(第二版)张景中著北京《一线串通的初等数学》从小学生知道的三角形内角和的知识以及三角形面积公式出发，举一反三，推陈出新，直观而严谨地给出正弦的新定义.在此基础上，轻松得到正弦定理、和角公式、勾股定理等一系列三角公式和几何定理，揭示出几何、代数和三角的基本知识之间的密切联系，以三角为主线，构建了初等数学的新体系.《一线串通的初等数学》思想新颖，方法简明犀利，说理严谨，特别着力于从平凡处发掘创新的思路，引导读者发现问题深入思考.《一线串通的初等数学》分为5个部分：正弦和正弦定理;正弦和角公式;余弦和余弦定理;四边形；圆和正多边形. 大体上覆盖了初中应掌握的几何、代数和三角的基本知识.《一线串通的初等数学》每节都安排了例题和习题.

总序
代序
第二版前言
第一版前言
准备出发1
第一站正弦和正弦定理4
1. 温故知新举一反三4
2. 面积计算引出正弦17
3. 活用公式算边求角24
4. 正弦定理初试锋芒29
5. 正弦增减寻根究底33
6. 判定相似手到擒来43
7. 两角一边判定全等50
第一站小结54
第二站正弦和角公式58
8. 正弦和角公式与特殊角的正弦 58
9. 勾股定理和解直角三角形63
10. 半角正弦和一元二次方程68
11. 正弦差角公式和负角的正弦75
第二站小结80
第三站余弦和余弦定理82
12.余弦的定义和性质82
13.余弦定理及其推论87
14.用平角度量角的大小95
15.解任意三角形问题的完整回答98
16.相似三角形判定的完全解决100
17.全等三角形判定的完全解决104
18.三角形中的特殊线和点109
第三站小结119
第四站四边形121
19.简单多边形和凸多边形121
20.平行四边形的性质和判定127
21.特殊的平行四边形136
22.梯形和其他四边形142
第四站小结154
第五站圆和正多边形157
23.圆的基本性质157
24.圆周角定理及其推论168
25.圆幂定理以及圆的其他性质185
26. 正切和余切191
27.两个圆的关系199
28. 圆的内接和外切多边形208
29.正多边形的计算与作图216
30.与圆有关的计算224
第五站小结233
参考文献237
附录1用“菱形面积”定义正弦的一次教学探究238
附录2“重建三角”方案的规模实践及其效果251
附录3部分习题的提示264

