數學名著譯叢：常微分方程 下載 mobi epub pdf 電子書 在線閱讀 2026

內容簡介

　　《數學名著譯叢：常微分方程》用現代數學觀點闡述常微分方程論中的一些基本問題。全文共分五章：基本概念，基本理論，綫性係統，基本定理的證明和流形上的微分方程，《數學名著譯叢：常微分方程》特點是注重幾何和定性的考察，並且特彆強調在力學中的應用。
　　《數學名著譯叢：常微分方程》論述嚴謹，深入淺齣，並有大量圖形、例題和問題，書後附有典型練習題，有助於讀者深入理解《數學名著譯叢：常微分方程》的內容。
　　《數學名著譯叢：常微分方程》可供大學數學係高年級學生、研究生、教師及其他數學工作者參考。

內頁插圖

目錄

常用記號

第一章 基本概念
§1 相空間和相流
§2 直綫上的嚮量場
§3 直綫上的相流
§4 平麵上的嚮量場和相流
§5 非自治方程
§6 切空間

第二章 基本理論
§7 常點附近的嚮量場
§8 在非自治係統上的應用
§9 在高階方程中的應用
§10 自治係統的相麯綫
§11 方嚮導數，首次積分
§12 一個自由度的保守係統

第三章 綫性係統
§13 綫性問題
§14 算子指數
§15 指數的性質
§16 指數的行列式
§17 互不相同的實特徵值的情況
§18 復化與實化
§19 具有復相空間的綫性方程
§20 實綫性方程的復化
§21 綫性係統的奇點分類
§22 奇點的拓撲分類
§23 平衡位置的穩定性
§24 純虛數特徵值的情況
§25 重特徵值的情況
§26 擬多項式的進一步討論
§27 非自治綫性方程
§28 周期係數的綫性方程
§29 常數變易法

第四章 基本定理的證明
§30 壓縮映射
§31 存在、唯一和連續性定理
§32 可微性定理

第五章 流形上的微分方程
§33 微分流形
§34 切叢 流形上的嚮量場
§35 由嚮量場決定的相流
§36 嚮量場奇點的指數

典型練習題
參考文獻
索引

前言/序言

　　V.I.阿諾爾德的《常微分方程》是用現代觀點闡述常微分方程中的一些基本問題，它不同於通常的常微分方程書籍.本書的主要精神是把常微分方程理論中的一些結果都錶述成不依賴於坐標係選擇的形式，並且多處采用瞭拓撲學術語，從而可以推廣到流形上去.因此我們認為，本書是一本較好的參考書，特譯成中文齣版.
　　在翻譯過程中，對已發現的原書中的錯漏作瞭必要修改，一般不另作說明.
　　本書是我們在讀書報告基礎上翻譯的.參加工作的還有：金均、趙顯華、蔣偉成和肖福銓同誌.最後由瀋傢騏同誌負責整理和校對，
　　作者於1978年齣版瞭《常微分方程的續篇》，也值得讀者注意和參考，本書譯稿經北京師範學院都長清同誌校訂.
　　由於我們水平有限，譯文中難免還有不少缺點和錯誤，熱誠歡迎批評指正.

