現代數學基礎叢書·典藏版14：辛幾何引論 下載 mobi epub pdf 電子書 在線閱讀 2026

內容簡介

　　辛幾何是近十幾年發展起來的新的重要數學分支。《現代數學基礎叢書·典藏版14：辛幾何引論》是辛幾何（辛流形）的入門性讀物。《現代數學基礎叢書·典藏版14：辛幾何引論》共分六章，分彆是：代數基礎，辛流形，餘切叢，辛G-空間，Poisson流形，一個分級情形。前三章是重要的基本概念，後三章論述有關的應用。
　　《現代數學基礎叢書·典藏版14：辛幾何引論》可供大學高年級學生、研究生以及幾何、群論、分析、特彆是微分方程方麵的研究工作者參考。

內頁插圖

目錄

第一章 代數基礎
§1．反對稱形式
§2．辛嚮量空間，辛基底
§3．sl（2，k）在辛嚮量空間上的反對稱形式代數中的標準綫性錶示
§4．辛群
§5．辛復結構

第二章 辛流形
§6．流形上的辛結構
§7．辛流形上的微分形式代數的算子
§8．辛坐標
§9．Hamilton嚮量場和辛嚮量場
§10．辛坐標下的Poisson括號
§11．辛流形的子流形

第三章 餘切叢
§12．Liouville形式和餘切叢上的標準辛結構
§13．餘切叢上的辛嚮量場
§14．餘切叢的Lagrange子流形

第四章 辛G-空問
§15．定義和例子
§16．Hamilton g-空間和矩射
§17．矩射的等價不變性

第五章 Poisson流形
§18．Poisson流形的結構
§19．Poisson流形的葉子
§20．Lie代數的對偶上的Poisson結構

第六章 一個分級情形
§21．（0，n）維超流形
§22．（0，n）維辛超流形
參考文獻
名詞索引
記號

前言/序言

　　1983年春，我應邀在南開大學講學，本書就是在這次講學的內容的基礎上，由鄒異明翻譯整理，稍加修改寫成的，我們希望通過這樣一本入門性質的書嚮讀者介紹辛流形的理論。
　　分析力學的發展為辛結構提供瞭基本概念，辛結構這一術語在相當大的程度上來源於分析力學，但在本書中，並未深入探討幸結構理論在力學方麵的應用，而且對於這個理論的一些重要的方麵，特彆是在分析學上的應用，本書亦未論及。關於這些問題，請讀者參閱文獻【1】，【2】，【7】和【26】。本書著重討論具有辛結構的流形的微分性質。
　　本書的第一章討論嚮量空間的辛結構，第二章討論辛流形，嚮讀者介紹瞭基本概念和基本結果，在這一章中，我們盡可能早地證明辛坐標的存在性（Darboux定理），這樣做的目的是使讀者能夠在隨後的論述中看齣我們所給齣的公式的重要性。辛流形上的可微函數和辛結構的無窮小自同構的聯係，是辛流形理論的基礎，關於這方麵的內容，將在§9和§10中加以討論。這一章以有關辛流形的子流形，特彆是Lagrange子流形的一些結果作為結尾。
　　在餘切叢上存在標準辛結構這一事實，闡明瞭大量的與辛結構有關的問題，第三章介紹關於餘切叢和餘切叢上的辛嚮量場的結果。
　　第四章討論辛G空間，即討論具有在某一Lie群G的作用下不變的辛結構的辛流形。對於這樣的辛流形，一種我們稱之為矩射的映射嚮我們提供瞭一個有效的研究方法。關於辛G空間的討論，是辛流形理論的一個內容十分豐富的方麵，其中還有許多值得進一步研究的問題。

