隨機分析引論/復旦大學數學研究生教學用書 下載 mobi epub pdf 電子書 在線閱讀 2026

內容簡介

　　人類的文明進步和社會發展，無時無刻不受到數學的恩惠和影響，數學科學的應用和發展牢固地奠定瞭它作為整個科學技術乃至許多人文學科的基礎地位，當今時代，數學正突破傳統的應用範圍嚮幾乎所有的人類知識領域滲透，它和其他學科的交互作用空前活躍，越來越直接地為人類物質生産與日常生活作齣貢獻，也成為其掌握者打開眾多機會大門的鑰匙。
　　隨機分析理論是20世紀40年代從Ito關於Brown運動的隨機積分以及50年代Doob的鞅理論開始發展起來的，它看上去像是經典的Stieltjes積分理論的一個推廣，但實際上並非如此，它自身深刻的背景使得它獨立於經典分析理論，非常漂亮，後來人們還發現，在量化金融理論中，隨機分析幾乎所有著名的概念與定理都有實際的對應。因此隨機分析是數學中理論先於實踐的典型範例。
　　《隨機分析引論/復旦大學數學研究生教學用書》重點講授連續時問連續鞅的隨機分析理論，為瞭說清楚這個理論，我們需要介紹條件期望、鞅論，需要構造一個重要的隨機過程：Brown運動，然後運用泛雨中的方法來定義關於Brown動的積分，稱為隨機積分，它與通常的積分有相同的地方，也有不同的地方，隨機積分還有類似於通常的微積分基本定理的Ito公式，這些結果可以完美地解釋金融中的期權定價理論。

內頁插圖

目錄

第一章 預備知識
1．1 可測結構
1．2 隨機變量與收斂性
1．3 特徵函數
1．4 條件數學期望
1．5 習題與解答

第二章 鞅論基礎
2．1 離散時間鞅
2．2 流與停時
2．3 連續時間鞅
2．4 習題與解答

第三章 Brown運動
3．1 隨機過程與無窮維空間上的概率測度
3．2 熱核半群與Brown運動
3．3 Brown運動的構造
3．4 Brown運動的性質
3．5 Brown運動的變差
3．6 習題與解答

第四章 Ito積分
4．1 引論
4．2 經典隨機積分
4．3 二次變差過程
4．4 連續鞅的隨機積分
4．4．1 關於連續平方可積鞅的隨機積分
4．4．2 Kunita-Watanabe不等式
4．4．3 擴展至連續局部鞅
4．4．4 擴展至連續半鞅
4．5 習題與解答

第五章 Ito公式及其應用
5．1 Ito公式
5．2 Ito公式的應用
5．2．1 隨機指數
5．2．2 Levy的Brown運動鞅刻畫
5．2．3 連續局部鞅是Brown運動的時間變換
5．2．4 Girsanov定理
5．2．5 鞅錶示定理
5．3 習題與解答

第六章 隨機微分方程
6．1 引論
6．2 隨機微分方程的一些例子
6．2．1 綫性Gauss擴散
6．2．2 幾何Brown運動
6．2．3 Cameron-Martin公式
6．3 隨機微分方程基本定理
6．4 強解：存在唯一性
6．5 鞅與弱解
6．6 習題與解答
參考文獻
索引

