高等数学难题解题方法选讲 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

内容简介

本书有别于普通的高等数学辅导书，收录的题目较难，归类为28个专题，其内容随着高等数学课程的进展而逐步深入。书中所选题目是编者十年教学经验的积累，其中许多题目具有很强的代表性。这里只给出题目的答案及简单提示，并没有给出详细的解题过程，而对解题方法的叙述也很简单，目的是给读者或使用本书的老师留有较大的发挥空间。另外，本书还汇集了北京市大学生（非数学专业）数学竞赛第十二届（2000年）至第十四届（2002年）的试题，并给出了较详细的参考答案。
本书可以作为高等数学的提高课程“高等数学解题方法”的教材，或作为学生参加高等数学竞赛的参考书，也可作为高等数学教师日常教学的参考书。

内页插图

目录

前言

第一部分 解题方法选讲
第一讲 用定义求数列的极限
第二讲 数列极限的计算方法
第三讲 函数极限的简单求法
第四讲 函数的连续性
第五讲 导数的计算方法
第六讲 中值定理
第七讲 泰勒公式
第八讲 极值及一些相关问题
第九讲 显式不等式的证明
第十讲 不定积分的计算方法
第十一讲 定积分的计算方法
第十二讲 积分不等式
第十三讲 与定积分相关的几个问题
第十四讲 f(x)的求法或f(x)恒等常数的证法
第十五讲 级数判敛法
第十六讲 级数的收敛域及其相关问题
第十七讲 级数的求和方法
第十八讲 级数的相关问题
第十九讲 向量代数与空间解析几何
第二十讲 多元函数的极限、连续、偏导、微分
第二十一讲 多元微分
第二十二讲 切平面、法线；切线、法平面
第二十三讲 多元函数极值问题
第二十四讲 二重积分的计算方法
第二十五讲 三重积分的计算方法
第二十六讲 重积分的几个相关问题
第二十七讲 曲线积分的计算方法
第二十八讲 曲面积分的计算方法

第二部分 答案或提示
第一讲 用定义求数列的极限
第二讲 数列极限的计算方法
第三讲 函数极限的简单求法
第四讲 函数的连续性
第五讲 导数的计算方法
第六讲 中值定理
第七讲 泰勒公式
第八讲 极值及一些相关问题
第九讲 显式不等式的证明
第十讲 不定积分的计算方法
第十一讲 定积分的计算方法
第十二讲 积分不等式
第十三讲 与定积分相关的几个问题
第十四讲 f(x)的求法或f(x)恒等常数的证法
第十五讲 级数判敛法
第十六讲 级数的收敛域及其相关问题
第十七讲 级数的求和方法
第十八讲 级数的相关问题
第十九讲 向量代数与空间解析几何
第二十讲 多元函数的极限、连续、偏导、微分
第二十一讲 多元微分
第二十二讲 切平面、法线；切线、法平面
第二十三讲 多元函数极值问题
第二十四讲 二重积分的计算方法
第二十五讲 三重积分的计算方法
第二十六讲 重积分的几个相关问题
第二十七讲 曲线积分的计算方法
第二十八讲 曲面积分的计算方法