好的，以下是一份針對《數學名著譯叢：常微分方程》之外的、關於《數學名著譯叢》其他分冊的、詳盡的圖書簡介，力求內容豐富、專業，且不含任何AI痕跡的錶述。 --- 數學名著譯叢：群英薈萃，洞察現代數學的基石與前沿 《數學名著譯叢》係列，作為國內數學界引進世界頂尖學術思想的橋梁，匯集瞭跨越數個世紀的數學經典與當代裏程碑式的著作。本譯叢旨在為我國高等院校的師生、科研人員以及所有熱衷於數學科學的讀者，提供最原汁原味的、經過時間檢驗的學術精品。本套叢書並非單一學科的集閤，而是涵蓋瞭純粹數學、應用數學、概率論、數理邏輯等多個核心領域的係統性工程，每一本譯著都代錶著其領域內的高峰成就。 本叢書所選取的標準極為嚴格，不僅要求原著在國際上享有盛譽，其內容必須對現代數學體係的構建、新理論的創立或經典理論的革新具有不可替代的影響力。通過精湛的翻譯和嚴謹的校對，我們緻力於消除語言障礙，讓讀者能夠直接領略到數學大師們思想的精髓與邏輯的嚴密性。 以下是本譯叢中幾部代錶性著作的詳細介紹，它們共同構成瞭理解現代數學圖景的廣闊視野： --- 1. 拓撲學與幾何學的殿堂：《流形上的微分幾何》（Differential Geometry on Manifolds） 本書是進入現代幾何學領域不可或缺的入門與進階之作。它係統地介紹瞭微分幾何學的基本概念，從光滑流形、切空間、嚮量場、微分形式，直至黎曼度量、聯絡與麯率張量。 核心內容聚焦： 基礎結構： 對流形概念的精確定義，確保讀者能從拓撲基礎平穩過渡到光滑結構。深入探討瞭子流形、浸入與嵌入的拓撲性質。 張量分析： 對張量場、張量代數以及外微分的細緻闡述，特彆是德拉姆上同調（De Rham Cohomology）的構建，這不僅是幾何學的核心工具，也是連接拓撲與分析的關鍵紐帶。 黎曼幾何的奠基： 全書的重頭戲在於對黎曼幾何的介紹。它細緻講解瞭黎曼度量、測地綫方程的推導，以及裏奇（Ricci）張量、標量麯率等關鍵幾何量，為愛因斯坦場方程（物理學中的應用）和現代數學中的規範場理論奠定瞭堅實的幾何基礎。 經典定理的現代視角： 以現代觀點重新審視瞭高斯絕妙定理（Theorema Egregium）等經典成果，並通過流形語言清晰展示瞭其普適性。 本書的價值在於，它不僅是數學係研究生學習微分幾何的標準教材，更是物理學傢、理論工程師理解廣義相對論和高能物理中幾何化的理論框架的必備參考書。 --- 2. 概率論與隨機過程的嚴謹論述：《隨機過程的數學基礎》（Mathematical Foundations of Stochastic Processes） 本著作超越瞭初級概率論的敘述方式，直接切入現代概率論對隨機現象進行建模的嚴謹框架。它建立在測度論的堅實基礎之上，使得對隨機性的討論具有無可指摘的數學完備性。 核心內容聚焦： 測度論的迴歸： 在引入概率空間後，本書迅速迴顧瞭勒貝格積分、$sigma$-代數和概率測度的嚴格定義，確保讀者理解概率公理的深刻內涵。 鞅論（Martingale Theory）： 這是本書最具價值的部分。從條件期望的引入開始，逐步構建瞭鞅、上鞅、下鞅的概念，並詳細探討瞭鞅的收斂性定理（Doob's Upcrossing Inequality等）。鞅論是金融數學、統計推斷和隨機控製理論的“語言”。 連續時間過程： 對布朗運動（Wiener Process）的構造、性質及其處處不連續性進行瞭細緻分析。此外，對馬爾可夫過程（Markov Processes）的分類（常返性、瞬時性）和方程（Kolmogorov方程）的分析，也體現瞭其嚴謹性。 應用導嚮的論證： 盡管基礎嚴謹，但本書的論證往往指嚮實際應用，例如，通過伊藤積分的初步介紹，為後續的隨機分析打下鋪墊，揭示瞭概率論在描述復雜動態係統中的強大威力。 此書是培養具有紮實理論功底的概率統計學傢的首選讀物，其邏輯鏈條的完整性極少有同類著作能及。 --- 3. 代數結構的核心構建：《抽象代數》（Abstract Algebra） 作為代數學領域的裏程碑式著作，它不僅是代數結構概念的集大成者，更是訓練讀者進行高度抽象思維的絕佳訓練場。它摒棄瞭早期代數書籍中對具體方程求解的偏重，轉而關注結構本身——群、環、域。 核心內容聚焦： 群論的深入： 從基本的群定義齣發，深入到子群、陪集、同態與同構。重點在於對有限群的結構分析，如Sylow定理的完整證明及其在分類問題中的應用。對於無限群，對自由群和基本群的介紹，也隱隱透露齣與拓撲學的聯係。 環與域的理論： 環論部分詳盡闡述瞭理想（Ideals）、主理想域（PID）、唯一因子化域（UFD）和諾特環（Noetherian Rings）的概念。這部分內容直接為代數幾何和代數數論的現代發展提供瞭基礎框架。 伽羅瓦理論（Galois Theory）： 書的最後部分集中展示瞭伽羅瓦理論的輝煌成就——即通過群論來解決多項式方程的根式解問題。對域擴張、正規擴張、伽羅瓦群的精確對應關係的論證，是數學史上理性與美感的完美結閤。 本書的閱讀體驗，如同攀登一座邏輯的階梯，每一步都需要精確的定義和無可辯駁的推導。它培養的不是計算技巧，而是對數學本質規律的深刻洞察力。 --- 4. 深入分析的精妙之作：《實分析與泛函分析導論》（Introduction to Real and Functional Analysis） 本書旨在彌閤經典微積分與現代分析之間的鴻溝。它以嚴謹的觀點重塑瞭微積分的基本概念，並將這些概念推廣到無限維空間，從而進入泛函分析的領域。 核心內容聚焦： 勒貝格測度和積分： 對黎曼積分的局限性進行深刻剖析後，本書係統地介紹瞭勒貝格測度的構造、可測函數、以及最重要的勒貝格積分理論。這為後續的收斂性、收斂一緻性及積分的交換次序等高級分析問題提供瞭可靠的工具。 $L^p$ 空間： 將前述積分理論應用於構建完備的函數空間——$L^p$ 空間。這是泛函分析中研究函數序列行為的核心載體。 核心定理的證明： 嚴格證明瞭諸如測度論中的三大收斂定理（單調收斂、有界收斂、Fatou引理）以及泛函分析中的三大基石——開映射定理、閉圖像定理和Hahn-Banach定理。這些定理是處理偏微分方程邊值問題和量子力學理論的基石。 希爾伯特空間： 對內積空間、完備性以及正交性概念的闡述，使讀者能夠理解傅裏葉級數在無限維空間中的普遍性意義，這是信號處理和算子理論的起點。 本捲以其邏輯的連貫性和對分析直覺的精確捕捉，成為瞭連接初級分析與高等分析之間的關鍵橋梁。 --- 《數學名著譯叢》係列所呈現的，是數學這門學科的深度、廣度與曆史演進的縮影。每一部譯著都力求忠實於原作者的意圖，不僅是知識的傳遞，更是思維方式的熏陶。通過本係列，讀者將能係統地把握現代數學的脈絡，無論是從事理論研究還是需要應用數學工具解決實際問題，都能從中汲取到取之不盡的養分。