现代数学基础丛书（159）：算法数论（第2版） pdf epub mobi txt 电子书 下载 在线阅读 2026

内容简介

　　《现代数学基础丛书（159）：算法数论（第2版）》论述了算法数论的基本内容，其中涉及同余式、二次剩余、特征、连分数、代数数域、椭圆曲线、素性检验、大整数因子分解算法、椭圆曲线上的离散对象、超椭圆曲线、格理论等分支，也介绍了这些知识在密码学中的一些应用。
　　《现代数学基础丛书（159）：算法数论（第2版）》的特点是内容涉及面广，在有限的篇幅内，包含了必要的预备知识和数学证明，尽可能形成一个比较完整的体系。

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目录

前言/序言

现代数学基础丛书（159）：算法数论（第2版） 本书聚焦于数论的计算与应用，是深入理解现代密码学、计算机科学与复杂性理论的基石。 导言：数论的计算转向 数论，这一古老的数学分支，在20世纪末期迎来了爆炸性的复兴，其核心驱动力正是计算能力的提升以及信息安全需求的激增。传统的解析数论和代数数论固然深邃，但当代的研究与应用越来越依赖于对整数、多项式以及相关代数结构进行高效操作的能力。本书《算法数论（第2版）》正是在这一时代背景下，系统地梳理和阐述了数论问题的计算方法、复杂性分析以及实际应用，尤其侧重于那些在信息安全和高性能计算中占据核心地位的算法。 第一部分：基础与预备知识的坚实构建 为了确保读者能够无障碍地深入到复杂的算法设计中，本书首先对数论和计算理论的基础进行了详尽的回顾与强化。 第一章：整数算术的精细化处理 本章不再满足于基础的辗转相除法（欧几里得算法）。我们深入探讨了大整数的算术运算，包括如何高效地实现乘法、除法和模幂运算。重点分析了Schönhage-Strassen算法及其后续改进，这些算法对于处理现代密码学中动辄数百位的素数至关重要。模运算的性质，特别是费马小定理、欧拉定理的严格推导及其在分组密码设计中的直接应用，得到了充分的阐述。此外，离散对数问题（DLP）的初步背景也在此处埋下伏笔。 第二章：计算中的代数结构 数论的算法往往植根于群论和环论。本章聚焦于有限域（Galois Fields）的构造和运算。详细讨论了有限域 $mathbb{F}_p$（素数域）和有限域 $mathbb{F}_{p^k}$（扩域）的表示方法，特别是多项式基和它们对椭圆曲线密码学的根本影响。本节还详细介绍了有限阿贝尔群的结构定理，为后续的因子分解和离散对数算法提供了必要的代数工具。 第二章的拓展：二次剩余与二次互反律的计算 虽然二次互反律是经典数论的核心，但本书强调其在平方根模$n$问题（Tonelli-Shanks算法）中的实际应用。详细比较了计算模素数$p$的二次剩余和模合数$n$的二次剩余的复杂性差异。 第二部分：核心算法：分解与素性判定 这是本书的重中之重，集中讨论了现代密码学的两大支柱——整数分解和素性判定——所依赖的全部计算工具。 第三章：整数分解算法的演进 整数分解是RSA加密体系安全性的基石。本章系统梳理了从基础方法到前沿算法的整个谱系： 1. 试除法与Pollard的“兔子追赶”算法（$ ho$ 算法）： 分析了其对小因子的高效性，并深入探讨了其概率性基础。 2. 二次筛法（Quadratic Sieve, QS）： 详细介绍了QS算法的构造过程，包括选择基的选择、矩阵的稀疏性处理以及线性方程组的求解（使用Lanczos或Block Wiedemann算法）。 3. 数域筛法（Number Field Sieve, NFS）： 作为目前已知最快的通用整数分解算法，NFS的理论复杂性、代数基础（特别是一次和二次数域的选择）以及其实际优化策略（如筛选范围的确定）被完整地呈现。 第四章：素性检验的确定性与概率性 判断一个给定的数是否为素数，与分解它同样重要。本章区分了概率性测试和确定性测试： 1. 概率性测试： 详细分析了Miller-Rabin测试的原理、如何选择合适的“底数”以降低错误率，以及其在实际应用中的地位。 2. 确定性测试： 聚焦于AKS（Agrawal-Kayal-Saxena）素性检验算法。本书不仅展示了该算法的最终简洁形式，更追溯了其复杂性从 $O(n^{6})$ 到后续优化的全过程，强调了它在理论上的里程碑意义。 第三部分：离散对数问题的计算策略 离散对数问题（DLP）是Diffie-Hellman密钥交换和椭圆曲线密码学的安全基础。 第五章：有限域上的离散对数 本章主要讨论在模$p$的乘法群 $mathbb{Z}_p^$ 中求解 $g^x equiv h pmod{p}$ 的算法： 1. Baby-Step Giant-Step 算法： 分析其 $O(sqrt{p})$ 的时间复杂度，及其在存储需求上的权衡。 2. Pollard的 $ ho$ 算法（针对DLP）： 阐述了如何利用函数的迭代来寻找周期，以求解DLP。 3. 指数-平方根算法（Pohlig-Hellman 算法）： 重点分析该算法依赖于模$p$的阶的因子分解，解释了为何模数阶的素因子结构对DLP求解速度有决定性影响。 4. 数域筛法在DLP中的应用（Index Calculus）： 详细解释了指标演算方法的代数基础，包括选择因子基、构造同余式、求解线性系统，以及其在超大模数上的优势。 第六章：椭圆曲线上的离散对数（ECDLP） 虽然ECDLP在一般情况下被认为比离散对数困难得多，但本书仍需介绍其关键的攻击向量和基础算法： 1. 基础群操作： 椭圆曲线点的加法、倍加的几何与代数定义，以及如何高效地在不同域（如 $mathbb{F}_p$ 和 $mathbb{F}_{2^m}$）上实现这些操作。 2. Pollard的 $ ho$ 算法在椭圆曲线上的变体： 讨论了如何构造适合曲线群的迭代函数来寻找碰撞。 3. 攻击： 简要提及Schoof算法（用于点计数，虽然本身不是DLP求解器，但对曲线构造至关重要）以及Weil配对和Tate配对在特定情况下（如超奇异曲线）对ECDLP构成的威胁。 第四部分：数论在应用中的具体实现 本书的后半部分着眼于将这些理论算法转化为实际可用的工具。 第七章：整环与理想的计算 本章转向更抽象的代数数论工具在计算中的应用，特别是处理高斯整数和代数数域上的问题。重点介绍了Lattice（格）的基本概念，包括最短向量问题（SVP）和最近向量问题（CVP），以及它们与密码分析（如LLL算法）的联系。 第八章：现代加密方案的算术实现 1. RSA的优化： 介绍中国剩余定理（CRT）在RSA解密中的加速作用，以及如何使用盲化技术防止侧信道攻击。 2. 椭圆曲线密码学（ECC）的效率： 讨论如何使用雅可比坐标等非零坐标系统来减少模逆运算的次数，从而加速点乘法。 3. 格基密码学导论： 简要介绍了基于格问题的困难性假设（如SIS和LWE问题）构建的后量子密码系统所需的数论基础操作。 结语：展望 《算法数论（第2版）》力求为读者提供一个全面、深入且聚焦于计算效率的数论知识体系。从经典理论的计算化重构，到现代密码学安全支柱的算法剖析，本书旨在培养读者运用严谨的数学工具解决复杂计算难题的能力。未来的发展将更多地关注量子计算对现有算法的冲击，以及如何设计更高效的、抗量子攻击的算术系统。