题根·高中数学（第二版） pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

内容简介

　　题根思想就是化难为易的思想，题根丛书就是逃离题海的快帆。抓住题根，就等于抓住了解题诀窍；掌握题根，就等于掌握了无数好题。

内页插图

目录

题根1 集合，向运算法则寻根
题根2 函数，向对应法则寻根
题根3 二次型最值，向配方法寻根
题根4 轨迹，向方程寻根
题根5 函数，向单调性寻根
题根6 数列，向递推关系寻根
题根7 数列求和，向通项寻根
题根8 中项，向平均寻根
题根9 数在形外，根在形中——“解三角形”之解题例说
题根10 零点，最值，周期——三角图象三要素
题根11 向量加减，向三角形法则寻根
题根12 数量积，向“向量的夹角”寻根
题根13 不等式，向其性质寻根
题根14 规划问题，向可行域寻根
题根15 “圆不离三”，向心径寻根
题根16 椭圆，向定义和焦半径寻根
题根17 双曲线，向定义和渐近线寻根
题根18 抛物线，向其定义寻根
题根19 三视图，向长方体寻根
题根20 多面体，向四面体寻根
题根21 空间关系，向正方体寻根
题根22 空间角，向平面角寻根
题根23 框图，向算法寻根
题根24 从赌场掷骰，到概率寻根
题根25 从“将军饮马”说“几何对称”
题根26 极坐标与参数方程，向三角寻根
题根27 绝对值不等式，向非负实数寻根
参考答案

前言/序言

　　题根，是相对于题海而提出的。
　　题海扼杀了学生的学习积极性，将学生变成纯粹的解题工具，每个学生都是题的奴隶。所以在题海里，学生对学习毫无兴趣可言。他们耗尽精力，却收效甚微。
　　题根则不同，它不要求学生解那么多的题。不管是数学、物理、生物还是化学，题目成千上万，但细究起来，其题根却是屈指可数的少数几个。掌握好一个题根，就等于掌握了几十上百道好题。
　　那么，到底什么是题根？
　　首先，题根可以是一道题，一道具有生长性的题。
　　在数学里，我们第一次涉及“根”时，是关于方程的根。不错，方程的根就是一种具体的题根。如果我们把方程看作一个问题，那么方程的根就是方程问题的题根。
　　顾名思义，题根就是问题的根。
　　问题的根，那不就是问题的基础吗？题根是属于问题的基础范畴，但“基础”还不能等同于“根”。“基”者从“土”，“础”者傍“石”，而石和土是没有生命的东西，或者说是被动的东西；“根”字从“木”，木是有生命的东西，或者说是主动的东西。这就是“基础”与“根”的关系和区别。
　　题根的特点体现在“根”的生长性上，因此，“题根”可以理解为题的“基因”。问题有了“基因”，就有了生长性。
　　为什么要研究题根呢？我们的回答是：为了解决问题。用题根解题，才能够找到问题根源，否则就是盲人摸象。
　　毫不夸张地说，所有问题的解法特别是简法、妙法，无一不是在题根导向下获得的。
　　有人把“题根”误解为“题母”。我们认为“题根”不是“题母”，“题母”是自上而下的，由大到小的，由复杂到简单的；而“题根”则是相反的，是自下而上的，由小到大的，由简单到丰富的。
　　由题根繁衍出的题族中，题目之间不是平等的变式关系。题族中题目之间的有机繁衍体现在可以随机从题族中找到一个题目，顺藤摸瓜，找到题根的前族，从而找到题族的任何一个成员。而变式题目之间一般不存在这种清楚的关系，它们彼此之间是互相不认识的，只是同一个等级上的题目并列。
　　其次，题根可以是一条定理，一个公式，或一种定义。
　　比如物理学中的运动与力，运动为表象，力为其根，解决运动和力关系问题的核心是牛顿第二定律。而牛顿第二定律作为支撑高中物理大厦的三条立柱之一（另两条立柱分别是能量守恒定律和动量守恒定律），题目何止千万。《题根·高中物理》中的题根4“牛顿第二定律的应用”，以斜面上物体的受力和运动为根，以点带面，通过题目的生长和衍生，展现了应用牛顿运动定律解决问题的本质和内涵。内容由简到繁，逐步深入，打开学生的思维，提升解题能力和实践应用能力。

