現代數學基礎叢書（159）：算法數論（第2版） 下載 mobi epub pdf 電子書 在線閱讀 2026

內容簡介

　　《現代數學基礎叢書（159）：算法數論（第2版）》論述瞭算法數論的基本內容，其中涉及同餘式、二次剩餘、特徵、連分數、代數數域、橢圓麯綫、素性檢驗、大整數因子分解算法、橢圓麯綫上的離散對象、超橢圓麯綫、格理論等分支，也介紹瞭這些知識在密碼學中的一些應用。
　　《現代數學基礎叢書（159）：算法數論（第2版）》的特點是內容涉及麵廣，在有限的篇幅內，包含瞭必要的預備知識和數學證明，盡可能形成一個比較完整的體係。

內頁插圖

目錄

前言/序言

現代數學基礎叢書（159）：算法數論（第2版） 本書聚焦於數論的計算與應用，是深入理解現代密碼學、計算機科學與復雜性理論的基石。 導言：數論的計算轉嚮 數論，這一古老的數學分支，在20世紀末期迎來瞭爆炸性的復興，其核心驅動力正是計算能力的提升以及信息安全需求的激增。傳統的解析數論和代數數論固然深邃，但當代的研究與應用越來越依賴於對整數、多項式以及相關代數結構進行高效操作的能力。本書《算法數論（第2版）》正是在這一時代背景下，係統地梳理和闡述瞭數論問題的計算方法、復雜性分析以及實際應用，尤其側重於那些在信息安全和高性能計算中占據核心地位的算法。 第一部分：基礎與預備知識的堅實構建 為瞭確保讀者能夠無障礙地深入到復雜的算法設計中，本書首先對數論和計算理論的基礎進行瞭詳盡的迴顧與強化。 第一章：整數算術的精細化處理 本章不再滿足於基礎的輾轉相除法（歐幾裏得算法）。我們深入探討瞭大整數的算術運算，包括如何高效地實現乘法、除法和模冪運算。重點分析瞭Schönhage-Strassen算法及其後續改進，這些算法對於處理現代密碼學中動輒數百位的素數至關重要。模運算的性質，特彆是費馬小定理、歐拉定理的嚴格推導及其在分組密碼設計中的直接應用，得到瞭充分的闡述。此外，離散對數問題（DLP）的初步背景也在此處埋下伏筆。 第二章：計算中的代數結構 數論的算法往往植根於群論和環論。本章聚焦於有限域（Galois Fields）的構造和運算。詳細討論瞭有限域 $mathbb{F}_p$（素數域）和有限域 $mathbb{F}_{p^k}$（擴域）的錶示方法，特彆是多項式基和它們對橢圓麯綫密碼學的根本影響。本節還詳細介紹瞭有限阿貝爾群的結構定理，為後續的因子分解和離散對數算法提供瞭必要的代數工具。 第二章的拓展：二次剩餘與二次互反律的計算 雖然二次互反律是經典數論的核心，但本書強調其在平方根模$n$問題（Tonelli-Shanks算法）中的實際應用。詳細比較瞭計算模素數$p$的二次剩餘和模閤數$n$的二次剩餘的復雜性差異。 第二部分：核心算法：分解與素性判定 這是本書的重中之重，集中討論瞭現代密碼學的兩大支柱——整數分解和素性判定——所依賴的全部計算工具。 第三章：整數分解算法的演進 整數分解是RSA加密體係安全性的基石。本章係統梳理瞭從基礎方法到前沿算法的整個譜係： 1. 試除法與Pollard的“兔子追趕”算法（$ ho$ 算法）： 分析瞭其對小因子的高效性，並深入探討瞭其概率性基礎。 2. 二次篩法（Quadratic Sieve, QS）： 詳細介紹瞭QS算法的構造過程，包括選擇基的選擇、矩陣的稀疏性處理以及綫性方程組的求解（使用Lanczos或Block Wiedemann算法）。 3. 數域篩法（Number Field Sieve, NFS）： 作為目前已知最快的通用整數分解算法，NFS的理論復雜性、代數基礎（特彆是一次和二次數域的選擇）以及其實際優化策略（如篩選範圍的確定）被完整地呈現。 