高等數學難題解題方法選講 下載 mobi epub pdf 電子書 在線閱讀 2026

內容簡介

本書有彆於普通的高等數學輔導書，收錄的題目較難，歸類為28個專題，其內容隨著高等數學課程的進展而逐步深入。書中所選題目是編者十年教學經驗的積纍，其中許多題目具有很強的代錶性。這裏隻給齣題目的答案及簡單提示，並沒有給齣詳細的解題過程，而對解題方法的敘述也很簡單，目的是給讀者或使用本書的老師留有較大的發揮空間。另外，本書還匯集瞭北京市大學生（非數學專業）數學競賽第十二屆（2000年）至第十四屆（2002年）的試題，並給齣瞭較詳細的參考答案。
本書可以作為高等數學的提高課程“高等數學解題方法”的教材，或作為學生參加高等數學競賽的參考書，也可作為高等數學教師日常教學的參考書。

內頁插圖

目錄

前言

第一部分 解題方法選講
第一講 用定義求數列的極限
第二講 數列極限的計算方法
第三講 函數極限的簡單求法
第四講 函數的連續性
第五講 導數的計算方法
第六講 中值定理
第七講 泰勒公式
第八講 極值及一些相關問題
第九講 顯式不等式的證明
第十講 不定積分的計算方法
第十一講 定積分的計算方法
第十二講 積分不等式
第十三講 與定積分相關的幾個問題
第十四講 f(x)的求法或f(x)恒等常數的證法
第十五講 級數判斂法
第十六講 級數的收斂域及其相關問題
第十七講 級數的求和方法
第十八講 級數的相關問題
第十九講 嚮量代數與空間解析幾何
第二十講 多元函數的極限、連續、偏導、微分
第二十一講 多元微分
第二十二講 切平麵、法綫；切綫、法平麵
第二十三講 多元函數極值問題
第二十四講 二重積分的計算方法
第二十五講 三重積分的計算方法
第二十六講 重積分的幾個相關問題
第二十七講 麯綫積分的計算方法
第二十八講 麯麵積分的計算方法

第二部分 答案或提示
第一講 用定義求數列的極限
第二講 數列極限的計算方法
第三講 函數極限的簡單求法
第四講 函數的連續性
第五講 導數的計算方法
第六講 中值定理
第七講 泰勒公式
第八講 極值及一些相關問題
第九講 顯式不等式的證明
第十講 不定積分的計算方法
第十一講 定積分的計算方法
第十二講 積分不等式
第十三講 與定積分相關的幾個問題
第十四講 f(x)的求法或f(x)恒等常數的證法
第十五講 級數判斂法
第十六講 級數的收斂域及其相關問題
第十七講 級數的求和方法
第十八講 級數的相關問題
第十九講 嚮量代數與空間解析幾何
第二十講 多元函數的極限、連續、偏導、微分
第二十一講 多元微分
第二十二講 切平麵、法綫；切綫、法平麵
第二十三講 多元函數極值問題
第二十四講 二重積分的計算方法
第二十五講 三重積分的計算方法
第二十六講 重積分的幾個相關問題
第二十七講 麯綫積分的計算方法
第二十八講 麯麵積分的計算方法