《数学拾遗：方法与思想的深度探究》 在知识的海洋中，数学以其严谨的逻辑、优美的结构和强大的应用能力，始终是人类智慧的重要组成部分。然而，对于许多学习者而言，数学的学习过程往往伴随着抽象的概念、繁复的计算和看似枯燥的公式。我们是否能跳出题海的泥沼，触及数学更深层的魅力？《数学拾遗：方法与思想的深度探究》正是这样一本致力于引导读者超越课本，深入理解数学精髓的读物。它并非一本面向特定教材或考试的辅导书，而是以一种更宏观、更具启发性的视角，带领读者领略数学的思维方式、解题的智慧以及其背后蕴含的深刻思想。 本书的创作初衷，源于对当前数学教育中一个普遍现象的观察：许多学生能够熟练掌握解题技巧，却往往停留在“知其然，不知其所以然”的层面。他们或许能解出压轴题，却难以在面对陌生问题时灵活运用所学；他们或许能背诵定理公式，却鲜少体会其诞生的背景和思想的闪光。这不仅限制了他们对数学的真正理解，也扼杀了他们对数学的深层兴趣。《数学拾遗》的诞生，正是为了弥补这一遗憾，旨在为那些渴望在数学领域获得更高层次提升的读者，提供一个全新的学习维度。 本书最大的特色在于，它不拘泥于任何具体的数学分支或课本章节。读者无需担心书中的内容是否与自己正在学习的课程同步，因为本书的关注点在于数学的“魂”而非“形”。我们将从数学的“方法”和“思想”两大维度展开探索，力求为读者构建一个更丰富、更立体的数学世界。 第一部分：数学方法论的深度剖析 在这一部分，我们将深入探讨数学中那些具有普遍意义的解题方法和思维模式。这些方法往往能够跨越不同数学分支，成为解决各种问题的强大武器。 模型构建与抽象化： 数学最核心的能力之一便是将现实世界的问题抽象成数学模型。我们将从简单到复杂，分析如何识别问题中的关键元素，如何选择合适的数学工具（如代数方程、几何图形、统计分布等）来描述这些元素，以及如何通过模型进行推理和预测。我们将探讨不同类型的模型（如线性模型、指数模型、概率模型等），以及它们在不同领域的应用，例如物理学中的运动学模型，经济学中的供需模型，以及生物学中的种群增长模型。我们会强调，模型的构建过程本身就是一种深刻的数学思维训练，它要求我们具备敏锐的观察力、严谨的逻辑性和大胆的创新精神。 化归与转化思想： “化归”是数学中一种至关重要的思想方法，它指的是将一个复杂或未知的问题，通过一系列等价或近似的变换，转化为一个更简单、更熟悉或更易于解决的问题。本书将详细阐述化归思想的多种表现形式，例如： 降维打击： 如何将高维问题转化为低维问题来分析，例如在几何中研究三维物体的截面，或在代数中通过降次来简化方程。 以退为进： 如何从问题的反面或对立面入手，例如使用反证法来证明命题。 特殊化与一般化： 如何通过研究特殊情况来获得对一般情况的启示，或者如何从特殊例子中提炼出普适的规律。 类比推理： 如何在不同数学分支或不同问题之间建立联系，借鉴相似问题的解决方法。 我们将通过大量的经典案例，例如欧拉解决哥尼斯堡桥问题的思路，高斯求和的妙法，以及三角学与复数之间的联系，来生动展现化归思想的强大力量。 整体与局部观照： 数学问题往往需要我们兼顾全局和局部。一方面，我们要理解问题的整体结构和内在联系，把握问题的本质；另一方面，又要能够深入分析问题的细节，处理好局部之间的关系。本书将探讨如何通过“整体法”来把握方程的结构，例如韦达定理在处理根与系数关系时的应用；如何通过“局部法”来解决复杂图形的面积或角度问题，例如分割法、割补法等。我们将强调，当局部分析受阻时，不妨退一步审视整体，反之亦然，这种辩证的观照方式是解决许多难题的关键。 数学归纳法与构造法： 数学归纳法是证明与自然数相关的命题的有力工具。本书将不仅介绍数学归纳法的基本步骤和应用，更会深入探讨其背后的思想——从基础情况出发，通过逻辑推理，层层递进，最终证明普遍真理。