精彩书摘

准备出发
数学是一个大花园.
游览花园可以有不同的路线.
课堂上学习的教材是一种路线.本书提供了另一条新的路线.
沿着不同的路线游览，从不同的角度发现数学的力量和数学的美，会带来不同的感受.这不同的感受，会引发你更多的思考.
新路线的特点，是把几何、三角、代数渗透到一起.相互渗透的结果，是道理更清楚了，推理更简捷了，方法更犀利了.这样，你可以用同样的时间和精力把数学学得更好.当然，在考试中或竞赛中也能取得更好的成绩. 想学好数学就要多思考.数学锻炼思考，思考提高数学素质.但是思考什么？怎样思考？这正是本书要回答的问题.下面会用大量的事例，让你在做数学中学习思考，这是作者多年学习和思考的经验之谈.再过几十年，书里讲的定理公式你会忘记，但你从中学到的思考问题的方法却会伴你终生.
多想出智慧.思考能够使知识增殖，能让知识生出知识.即使是看来很简单的知识，经过一番探索思考，它也会变得更丰富、更活泼，它会和其他的知识联系起来，变得更有用、更有力.
探索思考就要有目标、有问题.为了能够发现或提出好的问题，不但要掌握基础知识和基本技能，还要有应用意识，有创新意识，有实验意识，有推理意识.
有应用意识，就是乐于用学过的数学知识解决实际问题或设想的问题，善于从实际或设想的情景中提出数学问题.
有创新意识，就要敢于对所学的数学知识问个为什么，为什么这样计算这样作图，为什么这样定义这样推理，题目的条件和结论能不能变一变，计算推理作图的方法能不能再改进，为什么先学这些后学那些，等等.
有实验意识，就是要动手计算作图测量，有条件时用计算机和计算器，没条件就在纸上写写画画，在做数学过程中学习数学，验证学过的知识，猜测未知的现象，在数学实验中发现情况，提出问题.用计算机做数学实验是启发思考节省劳动的好办法.如果你有计算机，应当装一个能作图又能计算的数学教育软件，它能节省你大量的时间和精力.最便宜、最好用、最有趣的数学教育软件是由中国人开发的《超级画板》，到网站ssp.gzhu.edu.cn下载一个免费版本，就够用了.学会用超级画板画各种几何图形只要10分钟.如果你想精通免费的超级画板，可以买一本《超级画板自由行》(张景中著，科学出版社出版，在网上很容易买到)边看边做，包你在乐趣无穷中大大提高数学成绩.
有推理意识，就是要力图用推理和演算来说明问题和预测现象，要有合情推理，更要有演绎推理，尝试通过推理在作图之前预见图形的性质，不做具体计算预见某些计算的结果.力图用抽象数学模型概括多种可能的实际问题，站高一层，看远一步.
但所有这一切，不会凭空从天上掉下来，也不会从空空的头脑里生出来，你只能从已掌握的知识出发，哪怕从平凡具体的问题出发.知识学到手才能应用，创新只能温故知新、推陈出新，实验就要会算、会画、会用计算机，推理演算必须熟悉逻辑用语和基本的规矩模式、运算公式和法则.
在小学数学中，学过有关三角形的一些知识，其中两条是你到老也不能忘掉的宝贝.
第一条，三角形的内角和等于180°.
第二条，三角形的面积等于底和高乘积的一半.
从这两条出发，你能思考探索出哪些新的知识呢？
让我们立刻尝试，让我们出发吧.
第一站
正弦和正弦定理
1. 温故知新举一反三
把知识编号或命名，会带来很大方便.世界上第一部几何教科书，古希腊欧几里得写的经典名著《几何原本》，就是把几何知识一条一条编了号的，每一条叫做一个“命题”.
我们从小学里学习过的两条开始.
命题1.1 (三角形内角和定理)三角形内角和等于180°.
命题1.2 (三角形面积公式)三角形面积等于底和高的乘积的一半.
从这两条出发，通过分析思考，你能得到哪些新的知识呢？
思考的基本要领，是温故知新，举一反三.
两直线相交形成4个角.三角形顶点处只画出1个角.如果进一步考虑另外3个角，就叫做举一反三.
关于三角形内角和定理的思考
如图1-1，把△ABC的BC边延长至D，则∠ACD=180°－∠ACB，但根据三角形内角和定理，又有180°－∠ACB=∠A+∠B，故∠ACD=∠A+∠B.
图1-1
今后把三角形一边的延长线和相邻边所成的角，例如图1-1中的∠ACD，叫做三角形的外角，而三角形另外两个内角叫做这个外角的内对角. 这样，我们从命题1.1得到的新知识∠ACD=∠A+∠B便可以陈述为
命题1.3三角形的外角等于两内对角之和.
顺便知道，三角形的外角大于内对角.
刚才增加一个角考虑，得到一点新知识. 减少一个角呢？
3个内角和为180°，两个内角的和自然小于180°.
把三角形的3条边都延长，成了图1-2的样子.
图1-2中，被直线AB所截的两条直线，在AB右侧相交，则∠4+∠5<180°， ∠3+∠6>180°；如果在AB的左侧相交，则∠3+∠6<180°，∠4+∠5>180°.
图1-2
总之，若两直线相交，必有∠4+∠5≠180°，∠3+∠6≠180°.
于是得知，过直线外一点至多只能作直线的一条垂线.
反之，如果∠4+∠5=180° (则∠3+∠6=180°)，两条直线就不会相交了(图1-3).
图1-3
这样反向思维，是发现问题的常用方法，更是数学推理的重要路数.
图1-2中所标识出来的8个角中，∠4和∠5，∠3和∠6都叫做