現代數學基礎叢書·典藏版103：綫性微分方程的非綫性擾動（第二版） 下載 mobi epub pdf 電子書 在線閱讀 2026

內容簡介

　　《現代數學基礎叢書·典藏版103：綫性微分方程的非綫性擾動（第二版）》靈活地運用多種非綫性分析工具，係統地論述瞭一些重要的常微分方程和偏微分方程邊值問題解的存在性。主要內容有非共振問題、共振問題、強共振問題、特徵綫問題及其擾動、非綫性常微分方程邊值問題正解、結點解的存在性和解集分支的全局結構。《現代數學基礎叢書·典藏版103：綫性微分方程的非綫性擾動（第二版）》在第一版的基礎上，新增瞭正算子及分歧，非綫性常微分方程邊值問題的正解，分歧理論在非綫性常微分方程邊值問題中的應用等內容。
　　《現代數學基礎叢書·典藏版103：綫性微分方程的非綫性擾動（第二版）》適閤高校數學及相關專業師生和科研人員閱讀。

內頁插圖

目錄

《現代數學基礎叢書》序
第二版前言
第一版前言

第1章 半綫性微分方程的現代方法簡介
1．1 綫性微分方程
1．1．1 綫性特徵值問題
1．1．2 Fredholm二擇一性質
1．1．3 綫性微分方程
1．2 Sobo1ev空間與嵌入定理
1．2．1 Sobolev空間
1．2．2 嵌入定理
1．2．3 n=1時的Sobolev空間
1．3 單調算子
1．3．1 單調算子的概念
1．3．2 單調算子的滿值性
1．3．3 凸泛函與其梯度算子
1．4 同胚的充分條件
1．5 常用的不動點定理
1．5．1 壓縮映射原理
1．5．2 Schauder不動點定理
1．5．3 Poincar6一Birklaoff不動點定理
1．6 含參方程的解集連通理論
1．6．1 解集為連通集的充分條件
1．6．2 解集中含有連通分支的條件
1．7 延拓定理
1．7．1 Leray-Schauder原琿
1．7．2 Mawhin延拓定理
1．8 變分方法
1．8．1 無約束極值點
1．8．2 Ekeland變分原理
1．8．3 極大極小原理
1．9 正算子理論
1．9．1 錐上的不動點定理
1．9．2 Celfand公式Krein-Rutrnan定理
1．10 分歧理論
附注I

第2章 綫性方程的不跨特徵值擾動
2．1 不跨特徵值問題研究概況
2．1．1 Dolph定理
2．1．2 一個趨勢
2．1．3 方程組的情形
2．2 抽象方程漸近一緻minimax方法
2．2．1 一個minimax定理
2．2．2 L2空間中的抽象結果
2．2．3 應用舉例
2．3 常微分方程組的周期解漸近非一緻Hadamard反函數定理
2．4 波方程漸近非一緻Mawhin延拓定理
2．4．1 主要定理
2．4．2 預備引理
2．4．3 定理2，4，1的證明
2．4．4 存在唯一性結果
2．5 橢圓方程漸近非一緻鞍點約化法
2．5．1 一對存在性結果
2．5．2 注記
2．6 Duffing方程漸近非一緻相平麵分析法
2．6．1 主要存在性結果
2．6．2 一個重要反例
2．6．3 預備引理
2．6．4 定理2．6．2的證明
2．6．5 Duffing方程27c-周期解的唯一性
附注Ⅱ

第3章 綫性方程的跨特徵值擾動
3．1 Lanolesman和Lazer·的結果有界非綫性項臨界點理論
3．1．1 一個抽象臨界點定理
3．1．2 Landesman和Lazer的結果
……
第4章 強共振和帶周期非綫性項的共振
第5章 特徵綫問題及其擾動
第6章 非綫性常微分方程邊值問題的正解
第7章 分歧理論在非綫性常微分方程邊值問題中的應用
參考文獻
《現代數學基礎叢書》已齣版書目

前言/序言

　　非綫性微分方程有著極為豐富的源泉，研究它的最基本方法是綫性方程的非綫性擾動，本書將討論幾種常見而重要的常微分方程和偏微分方程的可解性及多解的存在性問題，我們未拘泥於某一種非綫性分析方法，而采用靈活多樣的分析工具，如單調算子理論、不動點定理、解集連通理論、拓撲延拓定理及變分理論等。本書堅持先有方程，後找分析工具研究方程的思想，全書是依據擾動項的特徵進行分類的。
　　本書第1章是以後諸章的基礎，該章簡介綫性微分方程的基礎知識及一係列最必要的分析工具，這樣安排是為瞭便於讀者，因而對於已經熟悉瞭這部分內容的讀者，完全可以直接讀後幾章，有的讀者即使不完全熟悉這部分內容，但若有較好的數學基礎，也可先從後麵幾章讀起，遇到有關概念和定理時再翻閱這一章。
　　第2章論述綫性方程的不跨特徵值擾動，我們使用多種不同的分析方法，逐步實現擾動項由漸近一緻嚮漸近非一緻的過渡。
　　第3章在單調性假設、Landesman-Lazer條件及符號條件下討論綫性方程的跨特徵值擾動問題的一些結果。
　　第4章是強共振問題和帶周期函數擾動項的共振問題之專題討論。
　　第5章介紹廣義譜理論及另外一種與梁方程有關的四階兩參數特徵值問題。該章的中心問題是廣義特徵值問題的非綫性擾動的可解性。
　　每章之末以附注形式介紹有意義的工作和進展，書後的參考文獻是按章編排的。
　　本書雖有係統整理日益膨脹的文獻資料的目的，但無囊括一切成果的奢望，在內容選取上我們固然要介紹若乾重要的結果，但卻又偏重於近二十多年來的進展。由於這些材料至今仍分散在國內外的文獻之中，所以編寫過程中沒有現成的書可藉鑒，加之水平所限，成書倉促，疏漏和錯誤在所難免，真誠地歡迎讀者批評指正。

