讨论模型在训练数据区域内的插值行为，以及在训练数据之外区域的外延（外插）能力，并分析其局限性。我们将探讨如何利用插值理论来理解模型的泛化能力，以及如何改进模型以获得更可靠的外插性能。 不确定性量化（Uncertainty Quantification, UQ）与插值： 在科学与工程决策中，理解模型输出的不确定性至关重要。我们将介绍如何将插值技术与不确定性量化结合起来。例如，利用高斯过程回归本身的概率输出，或者通过构建多个插值模型 ensemble 来量化输入参数的不确定性对模型输出的影响。我们将讨论如何利用这些不确定性信息来指导实验设计、优化设计参数或评估风险。 第三部分：挑战与前沿——应对复杂函数的深层难题 在某些领域，我们需要面对的函数可能具有奇异性、不连续性，或者存在大量的局部极值。这些“病态”的函数行为给传统的插值和数值方法带来了巨大的挑战。本部分将探讨如何运用更高级的数学思想和计算策略来应对这些棘手的问题。 奇异性识别与处理： 我们将初步探讨如何识别函数中的奇异性（例如，在数学上表示为导数或函数值趋于无穷的点），以及这些奇异性在实际问题中的表现。虽然本书不直接解决“矩量问题”的数学定义，但我们将借鉴处理奇异性问题的思路，例如如何避免在奇异点附近进行插值，或者如何采用特殊的技术来“规避”或“近似”奇异行为。 自适应插值与网格细化： 当函数在某些区域表现出更复杂的行为时，固定密度的插值网格或固定的基函数集合可能无法捕捉到细节。我们将介绍自适应插值策略，即根据函数的局部特性（例如局部误差估计、曲率信息）动态地调整插值节点的密度或基函数的选择。这种方法能够将计算资源更有效地分配到函数行为复杂的区域，从而在保证整体精度的前提下，降低计算成本。 多尺度分析与插值： 很多自然现象和工程系统都表现出多尺度的特性。我们将介绍多尺度分析的基本思想，以及如何将其应用于多变量函数插值。例如，利用小波基函数或多分辨率分析的方法，能够从不同尺度上捕捉函数的特征，从而构建出更精细、更鲁棒的插值模型。 稀疏表示与低秩逼近： 在处理高维数据时，数据本身往往存在冗余或低秩结构。我们将探讨如何利用稀疏表示和低秩逼近的思想来简化插值问题。例如，通过寻找函数的最稀疏表示或数据的低秩逼近，可以在保持关键信息的同时，大幅度降低模型的复杂度，从而提高计算效率和泛化能力。 面向优化的插值： 在许多应用场景下，插值不仅仅是为了逼近函数，更是为了服务于后续的优化任务。我们将讨论如何设计插值模型，使其能够更好地支持优化算法。例如，我们可能需要插值模型能够提供关于函数梯度的可靠估计，或者能够快速地评估目标函数在给定点的值。 本书的读者群体是具有一定数学基础，并且在实际工作中面临复杂函数逼近和数值计算挑战的研究人员、工程师和数据科学家。我们期望通过对这些高级数学概念和计算方法的深入剖析，为读者提供一套强大的思维框架和实用的技术工具，以应对日益复杂和精密的科学与工程问题。本书并非提供一套即插即用的代码库，而是致力于培养读者独立思考、分析问题和设计解决方案的能力。

评分☆☆☆☆☆

这本书的学术严谨性达到了一个极高的水准，引用的参考文献列表详实而权威，显示出作者深厚的学术积累和严谨的治学态度。在阅读一些关键定理的证明时，我能感受到作者在力求精确表达上的用心良苦，每一个假设和推导步骤都经过了深思熟虑，丝毫没有含糊不清的地方。这种毫不妥协的严谨性，对于任何希望从事高水平研究工作的读者来说都是至关重要的学习范本。它教会我的不仅仅是具体的数学技巧，更是一种对待科学问题的态度——那就是对逻辑链条的绝对忠诚和对细节的极致追求。每次当我试图去复现书中的某个证明或结果时，都会发现作者已经预先考虑到了那些容易被忽略的边界条件和特例，这使得我对整部著作的信赖度倍增，它无疑可以作为我工具书架上最可靠的基石之一，供我未来数年内持续查阅和深造使用。

