现代数学基础丛书·典藏版103：线性微分方程的非线性扰动（第二版） pdf epub mobi txt 电子书 下载 在线阅读 2026

内容简介

　　《现代数学基础丛书·典藏版103：线性微分方程的非线性扰动（第二版）》灵活地运用多种非线性分析工具，系统地论述了一些重要的常微分方程和偏微分方程边值问题解的存在性。主要内容有非共振问题、共振问题、强共振问题、特征线问题及其扰动、非线性常微分方程边值问题正解、结点解的存在性和解集分支的全局结构。《现代数学基础丛书·典藏版103：线性微分方程的非线性扰动（第二版）》在第一版的基础上，新增了正算子及分歧，非线性常微分方程边值问题的正解，分歧理论在非线性常微分方程边值问题中的应用等内容。
　　《现代数学基础丛书·典藏版103：线性微分方程的非线性扰动（第二版）》适合高校数学及相关专业师生和科研人员阅读。

内页插图

目录

《现代数学基础丛书》序
第二版前言
第一版前言

第1章 半线性微分方程的现代方法简介
1．1 线性微分方程
1．1．1 线性特征值问题
1．1．2 Fredholm二择一性质
1．1．3 线性微分方程
1．2 Sobo1ev空间与嵌入定理
1．2．1 Sobolev空间
1．2．2 嵌入定理
1．2．3 n=1时的Sobolev空间
1．3 单调算子
1．3．1 单调算子的概念
1．3．2 单调算子的满值性
1．3．3 凸泛函与其梯度算子
1．4 同胚的充分条件
1．5 常用的不动点定理
1．5．1 压缩映射原理
1．5．2 Schauder不动点定理
1．5．3 Poincar6一Birklaoff不动点定理
1．6 含参方程的解集连通理论
1．6．1 解集为连通集的充分条件
1．6．2 解集中含有连通分支的条件
1．7 延拓定理
1．7．1 Leray-Schauder原珲
1．7．2 Mawhin延拓定理
1．8 变分方法
1．8．1 无约束极值点
1．8．2 Ekeland变分原理
1．8．3 极大极小原理
1．9 正算子理论
1．9．1 锥上的不动点定理
1．9．2 Celfand公式Krein-Rutrnan定理
1．10 分歧理论
附注I

第2章 线性方程的不跨特征值扰动
2．1 不跨特征值问题研究概况
2．1．1 Dolph定理
2．1．2 一个趋势
2．1．3 方程组的情形
2．2 抽象方程渐近一致minimax方法
2．2．1 一个minimax定理
2．2．2 L2空间中的抽象结果
2．2．3 应用举例
2．3 常微分方程组的周期解渐近非一致Hadamard反函数定理
2．4 波方程渐近非一致Mawhin延拓定理
2．4．1 主要定理
2．4．2 预备引理
2．4．3 定理2，4，1的证明
2．4．4 存在唯一性结果
2．5 椭圆方程渐近非一致鞍点约化法
2．5．1 一对存在性结果
2．5．2 注记
2．6 Duffing方程渐近非一致相平面分析法
2．6．1 主要存在性结果
2．6．2 一个重要反例
2．6．3 预备引理
2．6．4 定理2．6．2的证明
2．6．5 Duffing方程27c-周期解的唯一性
附注Ⅱ

第3章 线性方程的跨特征值扰动
3．1 Lanolesman和Lazer·的结果有界非线性项临界点理论
3．1．1 一个抽象临界点定理
3．1．2 Landesman和Lazer的结果
……
第4章 强共振和带周期非线性项的共振
第5章 特征线问题及其扰动
第6章 非线性常微分方程边值问题的正解
第7章 分歧理论在非线性常微分方程边值问题中的应用
参考文献
《现代数学基础丛书》已出版书目

前言/序言

　　非线性微分方程有着极为丰富的源泉，研究它的最基本方法是线性方程的非线性扰动，本书将讨论几种常见而重要的常微分方程和偏微分方程的可解性及多解的存在性问题，我们未拘泥于某一种非线性分析方法，而采用灵活多样的分析工具，如单调算子理论、不动点定理、解集连通理论、拓扑延拓定理及变分理论等。本书坚持先有方程，后找分析工具研究方程的思想，全书是依据扰动项的特征进行分类的。
　　本书第1章是以后诸章的基础，该章简介线性微分方程的基础知识及一系列最必要的分析工具，这样安排是为了便于读者，因而对于已经熟悉了这部分内容的读者，完全可以直接读后几章，有的读者即使不完全熟悉这部分内容，但若有较好的数学基础，也可先从后面几章读起，遇到有关概念和定理时再翻阅这一章。
　　第2章论述线性方程的不跨特征值扰动，我们使用多种不同的分析方法，逐步实现扰动项由渐近一致向渐近非一致的过渡。
　　第3章在单调性假设、Landesman-Lazer条件及符号条件下讨论线性方程的跨特征值扰动问题的一些结果。
　　第4章是强共振问题和带周期函数扰动项的共振问题之专题讨论。
　　第5章介绍广义谱理论及另外一种与梁方程有关的四阶两参数特征值问题。该章的中心问题是广义特征值问题的非线性扰动的可解性。
　　每章之末以附注形式介绍有意义的工作和进展，书后的参考文献是按章编排的。
　　本书虽有系统整理日益膨胀的文献资料的目的，但无囊括一切成果的奢望，在内容选取上我们固然要介绍若干重要的结果，但却又偏重于近二十多年来的进展。由于这些材料至今仍分散在国内外的文献之中，所以编写过程中没有现成的书可借鉴，加之水平所限，成书仓促，疏漏和错误在所难免，真诚地欢迎读者批评指正。

