随机分析引论/复旦大学数学研究生教学用书 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

内容简介

　　人类的文明进步和社会发展，无时无刻不受到数学的恩惠和影响，数学科学的应用和发展牢固地奠定了它作为整个科学技术乃至许多人文学科的基础地位，当今时代，数学正突破传统的应用范围向几乎所有的人类知识领域渗透，它和其他学科的交互作用空前活跃，越来越直接地为人类物质生产与日常生活作出贡献，也成为其掌握者打开众多机会大门的钥匙。
　　随机分析理论是20世纪40年代从Ito关于Brown运动的随机积分以及50年代Doob的鞅理论开始发展起来的，它看上去像是经典的Stieltjes积分理论的一个推广，但实际上并非如此，它自身深刻的背景使得它独立于经典分析理论，非常漂亮，后来人们还发现，在量化金融理论中，随机分析几乎所有著名的概念与定理都有实际的对应。因此随机分析是数学中理论先于实践的典型范例。
　　《随机分析引论/复旦大学数学研究生教学用书》重点讲授连续时问连续鞅的随机分析理论，为了说清楚这个理论，我们需要介绍条件期望、鞅论，需要构造一个重要的随机过程：Brown运动，然后运用泛雨中的方法来定义关于Brown动的积分，称为随机积分，它与通常的积分有相同的地方，也有不同的地方，随机积分还有类似于通常的微积分基本定理的Ito公式，这些结果可以完美地解释金融中的期权定价理论。

内页插图

目录

第一章 预备知识
1．1 可测结构
1．2 随机变量与收敛性
1．3 特征函数
1．4 条件数学期望
1．5 习题与解答

第二章 鞅论基础
2．1 离散时间鞅
2．2 流与停时
2．3 连续时间鞅
2．4 习题与解答

第三章 Brown运动
3．1 随机过程与无穷维空间上的概率测度
3．2 热核半群与Brown运动
3．3 Brown运动的构造
3．4 Brown运动的性质
3．5 Brown运动的变差
3．6 习题与解答

第四章 Ito积分
4．1 引论
4．2 经典随机积分
4．3 二次变差过程
4．4 连续鞅的随机积分
4．4．1 关于连续平方可积鞅的随机积分
4．4．2 Kunita-Watanabe不等式
4．4．3 扩展至连续局部鞅
4．4．4 扩展至连续半鞅
4．5 习题与解答

第五章 Ito公式及其应用
5．1 Ito公式
5．2 Ito公式的应用
5．2．1 随机指数
5．2．2 Levy的Brown运动鞅刻画
5．2．3 连续局部鞅是Brown运动的时间变换
5．2．4 Girsanov定理
5．2．5 鞅表示定理
5．3 习题与解答

第六章 随机微分方程
6．1 引论
6．2 随机微分方程的一些例子
6．2．1 线性Gauss扩散
6．2．2 几何Brown运动
6．2．3 Cameron-Martin公式
6．3 随机微分方程基本定理
6．4 强解：存在唯一性
6．5 鞅与弱解
6．6 习题与解答
参考文献
索引