第三部分 北京市大學生（非數學專業）數學競賽試題及參考答案
參考文獻

前言/序言

經典力學：從牛頓定律到現代視角 圖書簡介 《經典力學：從牛頓定律到現代視角》是一部全麵而深入探討經典力學基礎與前沿進展的專著。本書旨在為物理學、工程學及相關領域的研究者和高年級本科生提供一個堅實而富有洞察力的學習平颱，幫助讀者不僅掌握牛頓力學的基礎框架，更能理解其在更高維度上的理論升華與應用拓展。 本書的結構設計遵循邏輯遞進的原則，從最直觀的宏觀運動描述齣發，逐步引入更為抽象和強大的數學工具，最終觸及現代物理學的邊界。全書共分為六大部分，力求在嚴謹性、清晰性與啓發性之間取得完美平衡。 --- 第一部分：運動學的幾何基礎與慣性參考係 本部分是全書的基石，重點在於建立對空間、時間和運動的精確數學描述，並闡明慣性參考係的物理意義。 第一章：質點運動學的描述 詳細闡述瞭三維空間中質點的位置、速度和加速度的嚮量錶示法。重點討論瞭麯綫運動中的切嚮和法嚮加速度，引入瞭自然坐標係的概念，這對於理解約束運動至關重要。通過豐富的幾何實例，如螺鏇綫和擺動麯綫，鞏固讀者對瞬時變化率的理解。 第二章：參考係與變換 深入分析瞭伽利略變換的適用範圍及其局限性。詳盡區分瞭慣性係與非慣性係。在非慣性係中，係統地引入瞭慣性力——科裏奧利力與離心力的物理成因和計算方法。專門闢齣一節討論瞭鏇轉參考係中角動量守恒的精確錶達，這是後續部分理解剛體動力學的基礎。 --- 第二部分：牛頓定律與守恒律的深刻內涵 本部分將牛頓三大定律置於現代物理學的語境下進行重新審視，並係統推導齣核心的守恒定律。 第三章：牛頓動力學基礎 超越簡單的 $F=ma$ 公式，本章側重於動量、衝量以及係統中的內力和外力的區分。特彆探討瞭變質量係統（如火箭推進）中的牛頓第二定律應用，引入瞭德洛皮奧公式。 第四章：功、能與勢場的性質 係統地建立瞭功的積分定義，並推導齣動能定理。本章的核心在於勢能的概念。詳細分析瞭保守力場的條件，即力場必須是保守力（如：力場的鏇度為零），並闡明瞭勢能函數的梯度特性。通過勢阱和勢壘的分析，為量子力學中的勢壘穿透問題埋下伏筆。 第五章：角動量與能量守恒定律 將角動量的定義推廣到任意係統的質心運動和內部分布。深入探討瞭角動量定理（力矩的做功率），並證明瞭在無外力矩作用下，角動量是守恒的。能量守恒定律在不同形式（動能、勢能、熱能）之間的轉化關係被精確量化，強調瞭其作為最基本物理原理的地位。 --- 第三部分：剛體動力學與約束力分析 本部分轉嚮描述具有空間尺度和轉動慣性的物體的運動，這是工程力學中的核心內容。 第六章：剛體運動的描述 引入瞭歐拉角作為描述剛體姿態的必要工具，並詳細分析瞭歐拉角的奇點問題（萬嚮鎖）。嚴格推導瞭剛體的瞬時鏇轉軸和平移運動的復閤關係。 第七章：轉動慣量與轉動動力學 係統計算瞭不同幾何形狀物體的轉動慣量（如薄殼、實心圓柱、啞鈴形結構），並給齣瞭平行軸定理和垂直軸定理的嚴格證明。本章的重點是歐拉運動方程的推導與應用，用於解決三維剛體繞定點轉動的問題，如陀螺儀的進動和章動。 第八章：係統的約束與拉格朗日方程的引入 在處理復雜的約束係統時，牛頓力學需要求解大量的約束力。本章引入瞭廣義坐標的概念，避開瞭顯式約束力的計算。係統推導瞭拉格朗日量 $L = T - V$ 的構建方法，並得齣瞭描述係統動力學行為的歐拉-拉格朗日方程。 --- 第四部分：拉格朗日力學與變分原理 本部分標誌著理論方法的飛躍，從力學轉嚮依賴能量和變分原理的更簡潔、更普適的數學框架。 第九章：拉格朗日力學的高級應用 將拉格朗日方程應用於約束係統（如復閤單擺、移動底座上的彈簧振子）。重點講解瞭循環坐標的概念，並嚴格證明瞭循環坐標對應守恒量（即諾特定理的初級形式的體現）。 第十章：哈密頓力學導論 從拉格朗日量到哈密頓量 $H = sum p_i dot{q}_i - L$ 的勒讓德變換過程被清晰地展示。推導齣哈密頓正則方程。本章強調瞭相空間的幾何意義，以及哈密頓函數在保守係統中的能量意義。 第十一章：泊鬆括號與正則變換 引入瞭泊鬆括號 ${f, g}$ 作為描述物理量時間演化的核心代數工具。詳細闡述瞭泊鬆括號的性質，特彆是與哈密頓量（守恒量）的關係。隨後，導齣瞭保持哈密頓正則方程形式不變的正則變換的條件，為理解量子化（泊鬆括號對應於對易子）奠定瞭理論基礎。 --- 第五部分：微擾理論與非綫性動力學 經典力學並非總是精確可解的，本部分專注於處理微小偏離可解情況的係統。 第十二章：含時間依賴的微擾理論 對於那些具有微小、周期性或非周期性外部驅動力的係統，本章提供瞭處理的工具。係統介紹瞭含時微擾理論，特彆是用於計算躍遷概率和誘發輻射的費米黃金定則的古典模擬。 第十三章：簡正模與耦閤振蕩 分析瞭多個相互耦閤的振子係統（如雙耦閤振子）。通過求解特徵值問題，將係統解耦為獨立的簡正坐標，從而得到簡正頻率。這為處理晶格振動和分子振動奠定瞭方法論基礎。 第十四章：混沌動力學初步 簡要介紹瞭非綫性係統的行為。通過對洛倫茲吸引子等簡單非綫性微分方程組的定性分析，引入瞭李雅普諾夫指數、龐加萊截麵等概念，揭示瞭經典力學在確定性條件下仍可能産生的復雜性（混沌現象）。 --- 第六部分：相對論修正與場論的萌芽 本部分將經典力學擴展到更高速域，並為場論的建立做理論鋪墊。 第十五章：狹義相對論的運動學與動力學 從洛倫茲變換齣發，修正瞭經典的速度加法和時間膨脹效應。重新定義瞭動量和能量，推導齣著名的質能關係 $E=mc^2$。應用相對論動量和能量，修正牛頓第二定律在高速度下的形式。 第十六章：經典場論的概述 以電磁場為例，展示瞭如何用場（而非粒子間的瞬時作用力）來描述相互作用。介紹瞭達朗貝爾算符在波動方程中的應用，預示瞭從粒子力學嚮連續介質力學過渡的必要性。 本書的每一個章節都配有難度分層的習題，旨在鞏固理論並激發讀者的獨立思考能力。通過對經典力學從基礎到前沿的係統梳理，讀者將能掌握描述自然界宏觀運動的最強大、最優雅的數學工具。