此外，我们还将重点介绍“构造法”，这是一种创造性极强的解题方法，通过引入辅助元素、构建新的数学对象，来使问题得以解决。例如，在几何证明中构造全等三角形或相似三角形，在数论中构造特定的数列或集合。构造法的运用，往往体现了数学家们的智慧和创造力，需要读者具备丰富的想象力和扎实的数学功底。 第二部分：数学思想的深度探索 在这一部分，我们将超越具体的解题技巧，去领略数学思想的深刻内涵，理解数学之所以如此迷人、如此重要的根本原因。 简洁与对称之美： 数学语言以其高度的简洁性和精确性著称。本书将探讨如何在繁杂的数学表达式中寻找简洁的形式，如何利用代数恒等式、几何对称性等来简化问题。例如，欧拉公式 e^(iπ) + 1 = 0 被誉为“最美丽的数学公式”，它将数学中最基本的几个常数奇妙地联系在一起，展现了数学内在的和谐与对称之美。我们将引导读者欣赏这种简洁之美，并思考如何在自己的数学学习中追求表达的清晰与优美。 逻辑推理与严谨证明： 数学的生命在于逻辑。本书将深入阐述演绎推理、归纳推理、反证法等逻辑方法在数学中的重要作用。我们将通过解析经典数学证明的思路，让读者体会数学家们如何步步为营，以严密的逻辑链条构建起一座座真理的大厦。我们将强调，掌握逻辑推理能力，不仅是解决数学问题的关键，更是培养批判性思维和科学素养的重要途径。 无穷与极限的思想： “无穷”是数学中最令人着迷的概念之一。从微积分的产生到集合论的发展，无穷的思想贯穿始终。本书将以通俗易懂的方式，介绍极限的思想，例如数列的极限、函数的极限，以及它们在解决连续变化问题中的作用。我们将探讨无穷集合的奇妙性质，例如可数无穷与不可数无穷的区别，以及它们对我们理解世界产生的深远影响。 数学的哲学意蕴： 数学不仅仅是一种工具，更是一种认识世界的方式，蕴含着深刻的哲学思想。本书将探讨数学与真理的关系，数学的抽象化如何帮助我们理解现实世界的本质，数学的普适性如何展现了宇宙的秩序和规律。我们将简要介绍数学哲学中的一些重要流派，例如形式主义、直觉主义和逻辑主义，让读者对数学的本质有更深的思考。 数学与其他学科的交叉与融合： 数学是许多学科的“语言”和“基石”。本书将展示数学在物理学、化学、生物学、经济学、计算机科学等领域的广泛应用，以及数学与其他学科的相互促进、共同发展。我们将通过一些跨学科的案例，说明数学思维如何帮助我们解决其他领域的难题，同时也揭示了新的数学问题是如何从其他学科中孕育而生的。 本书的价值与阅读建议： 《数学拾遗：方法与思想的深度探究》适合所有对数学抱有浓厚兴趣，希望提升数学素养，探索数学更深层魅力的读者。无论你是正在经历高中阶段的学子，还是已经步入大学或社会的数学爱好者，都能从中获得启迪。 本书并非旨在教授具体的解题技巧，因此不建议读者将其作为应试的“秘籍”。相反，我们鼓励读者以一种开放的心态，将本书作为一次数学思想的“朝圣”之旅。在阅读过程中，请尝试： 1. 主动思考： 遇到书中提出的观点或方法时，积极思考其背后的逻辑，尝试将其运用到自己遇到的实际问题中。 2. 联系实际： 将书中的数学思想与你所学过的其他数学知识联系起来，寻找它们之间的共性与差异。 3. 举一反三： 不要局限于书中的例子，尝试自己寻找类似的例子，或者思考如何将所学的方法推广到更广泛的领域。 4. 保持好奇： 数学是一片无穷的海洋，保持一颗好奇心，勇于探索未知，是获得数学乐趣的关键。 《数学拾遗：方法与思想的深度探究》相信，通过对数学方法和思想的深度探究，读者不仅能够提升自身的数学能力，更能够培养出一种更加严谨、理性、富有创造力的思维方式，从而更好地认识世界，解决问题，并在人生的道路上不断前行。这本书，愿成为你通往数学殿堂的一扇新的窗户。