第四章：素性檢驗的確定性與概率性 判斷一個給定的數是否為素數，與分解它同樣重要。本章區分瞭概率性測試和確定性測試： 1. 概率性測試： 詳細分析瞭Miller-Rabin測試的原理、如何選擇閤適的“底數”以降低錯誤率，以及其在實際應用中的地位。 2. 確定性測試： 聚焦於AKS（Agrawal-Kayal-Saxena）素性檢驗算法。本書不僅展示瞭該算法的最終簡潔形式，更追溯瞭其復雜性從 $O(n^{6})$ 到後續優化的全過程，強調瞭它在理論上的裏程碑意義。 第三部分：離散對數問題的計算策略 離散對數問題（DLP）是Diffie-Hellman密鑰交換和橢圓麯綫密碼學的安全基礎。 第五章：有限域上的離散對數 本章主要討論在模$p$的乘法群 $mathbb{Z}_p^$ 中求解 $g^x equiv h pmod{p}$ 的算法： 1. Baby-Step Giant-Step 算法： 分析其 $O(sqrt{p})$ 的時間復雜度，及其在存儲需求上的權衡。 2. Pollard的 $ ho$ 算法（針對DLP）： 闡述瞭如何利用函數的迭代來尋找周期，以求解DLP。 3. 指數-平方根算法（Pohlig-Hellman 算法）： 重點分析該算法依賴於模$p$的階的因子分解，解釋瞭為何模數階的素因子結構對DLP求解速度有決定性影響。 4. 數域篩法在DLP中的應用（Index Calculus）： 詳細解釋瞭指標演算方法的代數基礎，包括選擇因子基、構造同餘式、求解綫性係統，以及其在超大模數上的優勢。 第六章：橢圓麯綫上的離散對數（ECDLP） 雖然ECDLP在一般情況下被認為比離散對數睏難得多，但本書仍需介紹其關鍵的攻擊嚮量和基礎算法： 1. 基礎群操作： 橢圓麯綫點的加法、倍加的幾何與代數定義，以及如何高效地在不同域（如 $mathbb{F}_p$ 和 $mathbb{F}_{2^m}$）上實現這些操作。 2. Pollard的 $ ho$ 算法在橢圓麯綫上的變體： 討論瞭如何構造適閤麯綫群的迭代函數來尋找碰撞。 3. 攻擊： 簡要提及Schoof算法（用於點計數，雖然本身不是DLP求解器，但對麯綫構造至關重要）以及Weil配對和Tate配對在特定情況下（如超奇異麯綫）對ECDLP構成的威脅。 第四部分：數論在應用中的具體實現 本書的後半部分著眼於將這些理論算法轉化為實際可用的工具。 第七章：整環與理想的計算 本章轉嚮更抽象的代數數論工具在計算中的應用，特彆是處理高斯整數和代數數域上的問題。重點介紹瞭Lattice（格）的基本概念，包括最短嚮量問題（SVP）和最近嚮量問題（CVP），以及它們與密碼分析（如LLL算法）的聯係。 第八章：現代加密方案的算術實現 1. RSA的優化： 介紹中國剩餘定理（CRT）在RSA解密中的加速作用，以及如何使用盲化技術防止側信道攻擊。 2. 橢圓麯綫密碼學（ECC）的效率： 討論如何使用雅可比坐標等非零坐標係統來減少模逆運算的次數，從而加速點乘法。 3. 格基密碼學導論： 簡要介紹瞭基於格問題的睏難性假設（如SIS和LWE問題）構建的後量子密碼係統所需的數論基礎操作。 結語：展望 《算法數論（第2版）》力求為讀者提供一個全麵、深入且聚焦於計算效率的數論知識體係。從經典理論的計算化重構，到現代密碼學安全支柱的算法剖析，本書旨在培養讀者運用嚴謹的數學工具解決復雜計算難題的能力。未來的發展將更多地關注量子計算對現有算法的衝擊，以及如何設計更高效的、抗量子攻擊的算術係統。