现代数学基础丛书·典藏版102：微分方程的定性理论与应用 丛书系列： 现代数学基础丛书·典藏版 分册编号： 102 主题聚焦： 常微分方程的几何与拓扑方法、动力系统基础、稳定性分析 内容概述： 本书聚焦于常微分方程（Ordinary Differential Equations, ODEs）的定性理论，这是一门侧重于研究方程解的整体行为、结构稳定性和长期演化规律的数学分支。不同于侧重于寻找解析解的传统方法，定性理论更多地运用几何、拓扑和拓扑微分学工具来描述解的轨迹（流）在相空间中的形态。本书旨在为研究生、高级本科生以及从事应用数学、物理学、工程控制等领域研究的专业人士提供一套严谨而深刻的理论框架和丰富的应用实例。 第一部分：相空间与流的几何基础 本部分奠定了定性分析的数学基础。首先，详细介绍了二维自治系统的相平面分析，包括平衡点的分类（鞍点、结点、焦点、中心）及其稳定性判断。我们深入探讨了奇点的李雅普诺夫意义下的稳定性理论，特别是利用特征值和李雅普诺夫函数来区分渐近稳定性和指数稳定性。 李雅普诺夫稳定性理论的深化： 重点阐述了李雅普诺夫第一法（线性化方法）的局限性，并详细介绍了李雅普诺夫第二法（直接法）。本书通过构造适当的李雅普诺夫函数，处理了许多经典系统（如Lotka-Volterra模型、范德波尔振荡器）的全局渐近稳定性问题，强调了构造有效李雅普诺夫函数的技巧性与重要性。 拓扑概念的引入： 简要介绍了流（Flow）的概念，并探讨了拓扑共轭、结构稳定性等拓扑性质。这为后续理解复杂系统中的分岔现象提供了必要的背景知识。 第二部分：极限环与周期解的研究 周期解是许多振动、振荡现象背后的数学模型。本部分集中讨论了在相空间中封闭轨道的存在性、唯一性和稳定性问题。 极限环的存在性： 详细回顾了庞加莱-霍普夫环面上关于极限环的必要条件。重点讲解了庞加莱-霍普夫指标理论在二维系统中的应用，用于确定环域内极限环的数量。 Bendixson-Dulac 判据： 深入分析了Bendixson-Dulac判据，该判据是证明在特定区域内不存在极限环的有力工具。本书提供了该判据在稳定振荡器分析中的应用案例。 极限环的稳定性与吸引性： 讨论了极限环的稳定性分析，包括其吸引区域（捕获域）的确定。 第三部分：高维系统与复杂现象的初探 随着维度增加，系统的行为变得愈发复杂，本书引入了理解混沌行为的基础工具。 庞加莱截面： 针对高维自治系统，介绍了庞加莱截面的构造方法。通过分析截面上的映射，可以将自治系统转化为延拓的非自治系统，简化分析难度，并用于识别周期轨道和混沌行为的证据。 不变集与吸引子： 定义了不变集的概念，并深入探讨了吸引子的拓扑结构。特别关注了奇异吸引子的概念，为理解复杂动力学（如蝴蝶效应）的几何基础做铺垫。 分岔理论的几何视角（基础）： 本部分提供了分岔理论的初步几何理解。分岔被视为系统参数变化时，相空间中平衡点或周期解的性质发生剧烈变化的现象。我们通过分析参数依赖的雅可比矩阵的特征值变化，阐释了Hopf分岔和鞍结分岔的几何表现。 第四部分：应用模型与计算方法 本书最后部分结合实际应用，展示了定性理论在建模中的强大威力。 生物动力学模型： 分析了基本的捕食者-被捕食者模型（如Lotka-Volterra系统）的稳定性和相图，并探讨了包含竞争或疾病传播的更复杂生态模型的定性特征。 控制理论中的应用： 展示了稳定性理论如何指导控制系统的设计，特别是关于系统闭环稳定性的分析。 数值与定性分析的结合： 强调了现代计算工具在初步探索系统行为和辅助李雅普诺夫函数构造方面的作用，但始终坚持核心的理论分析方法。 本书特点： 1. 严谨性与直观性并重： 理论推导力求严密，同时配有大量的二维和三维相图示例，帮助读者建立几何直觉。 2. 理论深度适中： 避免过度陷入抽象的拓扑动力学，而是聚焦于常微分方程解的定性分析中应用最广泛的核心工具。 3. 强调物理意义： 每一个数学概念的引入都紧密结合了其所代表的物理或工程现象。 目标读者： 理论物理、应用数学、流体力学、自动控制、生物数学等领域的研究生和科研人员。 --- 此书是丛书体系中对常微分方程整体结构与长期行为进行深入研究的基石性著作，与侧重于解析技巧和微扰方法（如线性扰动理论）的相邻分册构成互补关系。