评分☆☆☆☆☆

这本书的深度和广度令人印象深刻，它不仅仅是教科书式的知识堆砌，更像是一部融合了理论前沿与工程实践的深度报告。作者在阐述基本原理的同时，毫不吝惜笔墨地探讨了算法的收敛性分析以及在真实世界应用中可能遇到的数值稳定性问题。我注意到，许多看似纯粹的数学推导，最终都能追溯到具体的计算模型或物理系统的模拟需求上。对于那些希望将理论知识转化为实际生产力的读者而言，书后附带的那些详细的算例和代码实现思路简直是无价之宝。它没有满足于停留在理论的象牙塔中，而是勇敢地跳入到实际操作的泥潭里，讨论了在有限精度计算环境下，如何调整参数以确保结果的可靠性。这种务实精神，使得这本书的价值远远超出了纯理论研究的范畴，更像是一本连接理论与工程的桥梁手册。

评分☆☆☆☆☆

作为一名初学者，我原以为面对这类高深莫测的数学理论会感到望而却步，但这本书的叙事风格却展现出了一种令人惊讶的亲和力。作者似乎深谙如何将深奥的知识“翻译”成更易于理解的语言，他并没有直接抛出冰冷的公式，而是首先从实际问题的背景和动机入手，层层递进地构建起理论的框架。我特别喜欢其中穿插的那些历史沿革和重要人物的简短介绍，它们为枯燥的数学推导增添了人情味和故事性，让我能更好地理解这些理论是如何在历史长河中被一步步建立和完善的。阅读过程中，我仿佛有一位经验丰富的导师在身旁耐心地引导，每当我对某个概念感到困惑时，稍作停顿，翻阅前几页，总能找到更清晰的类比或更基础的铺垫。这种循序渐进的教学节奏，极大地缓解了我的学习焦虑，让我能够以一种更从容、更自信的心态去攻克那些看似难以逾越的数学高峰。

评分☆☆☆☆☆

我最欣赏的是作者在组织材料时所体现出的那种结构化的思维逻辑。全书的脉络清晰得如同一个精密的钟表，每一个章节都像是齿轮般紧密咬合，共同驱动着整个理论体系的运转。从最基础的函数空间定义开始，到构建插值模型，再到深入探究矩量法的数学基础，整个过程的衔接过渡极其自然流畅，几乎不需要读者跳跃式地思考。尤其值得称赞的是，作者对于不同理论之间的联系和区别进行了深入的辨析。比如，他会花专门的篇幅去对比几种主流方法的优缺点及其适用场景，而不是将它们孤立地介绍。这种宏观的架构感，让读者在学习具体技术细节时，始终能保持对整个学科图景的把握，避免了“只见树木不见森林”的弊端，极大地提升了知识的系统性和应用性。

评分☆☆☆☆☆

这本书的装帧设计简直是一场视觉盛宴，从封面到内页的排版，都散发着一种沉稳而专业的学术气息。我拿到手时就被它那种略带磨砂质感的封面吸引住了，色彩搭配得非常考究，既不失严谨，又暗含着对数学美学的追求。书脊上的字体清晰有力，即便是随手放在书架上，也显得格外引人注目。内页的纸张质量上乘，墨色均匀，即便是长时间阅读，眼睛也不会感到疲劳。特别是那些复杂的公式和图表，印刷得极其精细，每一个符号的细节都清晰可见，这对于需要反复研读推导过程的读者来说，无疑是一个巨大的加分项。我尤其欣赏作者在章节之间的过渡处理上所展现出的匠心独运，每当要进入下一个新的理论体系时，总能找到一段恰到好处的引言或总结，既能帮助读者回顾前文，又能自然地将注意力引导至接下来的内容，这种对阅读体验的细致考量，让人感觉这不仅仅是一本工具书，更像是一件精心打磨的工艺品。