現代數學基礎叢書·典藏版102：微分方程的定性理論與應用 叢書係列： 現代數學基礎叢書·典藏版 分冊編號： 102 主題聚焦： 常微分方程的幾何與拓撲方法、動力係統基礎、穩定性分析 內容概述： 本書聚焦於常微分方程（Ordinary Differential Equations, ODEs）的定性理論，這是一門側重於研究方程解的整體行為、結構穩定性和長期演化規律的數學分支。不同於側重於尋找解析解的傳統方法，定性理論更多地運用幾何、拓撲和拓撲微分學工具來描述解的軌跡（流）在相空間中的形態。本書旨在為研究生、高級本科生以及從事應用數學、物理學、工程控製等領域研究的專業人士提供一套嚴謹而深刻的理論框架和豐富的應用實例。 第一部分：相空間與流的幾何基礎 本部分奠定瞭定性分析的數學基礎。首先，詳細介紹瞭二維自治係統的相平麵分析，包括平衡點的分類（鞍點、結點、焦點、中心）及其穩定性判斷。我們深入探討瞭奇點的李雅普諾夫意義下的穩定性理論，特彆是利用特徵值和李雅普諾夫函數來區分漸近穩定性和指數穩定性。 李雅普諾夫穩定性理論的深化： 重點闡述瞭李雅普諾夫第一法（綫性化方法）的局限性，並詳細介紹瞭李雅普諾夫第二法（直接法）。本書通過構造適當的李雅普諾夫函數，處理瞭許多經典係統（如Lotka-Volterra模型、範德波爾振蕩器）的全局漸近穩定性問題，強調瞭構造有效李雅普諾夫函數的技巧性與重要性。 拓撲概念的引入： 簡要介紹瞭流（Flow）的概念，並探討瞭拓撲共軛、結構穩定性等拓撲性質。這為後續理解復雜係統中的分岔現象提供瞭必要的背景知識。 第二部分：極限環與周期解的研究 周期解是許多振動、振蕩現象背後的數學模型。本部分集中討論瞭在相空間中封閉軌道的存在性、唯一性和穩定性問題。 極限環的存在性： 詳細迴顧瞭龐加萊-霍普夫環麵上關於極限環的必要條件。重點講解瞭龐加萊-霍普夫指標理論在二維係統中的應用，用於確定環域內極限環的數量。 Bendixson-Dulac 判據： 深入分析瞭Bendixson-Dulac判據，該判據是證明在特定區域內不存在極限環的有力工具。本書提供瞭該判據在穩定振蕩器分析中的應用案例。 極限環的穩定性與吸引性： 討論瞭極限環的穩定性分析，包括其吸引區域（捕獲域）的確定。 第三部分：高維係統與復雜現象的初探 隨著維度增加，係統的行為變得愈發復雜，本書引入瞭理解混沌行為的基礎工具。 龐加萊截麵： 針對高維自治係統，介紹瞭龐加萊截麵的構造方法。通過分析截麵上的映射，可以將自治係統轉化為延拓的非自治係統，簡化分析難度，並用於識彆周期軌道和混沌行為的證據。 不變集與吸引子： 定義瞭不變集的概念，並深入探討瞭吸引子的拓撲結構。特彆關注瞭奇異吸引子的概念，為理解復雜動力學（如蝴蝶效應）的幾何基礎做鋪墊。 分岔理論的幾何視角（基礎）： 本部分提供瞭分岔理論的初步幾何理解。分岔被視為係統參數變化時，相空間中平衡點或周期解的性質發生劇烈變化的現象。我們通過分析參數依賴的雅可比矩陣的特徵值變化，闡釋瞭Hopf分岔和鞍結分岔的幾何錶現。 第四部分：應用模型與計算方法 本書最後部分結閤實際應用，展示瞭定性理論在建模中的強大威力。 生物動力學模型： 分析瞭基本的捕食者-被捕食者模型（如Lotka-Volterra係統）的穩定性和相圖，並探討瞭包含競爭或疾病傳播的更復雜生態模型的定性特徵。 控製理論中的應用： 展示瞭穩定性理論如何指導控製係統的設計，特彆是關於係統閉環穩定性的分析。 數值與定性分析的結閤： 強調瞭現代計算工具在初步探索係統行為和輔助李雅普諾夫函數構造方麵的作用，但始終堅持核心的理論分析方法。 本書特點： 1. 嚴謹性與直觀性並重： 理論推導力求嚴密，同時配有大量的二維和三維相圖示例，幫助讀者建立幾何直覺。 2. 理論深度適中： 避免過度陷入抽象的拓撲動力學，而是聚焦於常微分方程解的定性分析中應用最廣泛的核心工具。 3. 強調物理意義： 每一個數學概念的引入都緊密結閤瞭其所代錶的物理或工程現象。 目標讀者： 理論物理、應用數學、流體力學、自動控製、生物數學等領域的研究生和科研人員。 --- 此書是叢書體係中對常微分方程整體結構與長期行為進行深入研究的基石性著作，與側重於解析技巧和微擾方法（如綫性擾動理論）的相鄰分冊構成互補關係。