現代數學基礎叢書·典藏版15：黎曼幾何引論 （注意：本簡介描述的是《現代數學基礎叢書·典藏版15：黎曼幾何引論》，並非您提到的《現代數學基礎叢書·典藏版14：辛幾何引論》） 叢書背景與定位 “現代數學基礎叢書”曆經數十年修訂與再版，始終緻力於為高年級本科生、研究生以及一綫研究人員提供深入、嚴謹且具有啓發性的數學前沿導論。典藏版係列旨在保留經典內容體係的同時，融入最新的數學發展視角與現代化的錶達方式，確保其作為數學學習和研究的權威參考書的地位。本冊《黎曼幾何引論》正是該叢書體係中至關重要的一環，它承接瞭微分幾何的基礎，為深入研究廣義相對論、拓撲學、微分方程、甚至理論物理學中的非綫性動力學提供瞭必備的幾何框架。 本書核心內容聚焦：黎曼幾何的構建與精髓 本書並非對黎曼幾何知識點的簡單羅列，而是一部係統梳理其內在邏輯、概念起源與核心工具的專著。它采取瞭由淺入深、螺鏇上升的敘述策略，確保讀者能夠紮實地掌握從概念定義到高級定理證明的每一個關鍵步驟。 第一部分：預備知識的重塑與提升 在正式進入黎曼幾何的殿堂之前，本書首先對必要的拓撲學、微分流形基礎（包括嚮量場、張量代數、張量場、微分形式的內積與楔積）進行瞭深入的迴顧與提升。作者特彆強調瞭“切空間”與“切叢”的精確理解，認為這是構造黎曼度量的基石。對流形的構造性描述，而非僅僅停留在局部坐標的依賴上，是本書初期奠定的核心思想。 第二部分：黎曼度量的定義與基本結構 本書的核心起點在於黎曼度量（Riemannian Metric）的引入。作者詳細闡述瞭如何在光滑流形上定義一個正定的、光滑變化的內積——即黎曼度量 $g$。隨後，重點探討瞭度量如何誘導齣長度、角度、體積、麵積等所有內在幾何量。 測地綫（Geodesics）的引入： 測地綫是黎曼幾何中最基本的“直綫”概念。本書通過能量泛函的變分原理（歐拉-拉格朗日方程）和 Levi-Civita 聯絡的構造來定義測地綫方程。此處對 Levi-Civita 聯絡的獨特性——即保持度量兼容性和無撓性的要求——給予瞭詳盡的代數與幾何證明。 聯絡與麯率的代數錶達： 引入瞭協變導數（Covariant Derivative），這是衡量嚮量場在流形上“平行移動”特性的關鍵工具。基於協變導數，本書係統地導齣瞭 黎曼麯率張量（Riemann Curvature Tensor）。 第三部分：麯率的深度剖析與幾何直觀 黎曼麯率張量是黎曼幾何的靈魂。本書花費瞭大量的篇幅，從代數形式深入到幾何直觀的解釋。 截麵麯率（Sectional Curvature）： 詳細解釋瞭截麵麯率如何量化特定切平麵上的局部高斯麯率，這是連接代數張量與實際空間彎麯程度的橋梁。 裏奇麯率（Ricci Curvature）與標量麯率（Scalar Curvature）： 闡述瞭這些張量如何在更高維度上捕捉平均彎麯度的信息，並明確瞭它們在愛因斯坦場方程中的關鍵作用。 等距、等麯率流形： 分析瞭具有恒定截麵麯率的流形（如球麵、雙麯空間）的分類，這是歐幾裏得幾何、球麵幾何和雙麯幾何在統一框架下的體現。 第四部分：拓撲與幾何的交織——經典定理 本書的後半部分著重探討瞭拓撲性質如何受到黎曼度量和麯率的約束。 指數映射（Exponential Map）： 作為一個強大的局部工具，指數映射被用於構建局部坐標係和證明關於測地綫完備性的定理。 測地綫完備性（Geodesic Completeness）： 探討瞭在何種條件下，流形上的所有測地綫可以被無限延長，這是拓撲結構與幾何結構的深刻關聯點。 高斯-邦內定理（Gauss-Bonnet Theorem）： 本書對此定理的證明進行瞭經典的、基於微分形式的推導，展示瞭麯率的積分性質如何與流形的拓撲不變量（如 Euler 特徵數）相關聯。對於二維流形，這一定理是幾何與拓撲的完美交匯點。 第五部分：進階專題選講 為滿足研究生的需求，本書在最後選取瞭幾個關鍵的進階主題進行介紹： 極小麯麵（Minimal Surfaces）： 雖然是歐幾裏得空間中的概念，但在黎曼流形上其概念的推廣（Mean Curvature Vector）及其變分原理的討論，為理解調和映射提供瞭重要背景。 外微分係統的應用： 再次強化瞭微分形式在處理麯率方程、聯絡形式和結構方程中的簡潔與強大，展示瞭 Cartan 移動標架法（Moving Frame Method）的威力。 本書的特色與讀者對象 本書的敘述風格嚴謹而不失清晰，大量使用幾何圖像和直觀解釋來輔助抽象的代數推導，避免瞭純粹“公式堆砌”的弊端。它不僅要求讀者熟悉綫性代數和微積分，更鼓勵讀者用幾何的思維去理解張量分析。 本書特彆適閤： 1. 數學專業高年級本科生及研究生： 作為黎曼幾何課程的權威教材。 2. 理論物理（尤其是廣義相對論）研究人員： 作為理解時空幾何框架的堅實基礎。 3. 微分拓撲和幾何分析領域的學者： 作為查閱核心公式和經典證明的參考手冊。 通過係統學習本書內容，讀者將能夠熟練運用黎曼幾何的工具，為進一步探索如卡拉比-丘流形、辛幾何（辛結構與黎曼結構的交集）、或微分幾何的更高級分支打下不可動搖的基礎。