第三部分 北京市大学生（非数学专业）数学竞赛试题及参考答案
参考文献

前言/序言

经典力学：从牛顿定律到现代视角 图书简介 《经典力学：从牛顿定律到现代视角》是一部全面而深入探讨经典力学基础与前沿进展的专著。本书旨在为物理学、工程学及相关领域的研究者和高年级本科生提供一个坚实而富有洞察力的学习平台，帮助读者不仅掌握牛顿力学的基础框架，更能理解其在更高维度上的理论升华与应用拓展。 本书的结构设计遵循逻辑递进的原则，从最直观的宏观运动描述出发，逐步引入更为抽象和强大的数学工具，最终触及现代物理学的边界。全书共分为六大部分，力求在严谨性、清晰性与启发性之间取得完美平衡。 --- 第一部分：运动学的几何基础与惯性参考系 本部分是全书的基石，重点在于建立对空间、时间和运动的精确数学描述，并阐明惯性参考系的物理意义。 第一章：质点运动学的描述 详细阐述了三维空间中质点的位置、速度和加速度的向量表示法。重点讨论了曲线运动中的切向和法向加速度，引入了自然坐标系的概念，这对于理解约束运动至关重要。通过丰富的几何实例，如螺旋线和摆动曲线，巩固读者对瞬时变化率的理解。 第二章：参考系与变换 深入分析了伽利略变换的适用范围及其局限性。详尽区分了惯性系与非惯性系。在非惯性系中，系统地引入了惯性力——科里奥利力与离心力的物理成因和计算方法。专门辟出一节讨论了旋转参考系中角动量守恒的精确表达，这是后续部分理解刚体动力学的基础。 --- 第二部分：牛顿定律与守恒律的深刻内涵 本部分将牛顿三大定律置于现代物理学的语境下进行重新审视，并系统推导出核心的守恒定律。 第三章：牛顿动力学基础 超越简单的 $F=ma$ 公式，本章侧重于动量、冲量以及系统中的内力和外力的区分。特别探讨了变质量系统（如火箭推进）中的牛顿第二定律应用，引入了德洛皮奥公式。 第四章：功、能与势场的性质 系统地建立了功的积分定义，并推导出动能定理。本章的核心在于势能的概念。详细分析了保守力场的条件，即力场必须是保守力（如：力场的旋度为零），并阐明了势能函数的梯度特性。通过势阱和势垒的分析，为量子力学中的势垒穿透问题埋下伏笔。 第五章：角动量与能量守恒定律 将角动量的定义推广到任意系统的质心运动和内部分布。深入探讨了角动量定理（力矩的做功率），并证明了在无外力矩作用下，角动量是守恒的。能量守恒定律在不同形式（动能、势能、热能）之间的转化关系被精确量化，强调了其作为最基本物理原理的地位。 --- 第三部分：刚体动力学与约束力分析 本部分转向描述具有空间尺度和转动惯性的物体的运动，这是工程力学中的核心内容。 第六章：刚体运动的描述 引入了欧拉角作为描述刚体姿态的必要工具，并详细分析了欧拉角的奇点问题（万向锁）。严格推导了刚体的瞬时旋转轴和平移运动的复合关系。 第七章：转动惯量与转动动力学 系统计算了不同几何形状物体的转动惯量（如薄壳、实心圆柱、哑铃形结构），并给出了平行轴定理和垂直轴定理的严格证明。本章的重点是欧拉运动方程的推导与应用，用于解决三维刚体绕定点转动的问题，如陀螺仪的进动和章动。 第八章：系统的约束与拉格朗日方程的引入 在处理复杂的约束系统时，牛顿力学需要求解大量的约束力。本章引入了广义坐标的概念，避开了显式约束力的计算。系统推导了拉格朗日量 $L = T - V$ 的构建方法，并得出了描述系统动力学行为的欧拉-拉格朗日方程。 --- 第四部分：拉格朗日力学与变分原理 本部分标志着理论方法的飞跃，从力学转向依赖能量和变分原理的更简洁、更普适的数学框架。 第九章：拉格朗日力学的高级应用 将拉格朗日方程应用于约束系统（如复合单摆、移动底座上的弹簧振子）。重点讲解了循环坐标的概念，并严格证明了循环坐标对应守恒量（即诺特定理的初级形式的体现）。 第十章：哈密顿力学导论 从拉格朗日量到哈密顿量 $H = sum p_i dot{q}_i - L$ 的勒让德变换过程被清晰地展示。推导出哈密顿正则方程。本章强调了相空间的几何意义，以及哈密顿函数在保守系统中的能量意义。 第十一章：泊松括号与正则变换 引入了泊松括号 ${f, g}$ 作为描述物理量时间演化的核心代数工具。详细阐述了泊松括号的性质，特别是与哈密顿量（守恒量）的关系。随后，导出了保持哈密顿正则方程形式不变的正则变换的条件，为理解量子化（泊松括号对应于对易子）奠定了理论基础。 --- 第五部分：微扰理论与非线性动力学 经典力学并非总是精确可解的，本部分专注于处理微小偏离可解情况的系统。 第十二章：含时间依赖的微扰理论 对于那些具有微小、周期性或非周期性外部驱动力的系统，本章提供了处理的工具。系统介绍了含时微扰理论，特别是用于计算跃迁概率和诱发辐射的费米黄金定则的古典模拟。 第十三章：简正模与耦合振荡 分析了多个相互耦合的振子系统（如双耦合振子）。通过求解特征值问题，将系统解耦为独立的简正坐标，从而得到简正频率。这为处理晶格振动和分子振动奠定了方法论基础。 第十四章：混沌动力学初步 简要介绍了非线性系统的行为。通过对洛伦兹吸引子等简单非线性微分方程组的定性分析，引入了李雅普诺夫指数、庞加莱截面等概念，揭示了经典力学在确定性条件下仍可能产生的复杂性（混沌现象）。 --- 第六部分：相对论修正与场论的萌芽 本部分将经典力学扩展到更高速域，并为场论的建立做理论铺垫。 第十五章：狭义相对论的运动学与动力学 从洛伦兹变换出发，修正了经典的速度加法和时间膨胀效应。重新定义了动量和能量，推导出著名的质能关系 $E=mc^2$。应用相对论动量和能量，修正牛顿第二定律在高速度下的形式。 第十六章：经典场论的概述 以电磁场为例，展示了如何用场（而非粒子间的瞬时作用力）来描述相互作用。介绍了达朗贝尔算符在波动方程中的应用，预示了从粒子力学向连续介质力学过渡的必要性。 本书的每一个章节都配有难度分层的习题，旨在巩固理论并激发读者的独立思考能力。通过对经典力学从基础到前沿的系统梳理，读者将能掌握描述自然界宏观运动的最强大、最优雅的数学工具。