现代数学基础丛书·典藏版14：辛几何引论 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

内容简介

　　辛几何是近十几年发展起来的新的重要数学分支。《现代数学基础丛书·典藏版14：辛几何引论》是辛几何（辛流形）的入门性读物。《现代数学基础丛书·典藏版14：辛几何引论》共分六章，分别是：代数基础，辛流形，余切丛，辛G-空间，Poisson流形，一个分级情形。前三章是重要的基本概念，后三章论述有关的应用。
　　《现代数学基础丛书·典藏版14：辛几何引论》可供大学高年级学生、研究生以及几何、群论、分析、特别是微分方程方面的研究工作者参考。

内页插图

目录

第一章 代数基础
§1．反对称形式
§2．辛向量空间，辛基底
§3．sl（2，k）在辛向量空间上的反对称形式代数中的标准线性表示
§4．辛群
§5．辛复结构

第二章 辛流形
§6．流形上的辛结构
§7．辛流形上的微分形式代数的算子
§8．辛坐标
§9．Hamilton向量场和辛向量场
§10．辛坐标下的Poisson括号
§11．辛流形的子流形

第三章 余切丛
§12．Liouville形式和余切丛上的标准辛结构
§13．余切丛上的辛向量场
§14．余切丛的Lagrange子流形

第四章 辛G-空问
§15．定义和例子
§16．Hamilton g-空间和矩射
§17．矩射的等价不变性

第五章 Poisson流形
§18．Poisson流形的结构
§19．Poisson流形的叶子
§20．Lie代数的对偶上的Poisson结构

第六章 一个分级情形
§21．（0，n）维超流形
§22．（0，n）维辛超流形
参考文献
名词索引
记号

前言/序言

　　1983年春，我应邀在南开大学讲学，本书就是在这次讲学的内容的基础上，由邹异明翻译整理，稍加修改写成的，我们希望通过这样一本入门性质的书向读者介绍辛流形的理论。
　　分析力学的发展为辛结构提供了基本概念，辛结构这一术语在相当大的程度上来源于分析力学，但在本书中，并未深入探讨幸结构理论在力学方面的应用，而且对于这个理论的一些重要的方面，特别是在分析学上的应用，本书亦未论及。关于这些问题，请读者参阅文献【1】，【2】，【7】和【26】。本书着重讨论具有辛结构的流形的微分性质。
　　本书的第一章讨论向量空间的辛结构，第二章讨论辛流形，向读者介绍了基本概念和基本结果，在这一章中，我们尽可能早地证明辛坐标的存在性（Darboux定理），这样做的目的是使读者能够在随后的论述中看出我们所给出的公式的重要性。辛流形上的可微函数和辛结构的无穷小自同构的联系，是辛流形理论的基础，关于这方面的内容，将在§9和§10中加以讨论。这一章以有关辛流形的子流形，特别是Lagrange子流形的一些结果作为结尾。
　　在余切丛上存在标准辛结构这一事实，阐明了大量的与辛结构有关的问题，第三章介绍关于余切丛和余切丛上的辛向量场的结果。
　　第四章讨论辛G空间，即讨论具有在某一Lie群G的作用下不变的辛结构的辛流形。对于这样的辛流形，一种我们称之为矩射的映射向我们提供了一个有效的研究方法。关于辛G空间的讨论，是辛流形理论的一个内容十分丰富的方面，其中还有许多值得进一步研究的问题。