数学分析的严谨进阶：经典与现代的桥梁 书名：微积分的严谨基础与拓展 内容简介 本书旨在为读者构建一个坚实而深入的微积分知识体系，它不仅是对高中阶段代数、几何和初等函数概念的系统梳理和提升，更是一次迈向量子分析、泛函分析乃至更高级数学分支的必要铺垫。全书结构紧凑，逻辑严密，力求在保持数学严谨性的同时，兼顾教学的直观性和启发性。 第一部分：极限、连续性与拓扑预备 本部分专注于建立微积分的逻辑基石——实数系统。我们首先回顾并深入探讨了实数的完备性（如列表法、区间套定理、上确界原理），这是后续所有极限论证的出发点。我们将细致剖析数列的收敛性，引入 $epsilon-N$ 语言的规范用法，并通过实例展示如何利用极限的四则运算法则及夹逼定理来判定复杂数列的极限。 随后，讨论的焦点转向函数的性质。我们详细阐述了函数在点上的极限的精确定义，并重点分析了极限存在的充要条件，包括左右极限和无穷极限的判断。在连续性方面，本书超越了传统“不间断曲线”的直观描述，转而采用 $epsilon-delta$ 语言来刻画点态连续性。在此基础上，我们系统地证明了闭区间上连续函数的四大基本性质（有界性、最大最小值定理、介值定理），这些定理是后续积分理论和微分中值定理的理论基础。 为了更好地理解函数的“接近”和“收敛”，我们引入了初步的拓扑概念，如开集、闭集、邻域和紧集（有限覆盖引理的直观应用），为后续讨论更广阔空间中的收敛性做好了思想准备，但讨论的范围严格限定在 $mathbb{R}^n$ 空间内。 第二部分：导数与中值定理的深度探究 本部分是微积分的核心。我们从导数的定义出发，强调了导数作为“局部线性逼近”的几何和代数意义。不同于仅计算导数，本书花费大量篇幅讲解如何利用导数的定义来处理不可导点（如尖点、跳跃点）的分析。 微分中值定理是本部分的重中之重。我们不仅陈述并证明了罗尔（Rolle）定理、拉格朗日（Lagrange）中值定理和柯西（Cauchy）中值定理，更重要的是，我们深入探讨了这些定理在证明函数不等式、确定函数单调性、凹凸性以及极值判定中的关键作用。特殊关注洛必达（L'Hôpital）法则的应用，并讨论了其适用条件（如需满足的连续性和可微性要求），避免盲目套用。 泰勒公式的展开被视为函数局部近似理论的最高成就。本书详细区分了佩亚诺（Peano）余项和拉格朗日余项的适用场景，并通过高阶泰勒多项式来逼近特殊函数（如 $sin x, e^x, ln(1+x)$）的展开式，同时探讨了函数解析性的概念——即函数是否可以局部表示为其泰勒级数。 第三部分：黎曼积分的理论构建与应用 积分理论的引入，标志着读者从“变化率”分析转向“累积量”分析。本书严格遵循黎曼积分（Riemann Integral）的构造过程。我们首先定义了上和与下和，阐述了可积性的充要条件（例如，有界函数在有界闭区间上，其间断点集合必须是可数集）。 在证明了积分的线性性、保序性以及积分与导数之间的基本关系（牛顿-莱布尼茨公式）之后，我们着重分析了广义积分（Improper Integrals）。广义积分的讨论细致入微，涵盖了积分区间为无穷大以及被积函数存在无穷间断点的情况。我们引入了狄利克雷判别法和阿贝尔判别法来严格判断这些广义积分的敛散性，而非仅仅依赖直觉。 第四部分：序列与级数的收敛性分析 本部分将单变量分析推广到无穷项求和。我们从数列的极限的严格定义开始，平稳过渡到函数项序列与函数项级数的讨论。 在函数项序列方面，我们详细区分了逐点收敛（Pointwise Convergence）和一致收敛（Uniform Convergence）的本质区别。我们通过构造反例（如三角函数序列在特定点上的不连续性）清晰地揭示了逐点收敛不能保证极限函数的连续性或可积性。 一致收敛性被提升到核心地位。本书系统地证明了，一致收敛是保证极限运算（取极限、求导、积分）与级数运算可以交换顺序的充分条件，尤其强调了 Weierstrass 判别法在判定幂级数一致收敛范围中的作用。 最后，我们深入分析了幂级数的展开、收敛半径的确定（比值判别法和根值判别法）以及如何在收敛区间内对幂级数进行积分和求导。这为后续学习傅里叶分析和微分方程中的级数解法奠定了不可或缺的分析基础。 总结 本书的编写目标是培养读者对数学概念的深刻洞察力和严谨的逻辑推理能力。它要求读者不仅掌握计算技巧，更要理解这些技巧背后的数学原理和适用边界，为未来深入学习高阶分析课程做好充分的准备。全书力求在严密性和可读性之间达到完美的平衡。