數學分析的嚴謹進階：經典與現代的橋梁 書名：微積分的嚴謹基礎與拓展 內容簡介 本書旨在為讀者構建一個堅實而深入的微積分知識體係，它不僅是對高中階段代數、幾何和初等函數概念的係統梳理和提升，更是一次邁嚮量子分析、泛函分析乃至更高級數學分支的必要鋪墊。全書結構緊湊，邏輯嚴密，力求在保持數學嚴謹性的同時，兼顧教學的直觀性和啓發性。 第一部分：極限、連續性與拓撲預備 本部分專注於建立微積分的邏輯基石——實數係統。我們首先迴顧並深入探討瞭實數的完備性（如列錶法、區間套定理、上確界原理），這是後續所有極限論證的齣發點。我們將細緻剖析數列的收斂性，引入 $epsilon-N$ 語言的規範用法，並通過實例展示如何利用極限的四則運算法則及夾逼定理來判定復雜數列的極限。 隨後，討論的焦點轉嚮函數的性質。我們詳細闡述瞭函數在點上的極限的精確定義，並重點分析瞭極限存在的充要條件，包括左右極限和無窮極限的判斷。在連續性方麵，本書超越瞭傳統“不間斷麯綫”的直觀描述，轉而采用 $epsilon-delta$ 語言來刻畫點態連續性。在此基礎上，我們係統地證明瞭閉區間上連續函數的四大基本性質（有界性、最大最小值定理、介值定理），這些定理是後續積分理論和微分中值定理的理論基礎。 為瞭更好地理解函數的“接近”和“收斂”，我們引入瞭初步的拓撲概念，如開集、閉集、鄰域和緊集（有限覆蓋引理的直觀應用），為後續討論更廣闊空間中的收斂性做好瞭思想準備，但討論的範圍嚴格限定在 $mathbb{R}^n$ 空間內。 第二部分：導數與中值定理的深度探究 本部分是微積分的核心。我們從導數的定義齣發，強調瞭導數作為“局部綫性逼近”的幾何和代數意義。不同於僅計算導數，本書花費大量篇幅講解如何利用導數的定義來處理不可導點（如尖點、跳躍點）的分析。 微分中值定理是本部分的重中之重。我們不僅陳述並證明瞭羅爾（Rolle）定理、拉格朗日（Lagrange）中值定理和柯西（Cauchy）中值定理，更重要的是，我們深入探討瞭這些定理在證明函數不等式、確定函數單調性、凹凸性以及極值判定中的關鍵作用。特殊關注洛必達（L'Hôpital）法則的應用，並討論瞭其適用條件（如需滿足的連續性和可微性要求），避免盲目套用。 泰勒公式的展開被視為函數局部近似理論的最高成就。本書詳細區分瞭佩亞諾（Peano）餘項和拉格朗日餘項的適用場景，並通過高階泰勒多項式來逼近特殊函數（如 $sin x, e^x, ln(1+x)$）的展開式，同時探討瞭函數解析性的概念——即函數是否可以局部錶示為其泰勒級數。 第三部分：黎曼積分的理論構建與應用 積分理論的引入，標誌著讀者從“變化率”分析轉嚮“纍積量”分析。本書嚴格遵循黎曼積分（Riemann Integral）的構造過程。我們首先定義瞭上和與下和，闡述瞭可積性的充要條件（例如，有界函數在有界閉區間上，其間斷點集閤必須是可數集）。 在證明瞭積分的綫性性、保序性以及積分與導數之間的基本關係（牛頓-萊布尼茨公式）之後，我們著重分析瞭廣義積分（Improper Integrals）。廣義積分的討論細緻入微，涵蓋瞭積分區間為無窮大以及被積函數存在無窮間斷點的情況。我們引入瞭狄利剋雷判彆法和阿貝爾判彆法來嚴格判斷這些廣義積分的斂散性，而非僅僅依賴直覺。 第四部分：序列與級數的收斂性分析 本部分將單變量分析推廣到無窮項求和。我們從數列的極限的嚴格定義開始，平穩過渡到函數項序列與函數項級數的討論。 在函數項序列方麵，我們詳細區分瞭逐點收斂（Pointwise Convergence）和一緻收斂（Uniform Convergence）的本質區彆。我們通過構造反例（如三角函數序列在特定點上的不連續性）清晰地揭示瞭逐點收斂不能保證極限函數的連續性或可積性。 一緻收斂性被提升到核心地位。本書係統地證明瞭，一緻收斂是保證極限運算（取極限、求導、積分）與級數運算可以交換順序的充分條件，尤其強調瞭 Weierstrass 判彆法在判定冪級數一緻收斂範圍中的作用。 最後，我們深入分析瞭冪級數的展開、收斂半徑的確定（比值判彆法和根值判彆法）以及如何在收斂區間內對冪級數進行積分和求導。這為後續學習傅裏葉分析和微分方程中的級數解法奠定瞭不可或缺的分析基礎。 總結 本書的編寫目標是培養讀者對數學概念的深刻洞察力和嚴謹的邏輯推理能力。它要求讀者不僅掌握計算技巧，更要理解這些技巧背後的數學原理和適用邊界，為未來深入學習高階分析課程做好充分的準備。全書力求在嚴密性和可讀性之間達到完美的平衡。