现代数学基础丛书·典藏版15：黎曼几何引论 （注意：本简介描述的是《现代数学基础丛书·典藏版15：黎曼几何引论》，并非您提到的《现代数学基础丛书·典藏版14：辛几何引论》） 丛书背景与定位 “现代数学基础丛书”历经数十年修订与再版，始终致力于为高年级本科生、研究生以及一线研究人员提供深入、严谨且具有启发性的数学前沿导论。典藏版系列旨在保留经典内容体系的同时，融入最新的数学发展视角与现代化的表达方式，确保其作为数学学习和研究的权威参考书的地位。本册《黎曼几何引论》正是该丛书体系中至关重要的一环，它承接了微分几何的基础，为深入研究广义相对论、拓扑学、微分方程、甚至理论物理学中的非线性动力学提供了必备的几何框架。 本书核心内容聚焦：黎曼几何的构建与精髓 本书并非对黎曼几何知识点的简单罗列，而是一部系统梳理其内在逻辑、概念起源与核心工具的专著。它采取了由浅入深、螺旋上升的叙述策略，确保读者能够扎实地掌握从概念定义到高级定理证明的每一个关键步骤。 第一部分：预备知识的重塑与提升 在正式进入黎曼几何的殿堂之前，本书首先对必要的拓扑学、微分流形基础（包括向量场、张量代数、张量场、微分形式的内积与楔积）进行了深入的回顾与提升。作者特别强调了“切空间”与“切丛”的精确理解，认为这是构造黎曼度量的基石。对流形的构造性描述，而非仅仅停留在局部坐标的依赖上，是本书初期奠定的核心思想。 第二部分：黎曼度量的定义与基本结构 本书的核心起点在于黎曼度量（Riemannian Metric）的引入。作者详细阐述了如何在光滑流形上定义一个正定的、光滑变化的内积——即黎曼度量 $g$。随后，重点探讨了度量如何诱导出长度、角度、体积、面积等所有内在几何量。 测地线（Geodesics）的引入： 测地线是黎曼几何中最基本的“直线”概念。本书通过能量泛函的变分原理（欧拉-拉格朗日方程）和 Levi-Civita 联络的构造来定义测地线方程。此处对 Levi-Civita 联络的独特性——即保持度量兼容性和无挠性的要求——给予了详尽的代数与几何证明。 联络与曲率的代数表达： 引入了协变导数（Covariant Derivative），这是衡量向量场在流形上“平行移动”特性的关键工具。基于协变导数，本书系统地导出了 黎曼曲率张量（Riemann Curvature Tensor）。 第三部分：曲率的深度剖析与几何直观 黎曼曲率张量是黎曼几何的灵魂。本书花费了大量的篇幅，从代数形式深入到几何直观的解释。 截面曲率（Sectional Curvature）： 详细解释了截面曲率如何量化特定切平面上的局部高斯曲率，这是连接代数张量与实际空间弯曲程度的桥梁。 里奇曲率（Ricci Curvature）与标量曲率（Scalar Curvature）： 阐述了这些张量如何在更高维度上捕捉平均弯曲度的信息，并明确了它们在爱因斯坦场方程中的关键作用。 等距、等曲率流形： 分析了具有恒定截面曲率的流形（如球面、双曲空间）的分类，这是欧几里得几何、球面几何和双曲几何在统一框架下的体现。 第四部分：拓扑与几何的交织——经典定理 本书的后半部分着重探讨了拓扑性质如何受到黎曼度量和曲率的约束。 指数映射（Exponential Map）： 作为一个强大的局部工具，指数映射被用于构建局部坐标系和证明关于测地线完备性的定理。 测地线完备性（Geodesic Completeness）： 探讨了在何种条件下，流形上的所有测地线可以被无限延长，这是拓扑结构与几何结构的深刻关联点。 高斯-邦内定理（Gauss-Bonnet Theorem）： 本书对此定理的证明进行了经典的、基于微分形式的推导，展示了曲率的积分性质如何与流形的拓扑不变量（如 Euler 特征数）相关联。对于二维流形，这一定理是几何与拓扑的完美交汇点。 第五部分：进阶专题选讲 为满足研究生的需求，本书在最后选取了几个关键的进阶主题进行介绍： 极小曲面（Minimal Surfaces）： 虽然是欧几里得空间中的概念，但在黎曼流形上其概念的推广（Mean Curvature Vector）及其变分原理的讨论，为理解调和映射提供了重要背景。 外微分系统的应用： 再次强化了微分形式在处理曲率方程、联络形式和结构方程中的简洁与强大，展示了 Cartan 移动标架法（Moving Frame Method）的威力。 本书的特色与读者对象 本书的叙述风格严谨而不失清晰，大量使用几何图像和直观解释来辅助抽象的代数推导，避免了纯粹“公式堆砌”的弊端。它不仅要求读者熟悉线性代数和微积分，更鼓励读者用几何的思维去理解张量分析。 本书特别适合： 1. 数学专业高年级本科生及研究生： 作为黎曼几何课程的权威教材。 2. 理论物理（尤其是广义相对论）研究人员： 作为理解时空几何框架的坚实基础。 3. 微分拓扑和几何分析领域的学者： 作为查阅核心公式和经典证明的参考手册。 通过系统学习本书内容，读者将能够熟练运用黎曼几何的工具，为进一步探索如卡拉比-丘流形、辛几何（辛结构与黎曼结构的交集）、或微分几何的更高级分支打下不可动摇的基础。